HƯỚNG DẪN ƠN THI TỐT NGHIỆP
MƠN GIẢI TÍCH
A/ CẤU TRÚC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP MƠN TỐN CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu I (3 điểm):
- Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số.
- Các bài tốn liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: chiều biến thiên của hàm số, cực trị, tiếp tuyến,
tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị hàm số. Tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho trước, tương giao giữa hai đồ thị
(một trong hai đồ thị là đường thẳng)…
Câu II (3 điểm):
- Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lơgarit.
- Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. Tìm ngun hàm, tính tích phân.
- Bài tốn tổng hợp.
Câu III (1 điểm):
Hình học khơng gian (tổng hợp): tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; tính thể tích khối lăng
trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay; tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.
Câu IV.(2 điểm):
Nội dung kiến thức:
- Xác định tọa độ của điểm, vectơ.
- Mặt cầu.
- Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.
- Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.
Câu V.(1 điểm):
Nội dung kiến thức:
- Số phức: mơđun của số phức, các phép tốn trên số phức. Căn bậc hai của số thực âm. Phương trình bậc hai hệ số thực có
biệt thức ∆ âm.
- Ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay.
B/ MỘT SỐ CHỦ ĐỀ TỰ BỒI DƯỠNG
Chủ đề I: DẠNG TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ:
I/ Khảo sát hàm đa thức:
1/ Sơ đồ khảo sát hàm đa thức:
B1: Tập xác đònh: D=

≥ ∀


>

y x
a

' 0 có 2 nghiệm phân biệt
0
y
a
=


<


' 0
0
≤ ∀


<

y x
a

1
x

0
y
a
=


<


' 0 có 1 nghiệm đơn
0
y
a
=


<

Chú ý: Đồ thò hàm trùng phương luôn nhận trục oy làm trục đối xứng.
2/ Ví dụ 1: Khảo sát các hàm số y = x
3
+3x
2
– 4
Giải:
Tập xác đònh: D = R
lim
x
y
→±∞

∞
CĐ -4
6 6y x
′′
= +
cho
y
′′
= 0
⇔
x= –1
⇒
y= -2, y’’ đổi dấu qua x=-1 ⇒ I(-1 ;-2) là điểm uốn
Điểm đặc biệt: A(1;0) B(-3;-4)
Vẽ đồ thò hàm số:
Ví dụ 2: Khảo sát hàm số: y = 2x
2
– x
4
Giải
MXĐ : D= R
lim
x
y
→±∞
=−∞
y
′
= 4x–4x
3

CĐ 0 CĐ -
∞

2
2
-2
-4
x
y
14 -2

y
′′
= 4–12x
2
cho
y
′′
= 0
⇔
x =
3
3
±
⇒
y=
5
9
y
′′

+ 3x – 2 c/ y= x
3
+ 3x
2
+ 4x -8
d/ y = x
4
– 6x
2
+ 5 e/ y = -
1
4
x
4
+ 2x
2
+
9
4
f/ y = x
4
+ 2x
2
Bài 2 :
a/Cho hàm số y= x
3
– 3m x
2
+ 4m
3

−
.
B3: Tính đạo hàm y’=
( )
2
. .a d b c
cx d
−
+

⇒
tính đơn điệu của hàm số
B4: Lập bảng biến thiên.
x Ghi miền xác đònh của hàm số
f’(x) Xét dấu y
/
f(x) Ghi khoảng tăng giảm của hàm số
B5:Tìm giao điểm của đồ thò với các trục toạ độ , có thể lấy thêm một số điểm khác để dễ vẽ.
B6:Vẽ đồ thò
Dạng đồ thò hàm b1/b1
y’< 0
x D∀ ∈
y’> 0
x D∀ ∈
2/ Ví dụ: Khảo sát hàm số : y =
2 2
1
x
x
−

a/ y =
2
2 1
x
x
− +
+
b/ y =
1
1
x
x
−
+
. c/y =
4
4x −
Bài 2:
Cho hàm số y=
1mx m
x m
− +
−
khảo sát hàm số khi m = 2.
Chủ đề II: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI KHẢO SÁT HÀM SỐ
I/Bài toán1: Tìm giao điểm của hai đường:
 Cho hai hàm số : y= f(x) có đồ thò (C), y= g(x) có đồ thò (C’). Tìm giao điểm của (C) và (C’).
 Phương pháp giải:
B1: phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’): f(x) = g(x) (1)
B2: Giải (1) giả sử nghiệm của phương trình là x

giao điểm của (C) và d.
Giải
Phương trình đường thẳng d có dạng: y= kx + 1.
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là : x
3
-3x +1 = kx + 1 (1)
⇔
x
3
-(3+k)x = 0
⇔
x(x
2
-3-k) = 0
⇔

