BTN_7_5

Chuyên đề 7. Hình học không gian
Chuyên đề 7. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN
Chủ đề 7.5. MẶT CẦU – MẶT NÓN – MẶT TRỤ

A. KIẾ
KIẾN THỨ
THỨC CƠ
CƠ BẢ
BẢN
I. MẶT NÓ N

1/ Mă ̣t nó n trò n xoay

Hıǹ h 1

Hıǹ h 2

Trong mă ̣t phẳ ng ( P ) , cho 2 đường thẳ ng d , ∆ cắ t nhau ta ̣i O và chú ng ta ̣o thà nh gó c β với
00 < β < 900 . Khi quay mp ( P ) xung quanh tru ̣c ∆ với gó c β không thay đổ i đươ ̣c go ̣i là mă ̣t nó n trò n
xoay đın̉ h O (hıǹ h 1).
Người ta thường go ̣i tắ t mă ̣t nó n trò n xoay là mă ̣t nó n.
Đường thẳ ng ∆ go ̣i là tru ̣c, đường thẳ ng d đươ ̣c go ̣i là đường sinh và gó c 2 β goị là gó c ở đın̉ h.
2/ Hın
̀ h nó n trò n xoay
Cho ∆OIM vuông taị I quay quanh canh
̣ gó c vuông OI thı̀ đường gấ p khú c OIM taọ thà nh môṭ hıǹ h,
goị là hıǹ h nó n trò n xoay (goị tắ t là hıǹ h nó n) (hıǹ h 2).
Đường thẳ ng OI goị là truc,
̣ O là đın̉ h, OI goị là đường cao và OM goị là đường sinh củ a hıǹ h

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

1|THBTN


BTN_7_5

Chuyên đề 7. Hình học không gian
II. MẶT TRỤ
1/ Mă ̣t tru ̣ trò n xoay
∆

Trong mp ( P ) cho hai đường thẳ ng ∆ và l song song nhau, cá ch nhau
môṭ khoả ng r . Khi quay mp ( P ) quanh truc̣ cố đinh
̣ ∆ thı̀ đường

r l
A
thẳ ng l sinh ra môṭ măṭ trò n xoay đươc̣ go ị là măṭ tru ̣ trò n xoay hay
goị tắ t là măṭ tru.̣
D
Đường thẳ ng ∆ đươc̣ goị là truc.
̣
Đường thẳ ng l đươc̣ goị là đường sinh.
Khoả ng cá ch r đươc̣ goị là bá n kıń h củ a măṭ tru.̣
2/ Hın
̀ h tru ̣ trò n xoay
Khi quay hıǹ h chữ nhâṭ ABCD xung quanh đường thẳ ng chứa môṭ
B
canh,

2r
bằ ng
, trong đó ϕ là gó c giữa truc̣ ∆ và mp (α ) với 00 < ϕ < 900 .
sin ϕ
Cho mp (α ) song song với truc̣ ∆ củ a măṭ tru ̣ trò n xoay và cá ch ∆ môṭ khoả ng d .
+ Nế u d < r thı̀ mp (α ) cắ t măṭ tru ̣ theo hai đường sinh ⇒ thiế t diêṇ là hıǹ h chữ nhât.̣
+ Nế u d = r thı̀ mp (α ) tiế p xú c với măṭ tru ̣ theo môṭ đường sinh.
+ Nế u d > r thı̀ mp (α ) không cắ t măṭ tru.̣

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

2|THBTN


BTN_7_5

Chuyên đề 7. Hình học không gian

III. MẶT CẦ U
1/ Đinh
̣ nghıã
Tâp̣ hơp̣ cá c điể m M trong không gian cá ch điể m O cố đinh
̣ môṭ khoả ng R goị là măṭ cầ u tâm O ,

bá n kıń h R , kı́ hiêụ là : S (O; R ) . Khi đó S (O; R ) = {M | OM = R}
2/ Vi trı
̣ ́ tương đố i củ a mô ̣t điể m đố i với mă ̣t cầ u

