CHUYÊN ĐỀ 4 - HÀM SỐ MŨ VÀ LÔGARIT
1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Lũy thừa và căn thức:

an 

1
(với a  0 và n  ¥ * )
n
a
m
n

a  a  n a m (với a  0 và r 
r

m
,n¢ ,n¥ *)
n

a  lim a rn (với a  0,  ¡ , rn  ¤ và lim rn   ).
Khi n lẻ, b  n a  bn  a (với mọi a)

b  0

Khi n chẵn, b  n a  

n
b  a

(với a  0 ).

c

1
log a b   log a b (với mọi  ), log a n b  log a b ( n  ¥ * )
n
- Đổi cơ số trong điều kiện xác định:
Trang 1


logb x 

log a x
hay log a b.logb x  log a x
log a b

logb a 

1
1
hay log a b.logb a  1;log a b  log a b

log a b

Hàm số lũy thừa y  x :
Liên tục trên tập xác định của nó

 

 


Liên tục trên tập xác định ¡ , nhận mọi giá trị thuộc  0;  .


lim a x  
x 
0

khi a  1
0
; lim a x  
khi 0  a  1 x


khi a  1
khi 0  a  1

 
 
 a  '  a u 'ln a;  e  '  e u ' với u  u  x  .

Đạo hàm: a x '  a x ln a; e x '  e x ;
u

u

u

u

Đồng biến trên ¡ nếu a  1 , nghịch biến trên ¡ nếu 0  a  1 .

u'
;  ln u  '  ;  ln u  ' 
với u  u  x  .
u ln a
u
u

Hàm số y  log a x đồng biến trên  0;  nếu a  1 , nghịch biến trên  0;  nếu 0  a  1 .
Giới hạn:

ln 1  x 
ex 1
 1
lim 1    e;lim
 1;lim
1
x 
x 0
x
x
 x
x

x 0

Trang 2


2. CÁC BÀI TOÁN
Bài toán 4.1: Thực hiện phép tính

A   3

3
4 4

 1 
  
 5 


3



1
3


 1 
    

 2 

5







27
27
5
 2

1
3  3



 2 . 2
2

2
6 3

4
3 3

  2 

 1  10  22  24  1  7 

1 111

.
16 16

Bài toán 4.2: Đơn giản biểu thức trong điều kiện xác định:



.

1
2

1
3

1
4

4

Hướng dẫn giải


P



 . a  a  1 .
a  a  1
 a  1

a 1

4

4



1
3

2

 a  1

Bài toán 4.3: Trục căn ở mẫu

Trang 3


1
233

a)

1

b)

5  13  48

6

Hướng dẫn giải
3
1


5  13  48

6



1

b) Vì 5  13  48  5 

1



3  2 33 3  2 3 9  4

3 1



 42 3 



 

3 1
3 1


a) Ta có 3 2  2 3
nên



2

 18  12  12 6  30  12 6

15  6 6  15  6 6 

3 2 2 3 3 2 2 3

6
2
2

15  6 6  15  6 6  x; x  0 .

Cách khác: Đặt

Ta có x 2  30  2 225  216  36 nên chọn x  6 .



b) Ta có: 7  5 2  1  3 2  6  2 2  1  2



Tương tự 7  5 2  1  2




3









7  5 2  3 7  5 2 .  3 7  5 2 7  5 2 





7  5 2  3 7  5 2  10 2  3x .

