Bi ging K Thût Säú Trang 12
Chỉång 2

ÂẢI SÄÚ BOOLE

2.1. CẠC TIÃN ÂÃƯ V ÂËNH L ÂẢI SÄÚ BOOLE
2.1.1. Cạc tiãn âãư
Cho mäüt táûp håüp B hỉỵu hản trong âọ ngỉåìi ta trang bë cạc phẹp toạn
+ (cäüng logic), x (nhán logic), - (b logic ) v hai pháưn tỉí 0 v 1 láûp
thnh mäüt cáúu trục âải säú Boole.

∀x,y ∈ B thç: x + y ∈ B, x.y ∈ B tha mn 5 tiãn âãư sau:

2.1.1.1. Tiãn âãư giao hoạn
∀x,y ∈ B: x + y = y + x
2.1.1.2. Tiãn âãư phäúi håüp

∀x,y,z ∈ B: (x + y) + z = x + ( y + z ) = x + y + z
(x. y).z = x.(y. z) = x.y.z
2.1.1.3. Tiãn âãư phán bố
∀x,y,z ∈ B: x.(y + z ) = x.y + x.z
x + (y.z) = (x + y)(x + z)
2.1.1.4. Tiãn âãư vãư pháưn tỉí trung ha
Trong táûp B täưn tải hai pháưn tỉí trung ha, âọ l pháưn tỉí âån vë v
pháưn tỉí kh, pháưn tỉí âån vë k hiãûu l 1, pháưn tỉí 0 k hiãûu l 0.
∀x ∈ B: x + 1 = 1
x . 1 = x
x + 0 = x
x . 0 = 0
2.1.1.5. Tiãn âãư vãư pháưn tỉí b
∀x ∈ B, bao giåì cng täưn tải pháưn tỉí b tỉång ỉïng sao cho ln

∀x, y ∈ B:
xy
0 x.y
1yx
=⇒
=
=+
⎭
⎬
⎫

∀x ∈ B:
x + x +. . . . . + x = x
x. x. x. . . . . . x = x
b. Âënh l De Morgan
∀x, y, z ∈ B, ta cọ:
zyx ..=++ zyx

zyxx.y.z ++=

∀x ∈ B, ta cọ:
x
= x
∀x, y, z ∈ B, ta cọ:

Bi ging K Thût Säú Trang 14
x + y + z =
zyx ++
=
z.y.x

f(x) =
x

f(x) = α (α: l hàòng säú )
Trong trỉåìng håüp täøng quạt, ta cọ hm Boole theo n biãún Boole
âỉåüc k hiãûu nhỉ sau: f(x
1
, x
2
,. . . . . ., x
n
)
2.2.1.2. Cạc tênh cháút ca hm Boole
Nãúu f(x
1
, x
2
, ..., x
n
) l mäüt hm Boole thç:
+ α.f(x
1
, x
2
, ..., x
n
) cng l mäüt hm Boole.
+
f
(x

n
) + f
2
(x
1
, x
2
, ..., x
n
) cng l mäüt hm Boole.
+ f
1
(x
1
, x
2
, ..., x
n
).f
2
(x
1
, x
2
, ..., x
n
) cng l mäüt hm Boole.
Chổồng 2. aỷi sọỳ BOOLE Trang 15
Vỏỷy, mọỹt haỡm Boole f cuợng õổồỹc hỗnh thaỡnh trón cồ sồớ lión kóỳt caùc
haỡm Boole bũng caùc pheùp toaùn + (cọỹng logic), x (nhỏn logic) hoỷc

, x
2
) = x
1
+ x
2
Xeùt B = B* ={0,1}
x
1
x
2
f(x
1
, x
2
)
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
Nóỳu x
1

2
, x
3
) = x
1
+ x
2
.x
3
Xeùt B = B* = {0,1 }
Baớng giaù trở cuớa haỡm:
x
1
x
2
x
3
f (x
1
, x
2
, x
3
)
0
0
0

2.2.2. Caùc phổồng phaùp bióứu dióựn haỡm Boole
2.2.2.1. Phổồng phaùp baớng
Laỡ phổồng phaùp thổồỡng duỡng õóứ bióứu dióựn haỡm sọỳ noùi chung.
Phổồng phaùp naỡy gọửm mọỹt baớng õổồỹc chia laỡm hai phỏửn:
- Mọỹt phỏửn daỡnh cho bióỳn õóứ ghi caùc tọứ hồỹp giaù trở coù thóứ coù cuớa
bióỳn.
- Mọỹt phỏửn daỡnh cho haỡm õóứ ghi caùc giaù trở cuớa haỡm ra tổồng ổùng
vồùi caùc tọứ hồỹp cuớa caùc bióỳn vaỡo.

2.2.2.2. Phổồng phaùp giaới tờch
Laỡ phổồng phaùp bióứu dióựn haỡm Boole dổồùi daỷng tọứng caùc tờch sọỳ,
hoỷc dổồùi daỷng tờch cuớa caùc tọứng sọỳ. Daỷng tọứng cuớa caùc tờch sọỳ goỹi laỡ
daỷng chờnh từc thổù nhỏỳt,
coỡn daỷng tờch cuớa caùc tọứng laỡ
daỷng chờnh từc
thổù hai
cuớa haỡm Boole, vaỡ hai daỷng chờnh từc naỡy laỡ õọỳi ngỏựu nhau.
a. Daỷng chờnh từc 1(Daỷng tọứng cuớa caùc tờch sọỳ)
Xeùt caùc haỡm Boole õồn giaớn sau õỏy: f(x) = x, f(x) =
x
, f(x) = .
Xeùt f(x) = x:
Ta coù: x =0.
x
+ 1. x
mỷt khaùc:
()
()
()


=
=
=
10f
01f
xxf

Suy ra: f(x) =
x
coù thóứ bióứu dióựn:
f(x) =
x
= f(0).
x
+ f(1).x

Chổồng 2. aỷi sọỳ BOOLE Trang 17
Xeùt f(x) = :
Ta coù: = .1 = (x +
x
) =
x
. + .x
Mỷt khaùc:
()
()
()




1
, x
2
) thỗ caùch bióứu dióựn cuợng hoaỡn
toaỡn dổỷa trón caùch bióứu dióựn cuớa daỷng chờnh từc thổù nhỏỳt theo 1 bióỳn
(trong õoù xem mọỹt bióỳn laỡ hũng sọỳ).
Ta coù:
f(x
1
, x
2
) = f(0, x
2
).
x
1
+ f(1,x
2
).x
1
maỡ: f(0, x
2
) = f(0,0 ).
x
2
+ f(0,1).x
2
vaỡ: f(1, x
2
) = f(1,0).

2
1
1
2
2
1
x)x,(
12
0e
f


),(
21


=
=xxf
trong õoù e laỡ sọỳ thỏỷp phỏn tổồng ổùng vồùi maợ (
1
,
2
) vaỡ:

x
1
nóỳu
1
= 1