��  3m  2  x n . Tìm tất cả các giá trị thực m để x 2  x  1| P  x  .
Hướng dẫn giải





Xét x 2  x  1  0  x  ,  2 . Khi đó

P     m  1  2   1

2 n 2

  3m  2   n   m  1  4 n6   3m  2   n

  m  1  n   3m  2   n   4m  1  n
Theo giả thiết, suy ra P    0  m 

1
.
4

Bài toán 10.46: Tìm tất cả các đa thức p  x   Z  x  là monic bậc hai sao cho tồn tại đa thức q  x   Z  x  mà
các hệ số của đa thức r  x   p  x  q  x  đều thuộc 1;1 .
Hướng dẫn giải
Dễ thấy p  x   x 2  ax  1 , với a ¢ . Giả sử

r  x   an x n  an1x n1  ...  a1x  a0 , ai  1;1 , i  0,1,..., n
Gọi z là một nghiệm phức của r  x  và z  1 thì ta có
n 1



 z  2  1  z  2 .

Vậy mọi nghiệm của r  x  đều có môđun nhỏ hơn 2. Từ đó nếu gọi z1 , z2 là các nghiệm của p  x  thì ta
có z1  2 , z2  2 , ngoài ra ta còn có z1 z2  z1 z2  1 .
Không mất tính tổng quát ta giả sử z1  z2  1  z1  2,0  z2  1 .
Ta lại có:

a  z1  z2  z1  z2  1  2  3  a  2; 1;0;1;2
Với a  0 , ta có q  x   x  1.
Với a  1, ta có q  x   1 .
Với a  2 . Kiểm tra p  x   x 2  2 x  1 thì sẽ có q  x   x m1 , còn với p  x   x 2  2 x  1 thì không
thỏa mãn vì có một nghiệm có môđun lớn hơn 2.
Vậy có 8 đáp số của p  x  là x 2  1, x 2  x  1, x 2  2 x  1 .
Trang 33


Bài toán 10.47: Cho đa thức P  x   rx3  qx 2  px  1 trong đó p, q, r là các số thực với r  0 .
Xét dãy số  an  : a0  1; a1   p, a2  p 2  q

an3   pan2  qan1  ran  n  0
Chứng minh rằng nếu đa thức P  x  chỉ có duy nhất một nghiệm thực và không có nghiệm bội thì dãy  an 
có vô số số âm.
Hướng dẫn giải
Từ điều kiện đề bài suy ra phương trình đặc trưng của phương trình sai phân x3  px 2  qx  r  0 có 1
nghiệm thực âm và hai nghiệm phức liên hợp.
Giả sử ba nghiệm đó là a, R  cos   i sin   , R  cos   i sin   với a  0, R  0 , 0     thì

an  C1  a   C2 R n  cos   i sin    C3 R n  cos  i sin   trong đó C1 , C2 , C3 là các hằng số nào
n

*

0

Điều này không xảy ra vì 0     nên tồn tại vô số n sao cho:

3


n   *    k 2 ,
 2k 
2
2


3. BÀI LUYỆN TẬP
1  i tan x
Bài tập 10.1: Tính: a)
1  i tan x

1  i 
7
1  i 

9

b)

Hướng dẫn
Trang 34


Hướng dẫn
a) Tính trực tiếp. Kết quả

2 xy
x 2   y  1

2

và

y 2  x2  1
x 2   y  1

b) Dùng tổng n số hạng của cấp số nhân Sn  u1



và tách lũy thừa về 1  i 3



3

1  qn
1 q

 8 .

Bài tập 10.3: Cho z  x  yi,  x, y  ¡

2




b) Kết quả cos 

Bài tập 10.5: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện sau, tìm các số có acgumen dương nhỏ nhất.
b) z  5i  3

a) z  1  i  1

Hướng dẫn
a) Gọi z  x  yi,  x, y  ¡

 và tìm tập điểm thỏa mãn.

Kết quả z  i
Trang 35


b) Kết quả

12 16
 i
5 5

Bài tập 10.6: Giải phương trình trong tập số phức:
a) z 2  1  3i  z  2 1  i   0


Kết quả trục ảo Oy trừ I  0;1
b) Gọi z  x  yi,  x, y  ¡

 và biến đổi tương đương. Kết quả Elip

Bài tập 10.8: Chứng minh rằng:
a) Nếu phương trình an z n  an1 z n1  ...  a2 z 2  a1z  a0  0 với các hệ số thực có nghiệm phức là z0 thì z0
cũng là nghiệm của phương trình.
b) A, B, C, D biểu diễn theo thứ tự các số: 1  i; 1  i;2i;2  2i cùng nằm trên một đường tròn.
Hướng dẫn
a) Dùng định nghĩa nghiệm và số phức liên hiệp
b) Lập phương trình đường tròn qua A, B, C và thử tọa độ D.
Hay nhận xét AC và AD, BA và BD vuông góc nhau nên thuộc đường tròn đường kính CD.
Bài tập 10.9: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện:
a) z 4  1



b) z 2  z

2

 0 và

z 1
1
z 3

Hướng dẫn
a) z 4  1  z 4  i 2  z 2  i hay z 2  i .