Cho măṭ cầ u S (O; R ) và môṭ điể m A bấ t kı,̀ khi đó :
Nế u OA = R ⇔ A ∈ S (O; R ) . Khi đó OA goị là bá n kıń h măṭ cầ u. Nế u OA và OB là hai bá n

Hıǹ h b

d=

Hıǹ h c

4/ Vi trı
̣ ́ tương đố i củ a đường thẳ ng và mă ̣t cầ u

Cho măṭ cầ u S (O; R ) và môṭ đường thẳ ng ∆ . Goị H là hıǹ h chiế u củ a O trên đường
thẳ ng ∆ và d = OH là khoả ng cá ch từ tâm O củ a măṭ cầ u đế n đường thẳ ng ∆ . Khi đó :
d
d=
Nế u d > R ⇔ ∆ không cắ t măṭ cầ u S (O; R ) .
Nế u d < R ⇔ ∆ cắ t măṭ cầ u S (O; R ) taị hai điể m phân biêt.̣
Nế u d = R ⇔ ∆ và măṭ cầ u tiế p xú c nhau (taị môṭ điể m duy nhấ t). Do đó : điề u kiêṇ cầ n và đủ để
đường thẳ ng ∆ tiế p xú c với măṭ cầ u là d = d (O , ∆ ) = R .

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

3|THBTN


BTN_7_5

Chuyên đề 7. Hình học không gian
Đinh
̣ lı́: Nế u điể m A nằ m ngoà i măṭ cầ u S (O; R ) thı:̀

Qua A có vô số tiế p tuyế n với măṭ cầ u S (O; R ) .

3/ Cá ch xá c đinh
̣ tâm và bá n kı́nh mă ̣t cầ u củ a mô ̣t số hın
̀ h đa diêṇ cơ bả n
a/ Hın
̀ h hô ̣p chữ nhâ ̣t, hın
̀ h lâ ̣p phương.
- Tâm: trù ng với tâm đố i xứng củ a hıǹ h hôp̣ chữ nhâṭ (hıǹ h lâp̣ phương).
⇒ Tâm là I , là trung điể m củ a AC ' .
- Bá n kı́nh: bằ ng nửa đô ̣ dà i đường ché o hıǹ h hôp̣ chữ nhâṭ (hıǹ h lâp̣ phương).
AC '
A
B
A
.
⇒ Bá n kıń h: R =
2
D
C
I
I
A’
B’
b/ Hın
̀ h lăng tru ̣ đứng có đá y nô ̣i tiế p đường trò n.
'
1

'
2


A1 A2 A3 ... An và A A A ... A nô ị tiế p đường trò n (O ) và (O ' ) . Lú c đó ,

măṭ cầ u nôị tiế p hıǹ h lăng tru ̣ đứng có :
- Tâm: I với I là trung điể m củ a OO ' .
- Bá n kı́nh: R = IA1 = IA2 = ... = IAn' .

A3
I
A’n

A’1
A’2

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

O

O’
A’3
4|THBTN


BTN_7_5

Chuyên đề 7. Hình học không gian
c/ Hın
̀ h chó p có cá c đı̉nh nhın
̀ đoa ̣n thẳ ng nố i 2 đı̉nh cò n la ̣i dưới 1 gó c vuông.

- Hıǹ h chó p S . ABC có SAC = SBC = 900 .


C

S
∆

M

chẳ ng haṇ như mp ( SAO ) , ta vẽ đường trung trực củ a canh
̣ SA
là ∆ cắ t SA taị M và cắ t SO taị I ⇒ I là tâm củ a măṭ cầ u.
- Bá n kıń h:
SM SI
Ta có : ∆SMI ∼ ∆SOA ⇒
=
⇒ Bá n kıń h là :
SO SA
SM .SA SA2
R = IS =
=
= IA = IB = IC = ...
SO
2 SO
e/ Hın
̀ h chó p có ca ̣nh bên vuông gó c với mă ̣t phẳ ng đá y.

