http://www.ebook.edu.vn

GV : Lê đức Thanh

Chưong 8: Chuyển vò của dầm chòu uốn 1
Chương 8

CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CHỊU UỐN

8.1 KHÁI NIỆM CHUNG
Khi tính một dầm chòu uốn ngang phẳng, ngoài điều kiện bền còn phải
chú ý đến điều kiện cứng. Vì vậy, cần phải xét đến biến dạng của dầm.
Dưới tác dụng của các ngoại lực, trục dầm bò uốn cong, trục cong này được
gọi là đường đàn hồi của dầm (H.8.1). Xét một điểm K nào đó trên trục dầm trước khi biến dạng. Sau khi biến
dạng, điểm K sẽ di chuyển đến vò trí mới K’. Khoảng cách KK’ được gọi là
chuyển vò thẳng của điểm K. Chuyển vò này có thể phân làm hai thành
phần:
Thành phần v vuông góc với trục dầm (song song với trục y) gọi là
chuyển vò đứng hay độ võng của điểm K.

≡
y(z)
K
K
’
z

y
ϕ
ϕ
Đường đàn hồi
P

P

z
H.7.2
http://www.ebook.edu.vn

GV : Lê đức Thanh

Chưong 8: Chuyển vò của dầm chòu uốn 2
Ba đại lượng u, v,
ϕ
là ba thành phần chuyển vò của mặt cắt ngang ở
điểm K.
Trong điều kiện biến dạng của dầm là bé thì thành phần chuyển vò
ngang u là một đại lượng vô cùng bé bậc hai so với v, do đó có thể bỏ qua
chuyển vò u và xem KK’ là bằng v, nghóa là vò trí K’ sau khi biến dạng nằm
trên đường vuông góc với trục dầm trước biến dạng (H.8.2).

ϕ
dương nếu mặt cắt quay thuận chiều kim đồng hồ.
Điều kiện cứng: Trong kỹ thuật, khi tính toán dầm chòu uốn, người ta
thường khống chế độ võng lớn nhất của dầm không được vượt qua một giới
hạn nhất đònh để đảm bảo yêu cầu về sự làm việc, mỹ quan của công
trình..., điều kiện này được gọi là điều kiện cứng. Nếu gọi f là độ võng lớn
nhất của dầm thì điều kiện cứng thường chọn là:

1000
1
300
1
÷=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
L
f

trong đó: L - là chiều dài nhòp dầm.
Tùy loại công trình mà người ta quy đònh cụ thể trò số của
[]
Lf
.

1
1
y
y
′
+
′′
=
ρ
(b)
(a) và (b) ⇒
()
x
x
EJ
M
y
y
=
+
′′
2
3
2
'1
(c)
Đó là phương trình vi phân tổng quát của đường đàn hồi, tuy nhiên phải
chọn sao cho hai vế của phương trình trên đều thỏa mãn.
> 0
y” < 0
M
x
M
x

y
M
x
< 0
y” > 0
M
x

M
x
H.8. 3
http://www.ebook.edu.vn

GV : Lê đức Thanh

Chưong 8: Chuyển vò của dầm chòu uốn 4

x
x
EI
M
y −=''
(8.1)

⎝
⎛
+−= DdzCdz
EJ
M
y
x
x
(8.3)
Trong (8.2) và (8.3), C và D là hai hằng số tích phân sẽ được xác đònh
các điều kiện biên. Các điều kiện này phụ thuộc vào liên kết của dầm và
phụ thuộc vào sự thay đổi tải trọng trên dầm.
Đối với dầm đơn giản, có thể có các điều kiện như sau:
+ Đầu ngàm của dầm console có góc xoay và độ võng bằng không
(H.8.4a): y
A
=
ϕ
A
= 0
+ Các đầu liên kết khớp độ võng bằng không (H.8.4b):
y
A
= y
B
= 0
+ Tại nơi tiếp giáp giữa hai đoạn dầm có phương trình đường đàn hồi

a)
y
A
= 0
y
B
= 0
b)
AB
C
http://www.ebook.edu.vn

GV : Lê đức Thanh

Chưong 8: Chuyển vò của dầm chòu uốn 5

Thí dụ 8.1 Viết phương trình đường đàn hồi và góc xoay cho dầm công
son (console) như H.8.5. Từ đó suy ra độ võng và góc xoay lớn nhất. Cho
EJ
x
= hằng số.
Giải.
Phương trình mômen uốn tại
mặt cắt có hoành độ z là:
M
x
=–Pz (a)

thế vào (8.1) ⇒ phương trình vi phân của đường đàn hồi :


