BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

NGÔ QUÝ ĐĂNG

NGHIỆM TUẦN HOÀN
VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM
CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

NGÔ QUÝ ĐĂNG

NGHIỆM TUẦN HOÀN
VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM
CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân
Mã số: 62460103

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TSKH. NGUYỄN THIỆU HUY

Hà Nội - 2017


Nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.1.2

Tính ổn định và nhị phân mũ . . . . . . . . . . . . . . 14

Không gian hàm Banach chấp nhận được và không gian giảm
nhớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.1

Không gian hàm Banach chấp nhận được . . . . . . . . 16

1.2.2

Không gian giảm nhớ (fading memory space) . . . . . . 19

1.2.3

Bất đẳng thức nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3

Nhị phân mũ của họ tiến hoá . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4

Đa tạp ổn định địa phương đối với phương trình tiến hóa nửa
tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25



3.1

Nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính . 51

3.2

Phương trình tiến hóa với họ tiến hóa có nhị phân mũ

3.3

Ổn định có điều kiện và đa tạp ổn định địa phương . . . . . . 58

. . . . 55

Chương 4. NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
69

CÓ TRỄ

4.1

Sự tồn tại duy nhất nghiệm tuần hoàn của phương trình có
trễ hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.2

Ổn định có điều kiện và đa tạp ổn định địa phương . . . . . . 73

4.3

1

Ngô Quý Đăng


LỜI CẢM ƠN
Luận án này được thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TSKH.
Nguyễn Thiệu Huy-người thầy vô cùng mẫu mực đã tận tình giúp đỡ tôi trên
con đường khoa học. Thầy đã chỉ bảo tôi trong suốt quá trình nghiên cứu,
giúp tôi tiếp cận một lĩnh vực toán học đầy thú vị và luôn tạo ra những thử
thách giúp tôi tự học hỏi, tìm tòi, sáng tạo. Đó là những gì tôi may mắn được
tiếp nhận từ người thầy đáng kính của mình. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc đến thầy.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn đến các thầy, cô và các bạn trong xemina
Dáng điệu tiệm cận nghiệm thuộc Viện Toán ứng dụng và Tin học - Đại học
Bách khoa Hà Nội do PGS. TSKH. Nguyễn Thiệu Huy chủ trì. Đây là môi
trường học tập và nghiên cứu thuận lợi giúp tác giả hoàn thành luận án này.
Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Viện Đào tạo
Sau đại học, Ban lãnh đạo Viện Toán ứng dụng và Tin học - Đại học Bách
khoa Hà Nội, đặc biệt là các thầy, cô giáo trong Bộ môn Toán cơ bản, Viện
Toán ứng dụng và Tin học - Đại học Bách khoa Hà Nội đã luôn giúp đỡ, động
viện, tạo môi trường học tập nghiên cứu thuận lợi cho tác giả.
Tác giả xin cũng bày tỏ lòng cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Lãnh đạo và
các đồng nghiệp trong Khoa GD Tiểu học, Phòng Khảo thí và Đảm bảo chất
lượng, Khoa Tự nhiên Trường CĐSP Thái Bình đã tạo điều kiện thuận lợi cho
tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin dành cho gia đình, những người luôn yêu
thương, chia sẻ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hoàn thành luận án.
Tác giả



p

|u(x)|p dx)1/p < +∞ , 1 ≤ p < ∞.

=(
R

L∞ (R)

:= u : R → R u

∞

= ess sup |u(x)| < +∞ .
x∈R

L1,loc (R)

:= u : R → R u ∈ L1 (ω) với mọi tập con đo được ω ⊂⊂ R ,
trong đó ω ⊂⊂ R nghĩa là bao đóng ω là tập compact trong R.

X, Y

: không gian Banach.

L(X), L(C, X) : không gian các toán tử tuyến tính bị chặn.


t+1


:= f : R+ → X f (·) ∈ M

3

với chuẩn f

M

:=

f (·)

M.


C

:= C([−r, 0], X) không gian các hàm liên tục trên [−r, 0], r > 0,
nhận giá trị trong X với chuẩn u

C

= sup

u(t) .

t∈[−r,0]

C R−

Cb (R+ ,X)

:= sup v(t) .
t∈R+

:= v : R → X | v liên tục và sup v(t) < ∞
t∈R

với chuẩn v

Cb (R,X)

:= sup v(t) .
t∈R

Cb ([−r, ∞), X) := v : [−r, ∞) → X | v liên tục và

sup
t∈[−r,∞)

với chuẩn v

Cb

:= sup
t∈[−r,∞)

4

v(t) .

với toán tử tuyến tính A(t) (có thể không bị chặn) sinh ra họ tiến hóa và
trường hợp họ tiến hóa có nhị phân mũ đến nay vẫn còn nhiều vấn đề cần
được nghiên cứu.
Một vấn đề quan trọng khác khi nghiên cứu về dáng điệu tiệm cận nghiệm
5


cũng thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học đó là nghiên cứu về
tồn tại đa tạp tích phân. Nghiên cứu này mang lại cho chúng ta bức tranh
hình học về dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân với nhiễu
phi tuyến xung quanh một điểm cân bằng hay xung quanh một quỹ đạo xác
định. Mặt khác nó còn cho phép thu gọn việc nghiên cứu tính chất nghiệm
của những phương trình đạo hàm riêng phức tạp về những phương trình đơn
giản hơn trên các đa tạp đó do tính hút của các đa tạp này đối với các nghiệm
của phương trình đang xét. Những kết quả đầu tiên nghiên cứu về sự tồn tại
đa tạp tích phân đối với phương trình vi phân thường được Hadamard (xem
[13]), Perron (xem [49, 50]) đưa ra. Sau đó, Daleckii và Krein (xem [27]) đã
mở rộng các kết quả đó cho phương trình vi phân trong không gian Banach....
Năm 2009, N.T. Huy cùng một số cộng sự đã sử dụng không gian hàm chấp
nhận được, định lý hàm ẩn,... xây dựng đa tạp ổn định địa phương, đa tạp
ổn định bất biến mà không cần dùng điều kiện hằng số Lipschitz đủ nhỏ của
toán tử phi tuyến theo nghĩa cổ điển (xem [40]). Cụ thể các tác giả đã xét
điều kiện tổng quát hơn của phần phi tuyến khi xét sự tồn tại của đa tạp
ổn định bất biến (xem [35]), ở đó hệ số Lipschitz của phần phi tuyến là hàm
phụ thuộc thời gian và thuộc một không gian hàm Banach chấp nhận được.
Việc sử dụng không gian hàm Banach chấp nhận được đã mang đến một số
kết quả về lý thuyết dáng điệu tiệm cận nghiệm được công bố trong thời gian
gần đây (xem [4, 28, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 41, 43, 44, 45]). Tuy nhiên,
các nghiên cứu này mới xét cho trường hợp xung quanh quỹ đạo cân bằng,
một số dạng phương trình vi phân đạo hàm riêng không trễ hoặc có trễ hữu