2
0
( ) 3 0 (2)
x
g x x k
=


= − − =

ta có
/
∆
(2)

y
x 1
−
=
−
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
4
x -
∞
-1 +
∞
y
/
+ +
y +
∞
2
2 -
∞

2 4 6 8-2-4-6-8
2
4
6
8
-2
-4
-6
-8
x

m 12m 16 0
m 0
m.1 (m 4).1 5 0

<− −
≠


≠


∆= − + > ⇔ ⇔ − + < <

 
+ + >



>
− − − ≠



Bài tập đề nghò:
Bài 1: Cho đường cong (C): y=
2
2
1
x x
x

+ 9x
– m = 0
Giải:
Phương trình x
3
– 6x
2
+ 9x – m = 0
⇔
x
3
– 6x
2
+ 9x = m
Số nghiệm của phương trình là số giao
điểm của đồ thò (C) và đường thẳng d: y=m.
dựa vào đồ thò ta có:
Nếu m > 4 phương trình có 1 nghiệm.
Nếu m = 4 phương trình có 2 nghiệm.
Nếu 0< m <4 phương trình có 3 nghiệm.
Nếu m=0 phương trình có 2 nghiệm.
Nếu m < 0 phương trình có 1 nghiệm.
Bài tập đề nghò:
Bài 1: a/ Khảo sát hàm số y= x
4
– 4 x
2
+ 5.
b/ Dùng đồ thò (C) của hàm số vừa khảo sát biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
x

là: y =
/
0
f (x )
(x–x
0
) + f(x
0
)
2/ Tại điểm trên đồ thò (C) có hoành độ x
0
:
B1: Tìm f ’(x)
⇒
f ’(x
0
), f(x
0
)
B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x
0
là:y =
/
0
f (x )
(x–x
0
) + f(x
0
)

B1: Gọi M
0
(x
0
;y
0
) là tiếp điểm .
B2: Hệ số góc tiếp tuyến là k nên :

)(
0
xf
′
=k (*)
B3: Giải phương trình (*) tìm x
0

⇒
f(x
0
)
⇒
phương trình tiếp tuyến.
Chú ý:
 Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b thì có f
/
(x
0
)=a.
 Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=ax+b thì có f

)()(
11
B3:Giải hệ này ta tìm được k chính là hệ số góc của tiếp tuyến thế vào (1) ⇒ phương trình tiếp tuyến.
Ví dụ 1 :
Cho đường cong (C) y = x
3
.Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong :
a.Tại điểm A(-1 ; -1) b.Tại điểm có hoành độ bằng –2
c.Tại điểm có tung độä bằng –8 d. Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3.
e.Biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm B(2;8)
Giải:
Ta có y’= 3.x
2
a/ Tiếp tuyến tại A(-1;-1)
( )C∈
có
0
0
x 1
f(x ) 1
= −


= −

⇒ f’(x
0
)= 3.(-1)
2
= 3 ⇒ phương trình tiếp tuyến là: y=f’(x

0
x
=-8
⇒
x
0
=-2
⇒
f’(x
0
)=12
⇒
Phương trình tiếp tuyến là:
y= 12(x+2) – 8 = 12x + 16
d/ Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3
⇔
f’(x
0
)=3
⇔
3.
2
0
x
=3

⇔

x
0

3 (2)
x
x k

=


=



⇔
x
3
= 3x
2
(x-2) + 8
⇔
2x
3
- 6x
2
+ 8 = 0
⇔

2
1
x
x
=

x x
x
− +
+
có đồ thò (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C)
a/ Tại các giao điểm với trục hoành. b/ Tại điểm có hoành độ = 2.
c/ Tại điểm có tung độ y=-
3
2
. d/Biết tiếp tuyến có hệ số góc k= - 1. e/Biết tiếp tuyến đi qua A(2;0).
IV/ Bài toán 4: xét tính đơn điệu
Phương pháp xác đònh khoảng tăng, giảm hàm số :
+ MXĐ D= ?
+ Tính : y
/
= , tìm nghiệm của ptr y
/
= 0
+ BXD (sắp các nghiệm của PT y
/
= 0 và giá trị khơng xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần)
Chú ý: y
/
> 0 thì hàm số tăng ; y
/
< 0 thì hàm số giảm
+ Kết luận : hàm số đồng biến , nghòch biến trên khoảng ...
Đònh lý 2 (dùng để tìm gía trị m):
a) f
/