Ta có phương trình:

Trang 4








4



3 2



4

4



5 2 6



2

 3 2

49  20 6  3  2 (do

3 2)

49  20 6  4 49  20 6  2 3

b) Đặt M  4 2  5  2 2  5 , N  4 2  5  2 2  5

4

2

2

2

2

2

2 5 2 2 5  4 2 5 2 2 5  M  N 

5 1
.
2

Bài toán 4.6:


1  23  513 3 23  513

 1 . Tính A  x3  x 2  1

3
4
4



2

 a 3  b3 

Đăng ký mua file word trọn bộ

chuyên đề khối 10,11,12:
HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851
Vì  3x  1  27 x3  27 x 2  9 x  1
3

 27  x3  x 2  1  3  3x  1  29 nên

 3x  1
A

3

 3  3x  1  29  a  b   3  a  b   29

27
27
3

23
a3  b3  3ab  a  b   3  a  b   29 2  29 3


2

2

k 1 

 k  1

 k  1 k  1  

k 1



k 1  k 1

k 1  k 1





3

. Do đó

1 3
3  13  43  23  53  33  63  43  ...  1013  993 

2

Trang 6


Hướng dẫn giải
2

 a x  a x   a x  a x 
Ta có ch  x   sh  x   
 

2
2

 

2



2

2

a 2 x  a 2 x  2  a 2 x  a 2 x  2 4
 1
4
4

2  a 2 x  a 2 x 
 a x  a x 

a 2 x  a 2 x

Bài toán 4.8: Cho số tự nhiên n lẻ, chứng minh:

1 1 1
1
1 1 1
1
thì n  n  n  n
  
a b c
a  bn  c n
a b c abc

a) Nếu

b) Nếu ax n  by n  cz n ,

1 1 1
   1 thì:
x y z

ax n1  by n1  cz n1  n a  n b  n c

n

Hướng dẫn giải
a) Từ giả thiết suy ra

1 1


1
 
8

log 2 5

  23 

log 2 5

 2

3 log 2 5

3

 2log2 5  53 

1
125
Trang 7


 1 
 
 32 
b)

log 0,5 2

Hướng dẫn giải
a) A  log3 2.log 4 3.log5 4.log6 5.log 7 6.log8 7



log log3 log 4 log5 log 6 log 7 log 2
1
1
.
.
.
.
.

 log8 2  log 2 2 
log3 log 4 log5 log 6 log 7 log8 log8
3
3

b) Đặt x  log a b  log a b  x 2  b  a x

1
1
 logb a 
2
x
x

Mặt khác logb a 
Do đó: B  a x  a

2 y

log 2 23.3
5 y
Do đó log 25 24 
.

2
log 2 5
2  x  1  2 y  xy 





b) log140 63  log140 32.7  2log140 3  log140 7



2
1
2
1



2
log3 140 log 7 140 log3  2 .5.7  log 7  22.5.7 

Trang 8

1
b
a
ca



1
2ac  1

2c  cab  1 abc  2c  1

Bài toán 4.12: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn:

alog3 7  27, blog7 11  49, clog11 25  11
Tính T  a

 log3 7 2

 b

log7 11

2

 c

log11 25

2




 clog11 25

log11 25



log11 25

1
2

 7  11  25  469 .
3

2

Bài toán 4.13: Trong điều kiện có nghĩa, chứng minh:
a) a
b)

logc b

 blogc a

n  n  1
1
1

1

log a b 2log a b

Bài toán 4.14: Trong điều kiện có nghĩa, chứng minh:
a) Nếu a 2  c 2  b2 thì logbc a  logbc a  2logbc a.logbc a .
b) Nếu a, b, c lập cấp số nhân thì

log a d  logb d log a d

logb d  log c d log c d
Trang 9


Hướng dẫn giải
a) Theo giả thiết: a 2   b  c  b  c  . Xét a  1 : đúng.
Xét a  1 thì log a  b  c   log a  b  c   2 

1
1

2
logbc a logbc a

nên logbc a  logbc a  2logbc a.logbc a

c
log d  
1
1

Bài toán 4.15: Cho x, y, z, a là các số thực dương đôi một khác nhau và khác 1. Chứng minh:
a) Nếu log a x  1  log a x.log a z , log a y  1  log a y.log a x thì:

a
A  log x.log a y.log a z.log x a.log y a.log z a  1 .
x
y
z
b) Nếu

x  y  z  x y  z  x  y  z  x  y  z 


thì x y . y x  y z .z y  z x .x z
log x
log y
log z
Hướng dẫn giải

a) Từ giả thiết, ta có: log a x  1  log a x.log a z

 log a x 

1
1

 log a z
1  log a z log a
z
a

y
z





Đăng ký mua file word

trọn bộ chuyên đề khối 10,11,12:
HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851
b) Nếu một trong các số x  y  z, y  z  x, z  x  y bằng 0 thì cả ba số đều bằng 0 và dẫn đến

x  y  z  0 , mâu thuẫn.
Do đó x  y  z, y  z  x, z  x  y khác 0.

