CHUYÊN ĐỀ 8 - NGUYÊN HÀM HÀM VÔ TỈ VÀ HÀM LÔGARIT
1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Nguyên hàm vô tỉ:
Với   1 thì:

x 1
u 1

 x .dx    1  C ;  u .u '.dx    1  C


m

Các biến đổi: chia tách, thêm bớt, khai triển, nhân chia lượng liên hợp, mũ phân số

n

a m  a n ,…

Các dạng tích phân vô tỉ:
b



dx
: nhân hợp liên hiệp (trục căn ở mẫu)
px  q  px  r

b

xk


b



k 2  x 2 dx : Đặt x  k sin t hoặc k cos t

a

b


a

1
x m
2

:Đặt t  x  x 2  m

b



x 2  mdx : Đặt u  x 2  m , dv  dx

a

b



Trang 1




 R  x,
b

x 2  k 2 dx : Đặt x 

a



b

 R  x;

x  
 x 

n



a

k
k

px 2  qx  r  t  x r

Nguyên hàm mũ và lôgarit:

 e dx  e
x

x

 e .u ' dx  e

c

u

u

c

au
 a .u '.dx  ln a  c  a  0, a  1

ax
 a dx  ln a  c

u

x

Các dạng tích phân từng phần:

b

e

x

.cos  xdx : Đặt u  e x , dv  cos  xdx

Đăng ký mua file word trọn bộ

a

chuyên đề khối 10,11,12:
HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851

Trang 2


2. CÁC BÀI TOÁN
Bài toán 8.1: Tính a)





x  3 x dx



x

3

3
1
 5

6 11 4 7 4 3
x  4 x  1 dx    x 6  x 4  2 x 2  dx  x 6  x 4  x 2  C
11
7
3





Bài toán 8.2: Tính a)



x x x
dx
x2

1 
 1
 3  dx

 3  dx   
 x 3  dx  2 x  3 x 2  C
2
x
 x
 x


Bài toán 8.3: Tính
a) I 



dx
x3 x4

b) J 



dx
, a  0, b  c
ax  b  ax  c
Hướng dẫn giải

1
7

a) I 





21 


1
bc 





x  3  x  4 dx 





ax  b  ax  c dx

2
a b  c 



 ax  b 

Bài toán 8.4: Tính a) E 



 x 2  dx    x 2  2  dx  x3   C
x 
3
x


a) E 

 x

b) F 

2
1
5
2
x22
3
 

3  2  x  2  3 dx 
3  3 x  2 3  C
dx

x

2
x


2

3
4
2
 t 5  2t 3  C   x  3 2  2 x  1  C
5
5

b) Đặt t  1  x  x  1  t   dx  2 1  t  dt
2

Q  2

t 1
 1
dt  2 1   dt
t
 t

 2  t  ln t   C  2
Bài toán 8.6: Tính: a)









dx  2 2
 2 1  2  dt
x
t 1
 t 1 

1 
 1
 2 dt   

 dt  2t  ln t  1  ln t  1  C
 t 1 t  1 

 2 1  x  ln

1  x 1
C
1 x 1

b) Đặt t  1  x  x  t 2  1  dx  2t.dt



1 x
t 2 dt
1 

dx  2 2
 2 1  2  dt
x




dx
x 9
2



dx
x2  9



dt
t

dt
 ln t  C  ln x  x 2  9  C
t
7/3



Bài toán 8.7: Tính: a) K 

0

x 1
dx

b) L  
22



7
thì t  2 .
3
2

 t5 t3 
46
   
 15 3  1 15
2

3
3
1
73 3  2 2

x  1  x  1 dx    x  1 2   x  1 2  
3
3
1



a



2

thì dx  a cos t

Khi x  0 thì t  0, x  a thì t 
 /2

Aa

2



 /2

cos t .cos tdt  a

0

2


0


2

.



0

a cos tdt

a cos t

 /6



dt 

0

b

Bài toán 8.9: Tính: a) C 

thì dx  a cos tdt

2


a
thì t  .
6
2

Khi x  0 thì t  0; x 





 dx 
x2  b 
x

Đặt t  x  x 2  b  dt  1 

a)



dx
x b
2



dt
t

Đăng ký mua file

word trọn bộ chuyên đề khối 10,11,12:
HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851


