ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Lượng giác – ĐS và GT 11

Đây là trích 1 phần tài liệu gần
2000 trang của Thầy Đặng Việt
Đông.
Quý Thầy Cô mua trọn bộ File
Word Toán 11 và 12 của Thầy
Đặng Việt Đông giá 200k thẻ
cào Vietnam mobile liên hệ số
máy 0937351107
PHẦN I: ĐỀ BÀI

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SIN VÀ COSIN
Có dạng: a sinx + b cosx = c (1)
Cách 1:
a2 + b2

• Chia hai vế phương trình cho

a
(1) ⇔

sinα =
• Đặt:

a
2

2

⇔ cos(x − α ) =

cos x =

c
2

2

a +b

c
a2 + b2
= cosβ (2)

• Điều kiện để phương trình có nghiệm là:
File Word liên hệ: 0937351107 - Email: [email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Trang 1


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

c
a2 + b2

Lượng giác – ĐS và GT 11

≤ 1 ⇔ a2 + b2 ≥ c2.

 1

sin x ± cos x = 2 
sin x ±
cos x  = 2 sin( x ± )
4
2
 2

•

.

Cách 2:
x = π + k2π ⇔

a) Xét

b) Xét

x π
= + kπ
2 2

có là nghiệm hay không?

x
x ≠ π + k2π ⇔ cos ≠ 0.
2


x
=t.
2 0

a2 + b2 ≥ c2.

2)
3)

Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình có nghiệm:
Bất đẳng thức B. C. S:

y = a.sin x + b.cos x ≤ a2 + b2 . sin2 x + cos2 x = a2 + b2
⇔ min y = − a2 + b2 vaømax y=

a2 + b2 ⇔

sin x cos x
a
=
⇔ tan x =
a
b
b

File Word liên hệ: 0937351107 - Email: [email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Trang 2


D.
.
Câu 3: Phương trình nào sau đây vô nghiệm
1
sin x =
3 sin x − cos x = −3
3
A.
.
B.
.
3 sin 2 x − cos 2 x = 2
3sin x − 4 cos x = 5
C.
.
D.
.
Câu 4: Phương trình nào sau đây vô nghiệm:
1
cos x =
3 sin x + cos x = −1
3
A.
.
B.
.
3 sin 2 x − cos 2 x = 2
3sin x − 4 cos x = 6
C.
.

Câu 7: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm?
1
1
cos 4 x =
3 sin x = 2
4
2
A.
B.
2sin x + 3cos x = 1
cot 2 x − cot x + 5 = 0
C.
D.
Câu 8: Phương trình nào sau đây vô nghiệm?
3 sin 2 x − cos 2 x = 2
3sin x − 4cos x = 5
A.
B.

sin x = cos
C.

π
4

D.

sin x

và

.
3 sin x + cos x = 3
2 sin x + cos x = −1
.
D.
.
C.
Câu 11: Trong các phương trình sau phương trình nào vô nghiệm:
sin x + cos x = 3
2 sin x + cos x = 1
A.
.
B.
.
3 sin x + cos x = 2
2 sin x + cos x = −1
C.
.
D.
.
Câu 12: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm:
1
1
cos 4 x =
3 sin x = 2
4
2
A.
.
B.

.
cos x + sin x = 1
Câu 14: Nghiệm của phương trình
là:
π
π
x = k 2π ; x = + k 2π
x = kπ ; x = − + k 2π
2
2
A.
.
B.
.
π
π
x = + kπ ; x = k 2π
x = + kπ ; x = k π
6
4
C.
.
D.
.
cos x + sin x = −1
Câu 15: Nghiệm của phương trình
là:
π
π
x = π + k 2π ; x = − + k 2π

x=

π
5π
+ k 2π ; x =
+ k 2π
12
12

π
2π
+ k 2π ; x =
+ k 2π
3
3

Lượng giác – ĐS và GT 11

x=−
.

B.
x=−

.

D.

π
3π

B.

π
+ k 2π
3

là:

x=

π
+ kπ
6

x=

.
C.
.
cos x − 3 sin x = 0
Câu 18: Phương trình lượng giác:
có nghiệm là

x=

.

sin x –  3 cos x = 0 

π

B.

x=
D.

( 0; π )

sin x + cos x = 1

 x = k 2π

 x = π + k 2π

2

D.

x=

Câu 22: Phương trình
π

x
=
−
+ k 2π

4

 x = π + k 2π

π
+ k 2π
4

.
C.
.
sin x + 3 cos x = 2
Câu 21: Nghiệm của phương trình
là:
5π
5π
π
x=
+ kπ
 x =
+ k 2π
x = − + kπ
6
6
6
A.
.
B.
.
C.
.
3 − 1 sin x − 3 + 1 cos x + 3 − 1 = 0

(

có các nghiệm là
π

x
=
−
+ k 2π

2
,k ∈¢

 x = π + k 2π

3
B.
.
π

 x = − 8 + k 2π
,k ∈¢

 x = π + k 2π

12
D.
.

File Word liên hệ: 0937351107 - Email: [email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay


π
5π
x = + k 2π , x =
+ k 2π , k ∈ ¢
x = − + k 2π , x = −
+ k 2π , k ∈ ¢
3
3
4
4
C.
.
D.
.
sin 2 x − 3 cos 2 x = 0
Câu 24: Nghiệm của phương trình
là
π
π
π
π
x = + k ,k ∈¢
x = + kπ , k ∈ ¢
x = + kπ , k ∈ ¢
3
2
6
3
A.
.