 x  log y  .  y  z  x   y  log x  .  z  x  y 

Từ giả thiết thì:  y  log z  .  z  x  y   z  log y  .  x  y  z 

 z  log x  .  x  y  z   x  log z  .  y  z  x 
Ta có: x  log y  . y  z  x   y  log x  z  x  y 

 x log y  y  log x  .

zx y
yzx

Bài

toán

4.16:

Cho

các

số

thực

a,

b,

c

mãn 1  a  b  c .

thỏa

Chứng

minh

rằng:


Tk 1  C  x 


k
13

x x

a) Hệ số của x13 ứng với

k

 C .x
k
13

13 k 52
6

13k  52
 13  k  10 là:
16

10
T11  C13
 286 .

b) Số hạng không chứa x ứng với 13k  52  0  k  4 là T5  C134  715 .
6


k 2 lg x 1 12
lg x 1
12
12
 x
 x x
 x    C6 x
.x
 k 0

 



6

Trang 12


Số hạng thứ 4 ứng với k  3 , theo giả thiết bằng 200 nên:
3
6

C x

3
1

2 lg x 1 4


ax 1
1
 ln a;lim

x 0
x 0
x
x
ln a

a) lim

n
1  ax  1 a
 a
b) lim 1    ea ;lim

x 
x 0
x
n
 x
x

Hướng dẫn giải

ax 1
eln a  1
e x ln a  1
 lim


x

1
 a
b) lim 1    lim 1     e a
x 
x 
 x  x 
 

a

 


n

lim
x 0

1  ax  1
 lim
x 0
x
x



1  ax  1

a) lim

Hướng dẫn giải

 e 2 x  1 e5 x  1 
e 2 x  e5 x
 lim 

  2  5  3
x 0
x 0
x
x
x



a) lim

2 x  1 5x  1

2 x  5x  2
x
x  ln 2  ln 5  ln10
b) lim x

lim
x
x
x 0 3  5 x  2

ln 1  3x 2 
2sin 2 x

 3ln 1  3x 2   sin x 2  3
1
 lim 
:
 
2 x0 
3x 2
x   2




 6 x  1 3x  1   ln 1  6 x  ln 1  3x  
6 x  3x
 lim 



:
x 0 ln 1  6 x   ln 1  3 x 
x 0
x  
x
x
 x




lim 1 
 lim 1 


x 
 x  3  x  x  3 
x

a)

x 3





x
x 3

 e1  e
2x

x 1 x 1


2





e

2 x 2

 1 x
ln 1  x 2 
3

1
x

 a b 
 với 0  a, b  1 .
 2 

2

x

x

b) lim 
x 0
Hướng dẫn giải

2
 e2 x2  1 3 1  x 2  1  ln 1  x 2 
e2 x  3 1  x 2
a) lim




2
7
 ln 1  x 
:

2

x
3
 3 1  x2  1 

1

3

1  x 

2 2

1
1


x
x
a x b x
 ax  bx  x


 lim e

a x 1 b x 1

2x
2x

x 0

e

ln a  ln b
2

 eln

ab

a x b x
1
2
x

 ab

Đăng ký mua file word trọn

bộ chuyên đề khối 10,11,12:
HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ

ln x  x  1
 1

  lim
 x  1 ln x  x1  x  1 ln x

a) lim 
x 1

1
1
ln x  x  1 '

x
 lim
 lim
x 1  x  1 ln x '

 x1 ln x  x  1
x

1  x  '  lim 1   1
1 x
 lim
x 1 ln x  x  1
x 1  x ln x  x  1 '
x 1 ln x  2
2

 lim

e

Bài toán 4.25: Tìm các giới hạn sau:
1

5

a) lim  cos x  2 x2

b) lim  cos3x  x

x 0

x 0

Hướng dẫn giải

ln  cos x 
 ln  cos x   '  lim  tan x  lim   tan x  '

lim
x 0
x 0
2x2
 2 x 2  ' x 0 4 x x 0  4 x  '

a) Ta có lim

 lim 


e

2 x2

x 0



1
4

15sin 3x

5ln  cos3x   '
5ln  cos3x 

b) lim
 lim
 lim cos3x  0
x 0
x

0
x 0
x
1
 x '
5
x


 x  x 1 

b) lim
x 

ln  x  
x 

Hướng dẫn giải
1




 ln x
1
a) lim 
x  x2  1
  xlim
2
x 

 x  x 1 



ln x  x  1
Ta có: lim

x 

Trang 16


1
1
x
ln  x  ln  
x 
b) lim
ln    lim
ln   lim
x  x  
x  x  
x 

x 
Đặt g  x   ln  x thì g    ln  và g '  x   ln 
Theo định nghĩa đạo hàm ta có:

g  x   g  
ln  x
lim
 lim
 g '    ln 
x  x  
x 
x 
Bài toán 4.27: Tìm đạo hàm của hàm số sau:
b) y 


2 x  x  1 e4 x  1
e4 x  1

ln 2  2 x ln 2  2 x  2 x    2 x  2 x  2 x ln 2  2  x ln 2 

2

 2 x    2 x  2 x 
2

2

x

 2 x 

x

 2 x 

2

2

ln 2 2 

2

2


x

1
a) y ' 

x2  a2 
x  x2  a2

b) y ' 

2 x  5
4 x  10

2
  x  5x  6 ln 3   x  5x  6 ln 3

1
x2  a2

2

Trang 17


c) y '   sin x.e2 tan x 

2
 2

.e2 tan x  e2 tan x 

x 1
x 1 

2
2
2 x  1 2 x  x2  1
2



2x2  1
2 x 1
2



1
2 x 1
2



 x  x2  1



Do đó, ta có: 2 y  x 2  x x 2  1  ln x  x 2  1




1
hoặc x  :
3
2

y  ln   2 x  1 3x  1   ln 2 x  1  ln 3x  1

 y' 

1
1

2 x  1 3x  1

Trang 18


 1 
Ta chứng minh quy nạp 

 ax  b 
Suy ra y

 n

 m

1 m!a m



b) y  x 2 .e x
Hướng dẫn giải

e x  x  1
, y '  0  x  1.
a) D  ¡ \ 0 , y ' 
x2
BBT



x

0
−

y'

−

0

+









0



2
+

0

−

4e2
Trang 19




0

Vậy hàm số đồng biến trong khoảng  0;2  , nghịch biến trong các khoảng  ;0  và  2;  , đạt CĐ

 2;4e  , CT  0;0 .
2

Bài toán 4.32: Tìm khoảng đơn điệu và cực trị hàm số:





1  x 

2

 0 nên đạt cực tiểu tại x  0, yCT  0 .

Bài toán 4.33: Cho a, b, c là các sự thực dương. Chứng minh hàm số

ax
bx
cx
f  x  x


đồng biến với mọi x dương.
b  cx cx  ax ax  bx
x
x
x
x
x
x
 a x  a .ln a  b  c   a  b .ln b  c .ln c 
'
Ta có  x
2
x 
b c 
bx  c x 


Trang 20


 a xb x ln a  ln b a xb x ln a  ln b 




 
2
2
x
x
sym 
 a x  c x  
 b  c 
 a b
x

sym

 a  b  a  b  2c   0
 ln a  ln b 
 a  c  b  c 
x

x

x



Hướng dẫn giải
a)