b

b 2


0

x2  b  b
x b

b 2 b
nên D 

2
2

2

b


0

0

b





dx

1
x b
2



dx

b 2 1
 ln 1  2
2
2

1  x2
dx
x4

2

b) L 



1/2

x



2



1 5 5
1

t
d
1

t


2






3 8
2



1




2

b) L 

1
2 2


1/2

2

2


1
1
13  3


 ln x    x    2   ln


x
x
13  3


 1/2

A


0

1

4

 /2


0

1
sin t cos tdt 
4
2

2


2

 /2

 sin

2


.t  t  dt    t  2t  1 t dt    t  t  
3  0 105
7 5
0
1

4

2

2

Bài toán 8.12: Tính:
1

a) I 


0

x 2 dx
x2  x  1

a/ 3

b) J 


0



2  4 

2

Đồng nhất thì được A  1, B  2, C  

1
nên
2



2
1
1 3
2x 1
1
1
 
I    x    

2
3
2 4
0 
1 3 2 
1 3

2 x  

3 3 1 1 
2 
 ln 1 

4
8 
3
a/ 3

b) J 

xdx



a2  x2 . 1  a2  x2

0

xdx

Đặt t  1  a 2  x 2  dt 
2 a 1

J



a 1


x2  4 x


6

b) L 


4

dx
x2  5x  6

Hướng dẫn giải
a) Đặt x  t12 thì dt  12t11dt
Khi x  128 thì t  2, x  4096 thì t  2 .
2
 9 4
t14
t4 
K  12  5 dt  12   t  t  5  dt
t 1
t 1 
2
2
2

 t10 t 5 1

 12    ln t 5  1 


1
1 
 dt  

 dx 
2
x

2
2
x

3


6

2dt
 ln t
t
2 1

 x  2  x  3 

4

:



  x  1

a) A 

b) B 

x2  2x  2

0

 x
0

dx

2

 1 x 2  2

Hướng dẫn giải

1
1
dt
 x   1  dx   2
x 1
t
t

a) Đặt t 

1 5 /2
   ln u  1 2  ln
u
1 5

b) Đặt t 

x2  2  x2 

3/2

3/2

dt
1
D  2

3t  1 2 3
2
1  t 3 1 

 ln

2 3  t 3  1 



2t 2
2dx
 dt 

5 3  12 3
ln



23 7  2

Bài toán 8.15: Tính:
1

a) I n 

 1  x 
n

0

1

1
n

1  xn

dx



b) J n  x n . 1  xdx
0

1
 1
  xd 
n
1  xn 0 0  n 1  xn

x

1
n

1  xn

1

dx  

xn

n n
n
0 1  x  1  x

 1
xn

dx
 
n n
n

2
Jn   x
3
 0



1 x



3

1

2
3

1  x 

3

1

2n n1

x  x  1 1  xdx
3 0
0



Theo định nghĩa tích phân, ta có với mọi x  0

F  x  F a  6  2 x
Cho x  a ta được a  9 và F  x   F  0   6  2 x
Trang 10


nên F '  x  

f  x
1
1
 2 
 f  x   x3
x
x
x

Bài toán 8.17: Tính: a)

 2

x

3



x 2




x 2

x

x

x

x

5
x
x
 
5x 1  5 x 


5 1
3x
3
5
x

b) 
dx   x       3 dx 

C

e

sin x

cos xdx   esin x d  sin x   esin x  C
1
t

b) Đặt t  e x thì dt  e x dx  dx  dt

1
1
1
1  1
1 
dx

dt

dt



 e x  e x
 t  t  t 1   t 2  1 2   t  1 t  1 dt
1
1 ex 1
  ln t  1  ln t  1   C  ln x
C .
2

 1 1
 x 1  xe x     t  1  t  dt  ln t  C  ln 1  xe x  C

Trang 11






Bài toán 8.20: Tính: a) I  x3 .e x dx

b) J  e

3 x 9

dx

Hướng dẫn giải





a) Đặt u  x3 , v '  e x thì J  x3 .e x dx  e x x3  3 x 2 .e x dx
Đặt u  x 2 , v '  e x thì

 x .e dx  x e
2



3x  9e

Bài toán 8.21: Tính: a)

3 x 9

e

 ln xdx

3 x 9

C

b)



x ln xdx
Hướng dẫn giải

a) Đặt u  ln x, dv  dx . Khi đó du 

1
dx, v  x . Ta có:
x

1


x
dx
1 x
Hướng dẫn giải

a)



 ln x 
x

2

1
2
dx    ln x  d  ln x   ln 3 x  C
3

x
1
x2
, du  xdx . Khi đó du 
b) Đặt u  ln
,v 
1 x
x 1  x 
2

 x ln


b) J  x 2 cos  2 x  dx





Hướng dẫn giải

1
x4
a) Đặt u  ln  2 x  , dv  x dx . Khi đó du  dx, v 
.
x
4
3

x 4 ln  2 x 
x 4 ln  2 x  x 4
x3
  dx 
 C
4
4
4
16

Ta có: I 

b) Đặt u  x 2 , dv  cos  2 x  dx . Khi đó du  2 xdx, v  



C
nên J 
2
2
4
Bài toán 8.24: Tính:
a) I  sin  ln x  dx

b) J  e x  cos x  2 x sin x  dx





2

Hướng dẫn giải
a) Đặt u  ln x thì x  eu nên dx  eu du

A   sin u.eu du   sin ud  eu   sin u.eu   cos u.eu du

 sin u.eu   cos u.d  eu   sin u.eu  cos u.eu   sin u.eu du
Từ đó suy ra A 

1
x  sin  ln x   cos  ln x    C
2


x

2

1

 x  1 e dx

b) L 

x

0

x

3

 2  e x dx

Đăng ký mua file

0

word trọn bộ chuyên đề khối 10,11,12:
HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851
Hướng dẫn giải