1) Nếu hàm số ln tăng ( giảm) trên (a;b) thì khơng có cực trị trên (a;b).
2) Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn của phương trình y
/
= 0.
3) x
0
là cực trị của hàm số 
/
( ) 0
0
/
( )
=



y x
y x
• Tìm cực trò = dấu hiệu II:
+ MXĐ
+ Đạo hàm : y
/
= ? .. y
//
= ? ..
cho y
/
= 0 => các nghiệm x
1
, x

/
khó xét dấu
7
đổi dấu qua x
0
*Cực trò của hàm hữu tỉ : Nếu h/s đạt cực trò tại x
0
thì y
/
(x
0
)= 0 và giá trò cực trò y(x
0
) =
u (x )
0
v (x )
0
′
′
* Điều kiện để hàm bậc 3 có cực trò (có cực đại,cực tiểu): y’= 0 có hai nghiệm phân biệt
⇔

a 0
0
≠


∆ >


4
2 2
''
x m
y
x m
+
=
+
Đ/k cần để å hàm số đạt cực đại tại x=2 là:
( )
2
' 2 0 4 3 0f m m= + + =Û
⇔
1
3
m
m
é
=-
ê
ê
=-
ë
Đ/k đủ: Với m= -1 thì f
//
(2)=2>0 ⇒ m= -1 không là giá trò cần tìm.
Với m= -3 thì f
//
(2)= -2< 0 ⇒ m= -3 là giá trò cần tìm.

' 0 2 2 4 0y x m x= - + - + =Û
ta có
( )
2
' 2 4 0 m m= - + > "D

⇒
y
/
=0 luôn luôn có 2 nghiệm
phân biệt. Vậy hàm số luôn có một cực đại và một cực tiểu.
3/Đònh m để hàm số y=
( )
3 2 2
3 3 1x mx m m x− + − +
có cực đại, cực tiểu.
Giải
Txđ D=R y
/
= 3x
2
-6mx +3(m
2
-m)
Để hàm số có cực đại, cực tiểu
⇔
y
/
=0 có 2 nghiệm phân biệt
⇔

+−
2
4
2
. Đònh a,b để hàm số đạt cực trò bằng –2 tại x=1
Bài 3 : Cho hàm số y=
1
2
+
+−
x
mxx
Đònh m để hàm số có cực trò và 2 giá trò cực trò cùng dấu.
Bài 4: Cho hàm số y=
( ) ( )
131
23
−+−−+
xmxmx
.CMR đồ thò hàm số lu6n có cực đại và cực tiểu.Viết phương
trình đường thẳng qua hai điểm cực trò của hàm số .
Ch ủ đề III :TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT NH NHẤT CA HM SỐ .
Phương pháp giải:
*Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của hàm số trên miền xác đònh hay một khoảng :
-Tìm tập xác đònh .
8
-Tính y’, tìm các điểm tại đó đạo hàm bằng khơng hoặc khơng xác định nhưng tại đó hàm số liên tục ,
tính giá trò của hàm số tại các điểm đó.
-Lập bảng biến thiên căn cứ bảng biến thiên
⇒

;2 ]
Giải :
a)Txđ : D =[0;2]
y
/
=
2
1
2
x
x x
−
−
cho y
/
=0
⇔
1-x=0
⇔
x=1
⇒
y=1
Bảng biến thiên
x 0 1
2
y
/
+ 0 -
y 1
0 CĐ


 
= ∈

 
 


 
= − ∉

 
 

Ta có y(
1
)
2
=
7
2
; y(1)=3 ; y(2)=
7
2
1
[ ;2]
2
min ( )f x
= f(
1

[ ]
1,1−
d) y= x
4
- 4x
2
+ 2 trên đoạn [-2;2]
Chủ đề IV: Phương trình, bất phương trình mũ loga
1/ Phương pháp giải phương trình mũ và logarit :
• Dạng cơ bản:
f (x)
a
=
g(x)
a
⇔ f(x) = g(x)
v(x)
u
= 1 ⇔ ( u −1 ).v(x) = 0 ( trong đó u có chứa biến )
f (x)
a
= b ( với b > 0 ) ⇔ f(x) = log
a
b
9