Hàm số Logarit
Bài 1: Chứng minh rằng
x
e
>
x
+
1
với
0
≠
x
Giải
Xét hàm số
( )
xf
=
x
e
-
1
-
x
liên tục và khả vi với mọi
0
≠
x

( )
xf
,

( )
0f

⇔

x
e
- 1 -
x
> 0
⇔

x
e
>
x
+
1
(1)
Nếu
0<x
thì
( )
01
,
<−=
x
exf

⇔

x
e
>
x
+
1
với
0
≠
x
đpcm.
Bài 2 : ( ĐH Kiến Trúc Hà Nội )
Chứng minh rằng bất đẳng
2
1
2
x
xe
x
++>
đúng với mọi
0>x

Giải
Yêu cầu bài toán
⇔

x
ex
x

x
exf

0
>∀
x
Do đó
( )
xf
,
nghịch biến trong
( )
+∞∈∀
;0x

⇔

( )
xf
,
<
( )
0
,
f
=0 với
( )
+∞∈∀
;0x
⇒

2
1
2
x
xe
x
++>
với
0
>∀
x
đpcm.
Bài 3: Chứng minh rằng
6
3
x
x
−
<
xx <sin
với
0>x
Giải
Ta hướng dẫn cho học sinh chứng minh bất đẳng thức

⇔
chứng minh




x
,
( )
00
=
f⇒

( )
xf
,
=
1cos
−
x
<0
⇔

( )
xf
nghịch biến

⇔
( )
xf
<
( )
0f

3
x
xxxf
+−=

⇒

( )
xf
,
=
2
1cos
2
x
x
+−
=
( )
xg⇒

( )
0sin
,
>+−=
xxxg
với mọi

xf
đồng biến
⇔

( )
xf
>
( )
0f
=0 với
0
>
x

⇔

0
6
sin
3
>+−
x
xx

⇔

6
3
x
x

với
2
0
π
<<
x
Giải
áp dụng bất đẳng thức côsi:
xx tansin
22
+

≥

xx tansin
2.2.2
=
1
2
tansin
2
tansin
22.2
+
++
=
xxxx

⇔


11
2
tansin
+≥+
+
x
xx⇔

xxx 2tansin ≥+
với
2
0
π
<<
x
xét hàm số
( )
xf
=
xxx 2tansin
−+
với
2
0
π
<<
x


2.
cos
1
.cos.2
2
2
−
x
x

0
=
(vì
xx
2
coscos >
với
2
0
π
<<
x
)
⇔

( )
0
,
≥


⇔

xxx 2tansin ≥+
hay
xx tansin
22
+

≥

1
2
+
x
với
2
0
π
<<
x
đpcm.
Bài 5: (ĐH Dược )
Với
2
0
π
<≤
x
, chứng minh rằng

xx
x
xxf
cos
22
,
2
3
cos.2
1
2
cos
2
cos
2
3
cos.2
1
cos
≥−++=−+=0
2
3
.
cos
1
2
cos


( )
xf
đồng biến trong
khoảng






2
;0
π

⇔

( )
xf

≥

( )
0f

⇔

0
2
3







∈∀
2
;0
π
x
. Đẳng thức xảy ra
⇔

0
=
x
Mà
2
3
tan
2
1
sin
tansin2tansin.2
2.22.222.222
x
xx
xxxx
≥=≥+

=
=
x
xx
⇔

0
=
x
.Do đó
1
2
3
tansin.2
222
+
>+
x
xx
với






∈∀
2
;0
π



4
3
;0
,
18
59
4
3
=






f
Ta có
( )
( )
3
3
3
,
122
2
x
x
x

;0

⇔

( )






≥
4
3
fxf
,






∈∀
4
3
;0x

⇔

( )

2
>≥+
α
α
Hay
3
1
.2
2
>+
α
α







∈∀
4
3
;0
α
đpcm.
Bài 7: Chứng minh rằng với
10
3
+<<<
aba

bx
bxx
xf
+
+
=
3
3
.2
.2
với
10
+<<<
axa
Ta có
( )
33
bbf
=
và
( )
( )
( )
0
.2
.2
2
3
2
3

( ) ( )
[ ]
( )
ba
baa
b
ba
baa
++
+++
<<
+
+
3
3
3
3
3
1.2
.211
.2
.2.
.
đpcm.
Bài 8: ( Đề thi thử ĐH Quảng Xương I)
Cho
2
0
π
<<<

( )
xxxxxf sin.2cos.sin
,
−+=
,
( )
00
,
=
f

( )
xxxxxxxxf sin.cos.2sin.coscos
,,
−=−−+=
(vì
2
0
π
<<
x
thì
0sin
>
x
) nên
( )
0
,,
<

bfaf
>
với 0
2
π
<<<
ba

⇔

aaa cos2sin.
+
>
bbb cos.2sin.
+

hay
bbaa sin.sin.
−
>
( )
ab coscos.2
−
đpcm.
Bài 9: Chứng minh rằng
0000
10tan.6tan.39tan.5tan.4
<
Giải
Xét hàm số