4

13  20 135  20 371293; 3 23  20 234  20 279841

Ta có 371293  279841 nên
b)

3

4

13  5 23

7  15  2  4  3  3  10  3 28

Bài toán 4.35: So sánh các số:
600

a) 3

và 5

 1 
b) 

 3


1
 
 3

2 5

3 2

và 3



Ta có 3 2  2 5  3 2

1
1
Vì cơ số 0   1 nên  
3
 3

1
 
 3

 
2

 2 5



1
3

log6 11

b) 3

và 7

log6 0,99

Hướng dẫn giải
a) Ta có log3 4  1 và log 4

1
1
 0 , suy ra log3 4  log 4
3
3
Trang 21


b) Ta có log6 1,1  0 nên 3log6 1,1  30  1 (vì 3  1 ) và log6 0,99  0 nên 7log6 0,99  70  1 (vì 7  1).
Suy ra 3log6 1,1  7log6 0,99 .
Bài toán 4.37: Hãy so sánh các số:
b) log 4 9  log9 25

a) log8 27  log9 25


b) Chứng minh với n số 2, n  6 thì 22

 222...2222...2
Hướng dẫn giải

a) Ta thấy rằng 22

2
22

24

 22  22

16

Mà 210  1024  1000,26  64

 216  210.26  64000 nên 22

2
22

 264000

Mặt khác: 12  22  33  ...  10001000  1000.10001000  10001001

  210 

1001

2

Nên an  22

an  2

 2n1  0

 22  bn . Ta có đpcm.
5n

Bài toán 4.39: Chứng minh:
a) log n  n  1  log n1  n  2  với mọi số nguyên n  1
b) a m  bm  c m , nếu m  1, a  b  c với a  0, b  0
Hướng dẫn giải




a) A  log n  n  1  log n n 1 

1
 1
  1  log n 1  
n
 n

1 
1 



n 1
 n 1

1 
 1

 log n 1    log n1 1 
 . Do đó A  B .
 n
 n 1
m

m

a b
b) Ta có a  b  c        1
c c
m

m

m

Mà a  b  c, a  0, b  0 nên 0 
m

1

a

b) Cho a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác nhọn. Chứng minh:

Trang 23


2
2
2
 2
  2

2
3
3
3
b

b

c

c

a

a

 



2
2
 2
 2
  2
  2

 2
2
3
3
3
3
3
3
và
a
a


a
a


b
c


c
b


x  a ; y  b ; z  c thì y3  z 3  x3



Ta có: y 2  z 2



3

 y 6  z 6  3 y 2 z 2  y 2  z 2   y 6  z 6  2 y 3 z 3   y 3  z 3    x3   x 6
2

2
3

2
3

2

2
3

Suy ra y  z  x hay b  c  a  đpcm.
2

2


Hướng dẫn giải
a) BĐT  log  abc 

a b  c
3

 log  a a .bb .cc 

  a  b  c  log  abc   3 log a a  log bb  log cc 

  a  b  c  log a  log b  log c   3  a log a  b log b  c log c 
  a  b  log a  log b    b  c  log b  log c    c  a  log c  log a   0
Trang 24


BĐT này đúng vì cơ số 10  1 nên x  y  0  log x  log y hoặc 0  x  y  log x  log y nên

 x  y  log x  log y   0 , x  0, y  0 .
2

1
1

b) Ta có:  a    0  a   a 2 với mọi a.
2
4

Và vì

1

 0.
trên  3;  thì f '  x  
ln x
ln 2 x

Do đó f đồng biến trên  3;  nên: n  1  n  3  f  n  1  f  n  (đpcm)
b) Với x  0 hoặc y  0 , bất đẳng thức đúng.
Với xy  0 , bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
n

x
 x
n 1
   n1 1   
 y
 y

n 1

. Xét f  t  

t n1.1  t 

Ta có f '  t  
n 1

1  t 

n 1 n  2 n



0

−
Trang 25