π
π

x = − + k 2π
x = + k 2π , k ∈ ¢

4
4
C.
.
D.
.
3.sin 3x + cos 3x = −1
Câu 26: Phương trình:
tương đương với phương trình nào sau đây:
π
1
π
π
π
1
π 1




sin  3x − ÷ = −
sin  3x + ÷ = −
sin  3x + ÷ = −
sin  3x + ÷ =

A.
.
B.
.
−π
π
x=
+ k 2π , k ∈ Z
x = + k 2π , k ∈ Z
6
6
C.
.
D.
.
3cos x + 2 | sin x |= 2
Câu 28: Phương trình
có nghiệm là:

x=
A.

π
+ kπ
8

x=
.

B.


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Câu 29: Với giá trị nào của

A.

−3 ≤ m ≤ 1

A.

.

B.

(m + 1)sin x + cos x = 5
thì phương trình

có nghiệm.

m ≥ 1
 m ≤ −3


0≤m≤2

.
C.
.
m sin x − 3cos x = 5

.
B.
.
C.
.
2
2
( m + 2 ) cos x − 2m sin 2 x + 1 = 0
Câu 32: Cho phương trình:
. Để phương trình
m
thích hợp của tham số
là
1
1
1
1
− ≤m≤
− ≤m≤
−1 ≤ m ≤ 1
2
2
4
4
A.
.
B.
.
C.
.

Câu 35: Điều kiện để phương trình
vô nghiệm là
 m ≤ −6
m ≥ 6

m>6
m < −6
.
B.
.
C.
.
A.
12sin x + m cos x = 13
Câu 36: Điều kiện để phương trình
có nghiệm là
 m ≤ −5
m ≥ 5
m>5

m < −5
A.
.
B.
.
C.
.
m sin x + 12 cos x = −13
Câu 37: Tìm điều kiện để phương trình
vô nghiệm.


D.

D.

.

a2 + b2 > c2

.

−6 < m < 6
.

−5 < m < 5

.

Trang 7


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

m>5
A.

.

B.


5cos x − m sin x = m + 1
Câu 39: Tìm m để phương trình
có nghiệm
m ≤ −13
m ≤ 12
m ≤ 24
A.
.
B.
.
C.
.
3sin x + m cos x = 5
Câu 40: Tìm điều kiện của m để phương trình
vô nghiệm.
 m ≤ −4
m ≥ 4
m>4
m < −4

A.
.
B.
.
C.
.
m.sin x − 3cos x = 5
Câu 41: Điều kiện để phương trình
có nghiệm là


4

m ∈  −∞; 
3


.

D.

.

−8 < m < 8

m ≥ 24

.

.

−4 < m < 4

 m ≤ −4
m ≥ 4


.

.


.
B.
.
C.
.
cos x + sin x = m
Câu 45: Để phương trình
có nghiệm, ta chọn:
A. −1 ≤ m ≤ 1 .
B. 0 ≤ m ≤ 2 .
C. m tùy ý.

m cos 2 x + sin 2 x = m − 2

D.

D.

2 sinx + mcosx = 1 − m (1)

Câu 46: Phương trình

D.

−5 < m < 5

D.

D.


3

m ∈  ; +∞ ÷
4


Trang 8

.


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Lượng giác – ĐS và GT 11

4sin x + ( m − 1) cos x = m
Câu 47: Cho phương trình
trình có nghiêm:
17
17
m


D.

17
2

.

m  ≤ –5

m

Câu 49: Cho phương trình lượng giác:
. Định để phương trình vô nghiệm.
m
≤
−
3
hay m ≥ 5
−3 < m < 5
m≥5
−3 ≤ m ≤ 5
A.
B.
C.
D.
m sin x − 1 − 3m cos x = m − 2
m
Câu 50: Cho phương trình
. Tìm



3
3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
m
sin
x
+
5cos
x
=
m
+
1
m
Câu 52: Tìm
để phương trình
có nghiệm:
m ≤ 12
m≤6
m ≤ 24
m≤3

D.
.

File Word liên hệ: 0937351107 - Email: [email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Trang 9


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Lượng giác – ĐS và GT 11

PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC NHẤT VỚI SIN VÀ COSIN
Câu 1: Giải phương trình

5sin 2 x − 6 cos 2 x = 13

.

x = kπ , k ∈ ¢

A. Vô nghiệm.
B.
.
x = π + k 2π , k ∈ ¢
x = k 2π , k ∈ ¢
C.
.
D.

.
B.
.
π
π
π
π


 x = 16 + k 2
 x = 18 + k 2
,k ∈¢
,k ∈¢


x = π + k π
x = π + k π


8
3
9
3
C.
.
D.
.