2
0
π
α
<<
)
⇒
hàm số
( )
xf
là đồng biến trên
2
0
π
<<
x
với 5<6 thì
( )
5f
<
( )
6f

⇔








⇔

00
6tan.55tan.6
<
( 2)
chứng minh tương tự ta cũng có
00
10tan.99tan.10
<
(3)
Nhân từng vế (2) và (3) ta suy ra
0000
10tan.6tan.39tan.5tan.4
<
đpcm.
Bài 10: Cho
≥≥
yx
z>0 chứng minh
y
xz
x
zy
z
yx ...
222
++



⇔









++≥++
1..
2
2
2
2
2
2
3
3
2
2
3
3
y
z
y
x
y


⇔
( )
( )
01..1
22323
≥++−+−
vvvuvuvu
(2)
Nếu v=1 thì (2) có dạng
01.2
2
≥+−
uu
tức là (2) đúng
Nếu
10
<<
v
xét hàm số
( ) ( )
( )
22323
1..1 vvvuvuvuuf
++−+−=
với
1
≥
v
Ta có

u
ta có
( )
uf
,
≥

( )
1
'
f

mà
( )
1
'
f
=
)3)(1(3.4
23
−+−=+−
vvvvv
>0 nên
( )
uf
,
≥ 0 ⇔ f (u) là hàm số đồng biến khi u
≥ 1 Tức là ∀ ≥ 1 ta có f(u) ≥ f(1) = v
2
- 2v + 1 = (v- 1)

với
0
>≥≥
zyx
đpcm.
Bài 11: Chứng minh
( )
xx
x
x
<+<−
1ln
2
2
với mọi
0>x
Giải
Ta chứng minh
( )
x
x
x
+<−
1ln
2
2

0
>∀
x

x
x
x
Suy ra
( )
xf
đồng biến với mọi
0
>
x

⇔

( )
0
2
1ln
2
>+−+
x
xx
,
0>x

⇔

( )
x
x
x

11
1
1
,
>
+
=
+
−=
x
x
x
xg
, khi
0>x

⇔

( )
0
>
xg
,
0
>∀
x

⇔

( )

x
,với mọi
0>x
đpcm.
Bài 12 Chứng minh rằng
x
x
xx
x
<
+
<−
1
2
2
với
0>x
Giải
Do
0
>
x
nên
x
x
xx
x
<
+
<−

−>
+
1
1
1
2
1
1
1
x
x
x
Ta chứng minh
1
1
1
<
+
x

0
>∀
x
Vì
0>x
nên
11
>+
x


1
2
1
1
−+
+
=
x
x
xg

0>x
,
( )
00
=
g

( )
( )
0
1
1
1
2
1
3
,
>


>∀
x

⇒

01
2
1
1
>−+
+
x
x

0
>∀
x

⇔

1
1
2
1
+
<−
x
x

0

x
đpcm.
Bài 13: Chứng minh rằng :
( )
2
2
2
4
1sin
π
−+≤
−
−
xx
với
2
0
π
<<
x
Giải
Yêu cầu bài toán
⇔
( )
2
2
2
4
1sin
π

3
3
>+
−
−
xxx
với
2
0
π
<<
x
⇔
( )
xxx cos.sin.2.2
3
3
−
−
>

⇔

x
x
x
33
sin
cos1
>

đặt
( )
xg
=
( )
xxx
−
−
3
1
cos.sin
,

⇒

( ) ( ) ( )
1sin.cos
3
1
cos
2
3
4
3
2
,
−+=
−
xxxxg
,

,,,,
gxg
>
= 0 với
2
0
π
<<
x

⇒

( )
xg
,
đồng biến






2
;0
π
⇒

( )
xg
,


( )
xf
đồng biến






2
;0
π
⇒

( )
xf
2
2
4
1
2
1
2
π
ππ
−=




sin
−
−
−
xx

2
4
1
π
−≤
Hay
( )
2
2
2
4
1sin
π
−+≤
−
−
xx








Từ giả thiết
⇒

222
1 acb
−=+
,
222
1 bac
−=+
và
222
1 cba
−=+

thay vào (1) ta có
( ) ( ) ( )
2
2
2
2
2
2
222222222
111111 cc
c
bb
b
aa
a

2
3.3
( do a, b ,c đều dương )
Xét hàm số
( ) ( )
xxxxxf
+−=−=
3
1
,
( )
1;0
∈
x

( )
1.3
2,
+−=
xxf
⇒

( )
xf
,
>0





≤
3.3
2
3
1
=








f

⇒

( )
2
3.31
≥
xf

Do đó 0<
( )
33
2
1
2

−
Tương tự
( )
2
2
2
.
2
3.3
1
b
bb
b
≥
−

( )
2
2
2
.
2
33
1
c
cc
c
≥
−
Do đó

i
i
i
yx
11
chứng minh
∏∏
==
>
m
y
i
n
i
i
yx
11