C và D được xác đònh từ các điều kiện biên về độ võng và góc xoay tại
ngàm:
z = L;
ϕ
= 0 và y = 0
thay các điều kiện này vào (c) và (d) ⇒

xx
EJ
PL
D
EJ
PL
C
3
;
2
32
=−=

Vậy phương trình đường đàn hồi và góc xoay là:

;
326
323
xxx
EJ
PL
z
EJ

ϕ

y
max
> 0 chỉ rằng độ võng của điểm A hướng xuống

ϕ
< 0 chỉ rằng góc xoay của điểm A ngược kim đồng hồ. A
B

y
B
=
ϕ
B
= 0
P
y
z
z
L
H.7.5
http://www.ebook.edu.vn

GV : Lê đức Thanh

Chưong 8: Chuyển vò của dầm chòu uốn 6

x
+==
6
'
3
ϕ
(c)

DzC
EJ
qz
y
x
++=
24
4
(d)
hai điều kiện biên ở đầu ngàm z = L;
ϕ
= 0 và y = 0 cho :

xx
EJ
qL
D
EJ
qL
C
8
;

Độ võng và góc xoay lớn nhất ở đầu tự do A của dầm; ứng với z = 0, ta
có: 8
4
max
x
EJ
qL
y =
và
x
A
EJ
qL
6

3
−=
ϕ

Thí dụ 8.3 Tính độ võng và góc xoay lớn nhất của dầm đơn giản chòu tải
phân bố đều (H.8.7). Độ cứng EJ
x
của dầm không đổi.
Giải.
Phương trình mômen uốn tại
mặt cắt ngang có hoành độ z là:
()

=
ϕ
B
= 0
q
y
z
L
H.8.6
http://www.ebook.edu.vn

GV : Lê đức Thanh

Chưong 8: Chuyển vò của dầm chòu uốn 7

()
2
2
'' zLz
EJ
q
y
x
−−=
(b)
tích phân hai lần,
⇒

C
zLz

⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−=
1262
43
(d)
điều kiện biên ở các gối tựa trái và phải của dầm:
⎩
⎨
⎧
==
==
0y;Lz:khi
0y;0z:khi⇒

x
EJ
qL
D
24
C ;0
3
==


⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−==
3
3
2
23
461
24
'
L
z
L
z
EJ
qL
y
x
ϕ
(g)
Độ võng lớn nhất của dầm ở tại mặt cắt ngang giữa nhòp ứng với:
z =
2
L
(tại đây y’ = 0)
thay z =
2

lần lượt vào (g)
⇒

x
EJ
qL
y
3
maxmax
24
1
'
==
ϕ

x
EJ
qL
y
3
minmin
24
1
'
−==
ϕ

Góc xoay của mặt cắt ở gối tựa trái thuận chiều kim đồng hồ, góc xoay
của mặt cắt ở gối tựa phải ngược chiều kim đồng hồ.


Mômen uốn M
x
trong các đoạn sau:
Đoạn AC (0
≤
z
1

≤
a):
1)1(
z
L
Pb
M
x
=
(a)
Đoạn CB (a
≤
z
2

≤
L):
()
azPz
L
Pb
M

Đoạn AC (0
≤
z
1

≤
a):

1
2
11
2
'
Cz
LEJ
Pb
y
x
+−=
(e)

111
3
11
6
DzCz
LEJ
Pb
y
x

Chưong 8: Chuyển vò của dầm chòu uốn 9

()
2
2
2
2
22
22
'
Caz
EJ
P
z
LEJ
Pb
y
xx
+−+−=
(h)

()
222
3
2
3
22
66
DzCaz
EJ

2
= 0
z
1
= z
2
= a; y
1
= y
2
; y
1
’ = y
2
’
Từ bốn điều kiện này
⇒
:

()
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨

Pb
Daca
LEJ
Pb
DLCaL
EJ
P
L
LEJ
Pb
D
xx
xx
xx

Giải hệ phương trình trên,
⇒

D
1
= D
2
= 0;
( )
22
21
6
bL
LEJ
Pb

=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
==
66
26
3
1
1
22
1
2
1
22
'
11
z
z
bL
LEJ
Pb
y

⎜
⎝
⎛
−
−
+
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−==
666
622
3
2
2
22
3
2
2
22

Chưong 8: Chuyển vò của dầm chòu uốn 10
Giả sử a > b. Trước hết ta sẽ xét độ võng lớn nhất trong đoạn nào
Ở gối tựa A (z
1
= 0) góc xoay bằng:

01
6
2
2
1
>
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
L
b
EJ
PbL
x
A
ϕ

và ở C (z

0
6
)0(
2
1
2
11
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
zbL
LEJ
Pb
z
x
ϕ

⇒

3
)0(
22
1

b
EJ
bLPb
yy
x
z
(p)

Các hệ quả:
- Nếu P đặt ở giữa nhòp dầm
( )
2/Lb =
, thì từ (o) và (p) , ta được:

x
EJ
PL
yL
L
z
48
; 500,0
2
)0(
3
max1
===

- Khi P ở gần gối B, tức b
→

max
và
()
2l
y
thấy hai giá trò này khác nhau và rất ít
.
0,500L
A
z

B
E

D
0,577L
H.8.9
http://www.ebook.edu.vn

GV : Lê đức Thanh

Chưong 8: Chuyển vò của dầm chòu uốn 11
Nhận xét: Nếu dầm có nhiều đoạn, cần phải lập phương trình vi phân
đường đàn hồi cho nhiều đoạn tương ứng. Ở mỗi đoạn , phải xác đònh hai
hằng số tích phân, nếu dầm có n đoạn thì phải xác đònh 2n hằng số, bài
toán trở nên phực tạp nếu số đoạn n càng lớn, vì vậy phương pháp này ít
dùng khi tải trọng phức tạp hay độ cứng dầm thay đổi.

8.4 XÁC ĐỊNH ĐỘ VÕNG VÀ GÓC XOAY BẰNG PHƯƠNG PHÁP TẢI
TRỌNG GIẢ TẠO (PHƯƠNG PHÁP ĐỒ TOÁN)


♦
Đối với việc khảo sát đường đàn hồi của dầm , cũng có phương trình
vi phân:

x
x
EJ
M
dz
yd
−=
2
2
(b)
Đối chiếu các phương trình (a) và (b), ta thấy có sự tương tự sau:

y

'
y
dz
dy
=

x
x
EJ
M
y

Tương tự muốn có lực cắt Q
y
và mômen uốn M
x
thì phải tích phân liên
tiếp hai lần hàm số tải trọng q.
Tuy nhiên ở phần trước ( CH.2), ta đã tính lực cắt Q
y
và mômen uốn
M
x
theo tải trọng q từ việc khảo sát các phương trình cân bằng.
http://www.ebook.edu.vn

GV : Lê đức Thanh

Chưong 8: Chuyển vò của dầm chòu uốn 12
Như vậy, cũng có thể tính góc xoay y’ và độ võng y theo hàm y”=-
x
x
EJ
M

mà không cần tích phân. Đó cũng chính là phương pháp tải trọng giả
tạo. ♦
Phương pháp tải trọng giả tạo:
Tưởng tượng một dầm giả tạo (DGT) có chiều dài giống dầm thực

- Lực cắt giả tạo- Lực cắt trong DGT

gt
M
- Mômen giả tạo- Mômen uốn trong DGT

⇒
Muốn tính góc xoay y’ và độ võng y của một dầm thực (DT)
(dầm đang khảo sát) thì chỉ cần tính lực cắt Q
gt
và mômen uốn M
gt
do tải
trong giả tạo tác dụng trên DGT gây ra.
Tuy nhiên, để có được sự đồng nhất đường đàn hồi y và Momen uốn
M
gt
thì điều kiện biên của chúng phải giống nhau: y’ = Q
gt
; y = M
gt
tại bất
kỳ điểm trên hai DT và DGT; Ngoài ra nếu xét tại điểm bất kỳ trên dầm
phải khảo sát đến sự giống nhau của bước nhảy góc xoay
y
′
Δ
và bước
nhảy lực cắt
gt