KHÚC NÀY TÔI XÓA ĐI VÀ QUA
LUÔN PHẦN HƯỚNG GIẢI CHI TIẾT


2

a +b

a2 + b2

, cosα =

ta được:

b
2

b

sin x +

2

a +b

a2 + b2

a2 + b2

a2 + b2

c
a2 + b2

1

3
π
sin x ± 3 cos x = 2  sin x −
cos x  = 2 sin( x − )
2
3
2

•

•

 3

1
π
3 sin x ± cos x = 2  sin x ± cos x  = 2sin( x ± )
2
6
 2


1
π
 1

sin x ± cos x = 2 
sin x ±

Lượng giác – ĐS và GT 11

x
x ≠ π + k2π ⇔ cos ≠ 0.
2

Đặt:

x
2t
1− t2
t = tan , thay sin x =
, cos x =
,
2
1+ t2
1+ t2

ta được phương trình bậc hai theo t:

(b + c)t2 − 2at + c − b = 0 (3)

x ≠ π + k2π ⇔ b + c ≠ 0,
Vì

nên (3) có nghiệm khi:

∆ ' = a2 − (c2 − b2) ≥ 0 ⇔ a2 + b2 ≥ c2.
tan



Câu 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất theo
sin 2 x − cos x = 0
sin 2 x + cos x − 1 = 0
A.
.
B.
.
2 cos x + 3sin x = 1
2 cos x + 3sin 3 x = −1
C.
.
D.
.

sin x

và

cos x

Hướng dẫn giải:
Chọn C.

a sin x + b cos x = c ( 1)

a , b, c ∈ ¡

a2 + b2 ≠ 0


Chọn

Lượng giác – ĐS và GT 11

D

.
3sin x + 4 cos x = 5

cos x
sin x
, đây là phương trình bậc nhất theo
và
.
2
2
2
3 + 4 = 25 ≥ 5
Phương trình trên có nghiệm vì
.
3
⇔ cos x = > 1 ⇒
2 cos x − 3 = 0
2
Câu A:
PT vô nghiệm.
10
sin 2 x =
>1⇒
3

Câu 4: Phương trình nào sau đây vô nghiệm:
1
cos x =
3 sin x + cos x = −1
3
A.
.
B.
.
3 sin 2 x − cos 2 x = 2
3sin x − 4 cos x = 6
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
1
( −1)
Câu B có nghiệm vì
2
a 2 + b2 = 3 + 1 = 4 = ( 2 )
Câu C có nghiệm vì
.
2
2

D.

Lượng giác – ĐS và GT 11

3sin x − 4 cos x = 5
.

a 2 + b 2 = 22 + 12 = 5 < 32

Câu A vô nghiệm vì
.
Câu 6: Phương trình nào sau đây vô nghiệm.
1
sin x =
3 sin x − cos x = −1
4
A.
.
B.
.
3 sin 2 x − cos 2 x = 4
3sin x − 4 cos x = 5
D.
C.
.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
1

Chọn C
2
2
3 sin x = 2 ⇔ s inx =
>1
3
3
Phương trình
, mà
nên phương trình vô nghiệm.
1
1
cos 4 x = ⇔ cos 4 x = 2
4
2
Phương trình
nên phương trình vô nghiệm.
2
3
2sin x + 3cos x = 1 2 +3 >1
Phương trình
có
nên phương trình có nghiệm.
2
1  19

cot 2 x − cot x + 5 = 0 ⇔  cot t − ÷ + > 0
2
4


+ ( −1) = 4 < ( −3)
2

Lượng giác – ĐS và GT 11

3 sin x − cos x = −3

2

3 sin x − cos x = −3
Ta có:
nên phương trình
vô nghiệm.
Câu 9: Phương trình nào sau đây vô nghiệm:
sin x − cos x = 3
cosx + 3sinx = −1
A.
B.
3 sin 2 x − cos 2 x = 2
2sinx + 3cosx = 1
D.
C.
Hướng dẫn giải:
Đáp án A
sin x − cos x ≤ (12 + (−1)2 )(sin 2 x + cos 2 x) = 2 < 3
nên phương trình vô nghiệm
2
2
2
2

2000 trang của Thầy Đặng Việt
Đông.
Quý Thầy Cô mua trọn bộ File
Word Toán 11 và 12 của Thầy
File Word liên hệ: 0937351107 - Email: [email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Trang 15


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Lượng giác – ĐS và GT 11

Đặng Việt Đông giá 200k thẻ
cào Vietnam mobile liên hệ số
máy 0937351107

File Word liên hệ: 0937351107 - Email: [email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Trang 16