3

1

0

0

Dùng tích phân từng phần 2 lần nữa thì L  4 .
ln 4

Bài toán 8.26: Tính: a) A 



ln 2

1

dx
e 1
x

b) B 

xe x

 1  x 

2


L  e  x  2   3 x 2e x dx
x

3

1

0

0

Trang 14


Dùng tích phân từng phần 2 lần nữa thì L  4 .
ln 4



Bài toán 8.26: Tính: a) A 

ln 2

1

dx

b) B 


2

1

1

ex
ex
dx  
dx
b) B  
2
1 x
0
0 1  x 
 e x 1 1 e x
 e
ex

dx  

dx    1 .
1 x 0 0 1 x  2
1 x
0


1




0



 1  e   sin x.e x    e x cos xdx  1  e  I

0

0

1  e
Do đó 2 I  1  e  I  
.
2








1
1
1
b) J   1  cos 2 x  d  22 x   e 2 x 1  cos 2 x    e 2 x .sin 2 xdx
40
4
20


e

x

1
x

0,5

Đặt u  e

1  x  1x

dx    x   e dx
x
0,5 

x

2

1
x

1  x  1x

, dv  dx . Khi đó du   x   e dx, v  x
x


x

dx

0,5

3
 e 2,5 .
2

3 x
b) Xét E   x
dx thì J  E   dx  1
x
3

3
0
0
1

1

3x  3 x
1
1
5
và J  E   x
dx 
.ln  3x  3 x  


1



b) B  x 2e x sin xdx
0

Hướng dẫn giải
0

a) A 



1

1  x2
1  x2
dx

0 1  2x dx
1  2x
1

0



Đặt x  t thì

Đặt x  sin t thì A 

x


4

1

1

dx   1  x 2 dx
0

.

b) Đặt u  x2 sin x, dv  e x dx thì
1

B  e x sin x   e x  2 x sin x  x 2 cos x  dx
x

2

1

0

0


a) Đặt x  t thì dx  dt . Khi x  1  t  1, x  1  t  1 .
1

1

1

dx
dt
et
Ta có I   x
   t
 t
dt
2
2
2
1  e  1 x  1
1  e  1 t  1
1  e  1 t  1
1

I

ex
1  e x  1 x2  1dx
1

nên 2 I  I  I 


1
1

3

1
3t



1

Do đó 2 J   sin xdx   1  cos 2 x  dx  J 
2 
2

2

3

 

2





Bài toán 8.31: Tính a) A  ln x 2  x dx b) B  x5 ln xdx
2

6

2

2 5
 x 6 ln x 
x dx 32
7
B
 ln 2 
 
3
4
 6 1 1 6
e



e

Bài toán 8.32: Tính a) C  x ln xdx
1

2

b) D 

x

2

x2
Đặt u  ln x, dv  xdx . Khi đó du 
,v 
x
2
e

x2
1
e2 1 2
e2  1
x
ln
xdx

ln
x

xdx


e

1

C

 
1
2

chuyên đề khối 10,11,12:
HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851
e
 x2 x 
e3 e 2
2e3 e2 31
   e      1 dx 
 
3 2
3 2 
9
4 36
1

e

Bài toán 8.33: Tính: a) I 


1

1  ln x
ln x
dx b) J  
dx
x
x




3
1
2
d 1  ln x   1  ln x  2  2 2  1
2
3
1

 

4

x

1

x .ln x



4
1

4

 2
1


a) A 

 /2

 ln  sin x  d  sin x   sin x.ln  sin x  

 /4

/4

 /2

 cos xdx



 /4

 /2

2
2
2 2

ln 2  sin x 
ln 2 
4
4
2





x ln x  x 2  1

0

x2  1

dx

Hướng dẫn giải

3  ln x
dx
 1 
a) C    3  ln x  d 


x  1 1 1 x  x  1
 x 1
2
3

3

3

3  ln 3 3

x 1
2

3
0

thì:

3

  dx  2ln 3  3
0

Bài toán 8.36: Tính:
e

a) I 



1  2 x  ln x  3 dx

2

b) I 

1  x ln x

1


e
 2 dx  
dx  2 x 1  
dx  2  e  1  J
1  x ln x
1  x ln x
1
1
1
e

e

e

Trang 19


1  ln x

e

 1  x ln x dx

Tính J 

1

Đặt t  1  x ln x  dt  1  ln x  dx
Khi x  1 thì t  1 , khi x  e thì t  1  e

2
3
3

 x  1  x  1 
1   x  1
2

2

2

2

2

1
1
1
ln x
7
ln x

 .
 2
dx   2
dx
2
3
3

2
1

3

. Khi đó du 

dx
1
1
,v   .
x
2  x  12

2
2
1
dx
ln 2 1  1
1
1 






 dx
2 1 x  x  12
18 2 1  x x  1  x  12 

 18 2 3 12 
ln 2

Bài toán 8.37: Tính: a) I 


0

2  xe x
0 x2  2 x  1dx
1

x
dx
x
e  e x  2

b) I 

Hướng dẫn giải
ln 2

a) Ta có I 


0

x
dx 
x

Ta có: I   x

e 1 0
ln 2

e

Tính J 

0

2

dx . Khi đó du  dx, v  

ln 2


0

dx
ln 2


x
e 1
3

ln 2



2

J 

5
 2ln 2  ln3 nên I  ln 2  ln 3 .
3
2
xe x
xe x
dx

dx


dx

1

dx
b) Ta có I  
2
2
2
2



x


2

1

xe x

xe x

dx

  x  1 dx . Đặt u  xe , dv   x  1
x

2

2

1

1

.

0

Khi đó du   x  1 e x .dx; v  
1

1


e
2.
2

Bài toán 8.38: Chứng minh F  x  là nguyên hàm của f  x  :





a) F  x   ln x  1  x 2  C; f  x  

1
1  x2

1
x 
   C; f  x  
cos x
2 4

b) F  x   ln tan 

Hướng dẫn giải
Trang 21


a) F '  x  
b) F '  x  

x  x 

2cos    sin    sin  x  
2
2 4 2 4


Bài toán 8.39: Tìm cực đại và cực tiểu của hàm số f  x  

e2 x

 t ln tdt

ex

Hướng dẫn giải
Gọi F  t  là một nguyên hàm của hàm số t ln t trên  0; 

   
f '  x   F '  e  2e  F '  e  e

Ta có: f  x   F e2 x  F e x , suy ra:
2x

2x

x

x


In   x d e
n

x

   x .e 
n

x

0

1
0

1

 n  x n1e x dx  e  nI n1
0

e

Bài toán 8.42: Cho J n 

  ln x 
1

n

dx . Chứng minh J n1  J n 

Với 1  x  e  0  ln x  1  J n1  J n
Do đó J n  e  nJ n1  e  nJ n

  n  1 J n  e  đpcm.
Bài toán 8.43: Tính tích phân

x2  1
b) I   2 ln xdx
x
1
2

1



a) I  x 2  x dx
2

0

Hướng dẫn giải
1

1

1

1/2
1

 dt , x  et , t 1  0, t  2  ln 2  I 
x

ln 2

 t e

t

 e t  dt

0

Đặt u  t  du  dt , dv  et  et , chọn v  et  et

 I  t  et  et   
0
ln 2

ln 2

 e

t

 et  dt 

0

Cách khác: Đặt u  ln x  du 

 I   x   ln x    x    ln 2   1  2  dx  ln 2   x  
x
x x 2
x 
2
x 1


1
1
1
2

2

5
1 5
3

 ln 2   2    ln 2  .
2
2 2
2


3. BÀI LUYỆN TẬP
Bài toán 8.1: Chứng minh F  x  là một nguyên hàm của f  x  :
a) F  x   x ln x  x; f  x   ln x
b) F  x   ln tan



3
1
2 2
7

3
x

 C
3

2
3 2
b) Kết quả  x  4  3  C
4

Bài tập 8.3: Tính a)





dx

x 1 x



2

2
2 x2  1  1

Bài tập 8.4: Tính
Trang 24


a) I 



b) I 

1  x dx
2



1  2 x x2  1  2 x2
1  x  x2  1

dx

Hướng dẫn
a) Dùng nguyên hàm từng phần
Kết quả

b) Kết quả



x3dx



b) J 

4  x2

x5  2 x3
x2  1

0

dx

Hướng dẫn
a) Đổi biến t  4  x 2 . Kết quả
b) Kết quả

16
3 3
3

26
5
1

1

dx


 x e dx
4 x

12 x dx
b)  x
16  9 x
Hướng dẫn

a) Dùng tích phân từng phần 4 lần liên tiếp.





Kết quả x 4  4 x3  12 x 2  24 x  24 e x  C
b) Kết quả

1
4 x  3x
.ln x
C
2  ln 4  ln 3
4  3x

Bài tập 8.8: Tính: a)



ln  sin x 