C

B


∆

I

2

R = AI = MI 2 + MA2 =

 SA 
AO 2 +   .
 2 

f/ Hın
̀ h chó p khá c.
- Dựng truc̣ ∆ củ a đá y.

O

A

C

B

- Dựng măṭ phẳ ng trung trực (α ) củ a môṭ canh
̣ bên bấ t kı.̀
- (α ) ∩ ∆ = I ⇒ I là tâm măṭ cầ u ngoaị tiế p hıǹ h chó p.
- Bá n kıń h: khoả ng cá ch từ I đế n cá c đın̉ h củ a hıǹ h chó p.

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn


O

∆ vuông: O là trung điể m
củ a canh
̣ huyề n.

∆ đề u: O là giao điể m củ a 2
đường trung tuyế n (trong
̣

∆ thường: O là giao điể m củ a
hai đường trung trực củ a hai
canh
̣ ∆.

II. KỸ THUẬT XÁC ĐỊNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP.
Cho hình chóp S . A1 A2 ... An (thoả mãn điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp). Thông thường, để xác định

mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo hai bước:
Bước 1: Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Dựng ∆ : trục đường tròn ngoại tiếp đa
S
giác đáy.
Bước 2: Lập mặt phẳng trung trực (α ) của một cạnh bên.
α

I

Lúc đó : - Tâm O của mặt cầu: ∆ ∩ mp(α ) = {O}



6|THBTN


BTN_7_5

Chuyên đề 7. Hình học không gian
A. Tam giác vuông

B. Tam giác đều

∆
B

C. Tam giác bất kì

∆

H

C

∆
B

B

C
H


 SA = SB = SC
5. Ví dụ: Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Dạng 1: Chóp có các điểm cùng nhìn một đoạn dưới một góc vuông.
 SA ⊥ ( ABC )
Ví dụ: Cho S . ABC : 
. Theo đề bài:
∆
ABC
⊥
B


 BC ⊥ AB ( gt )

 BC ⊥ SA ( SA ⊥ ( ABC ) )

⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB
Ta có B và A nhìn SC dưới một góc vuông
⇒ nên B và A cùng nằm trên một mặt cầu có đường kính là SC.
Gọi I là trung điểm SC ⇒ I là tâm MCNT khối chóp S. ABC và bán kính R = SI .
Dạng 2: Chóp có các cạnh bên bằng nhau.
Ví dụ: Cho hình chóp tam giác đều S. ABC .

+ Vẽ SG ⊥ ( ABC ) thì G là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC .
+ Trên mặt phẳng ( SGC ) , vẽ đường trung trực của SC , đường này cắt

SG tại I thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp S. ABC và bán kính R = IS .
+ Ta có ∆SGC ∼ ∆SKI ( g − g ) ⇒

SG SC

NGHIỆM
MẶT CẦU
Câu 1.

Cho một mặt cầu có diện tích là S , thể tích khố i cầu đó là V . Tính bán kính R của mặt cầu.
A. R =

Câu 2.

3V
.
S

B. R =

S
.
3V

C. R =

4V
.
S

D. R =

V
.
3S


C. 4π (a 2 + b2 + c 2 ) .

D.

π
2

(a 2 + b 2 + c 2 ) .

Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước là a , b, c . Gọi ( S ) là mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình
hộp chữ nhật đó. Tâm của mặt cầu ( S ) là
A. một đỉnh bất kì của hình hộp chữ nhật.
B. tâm của một mặt bên của hình hộp chữ nhật.
C. trung điểm của một cạnh của hình hộp chữ nhật.
D. tâm của hình hộp chữ nhật.

Câu 5.

Cho mặt cầu S (O; R ) và đường thẳng ∆ . Biết khoảng cách từ O tới ∆ bằng d . Đường thẳng
∆ tiếp xúc với S (O; R ) khi thỏa mãn điều kiện nào trong các điều kiện sau ?

A. d = R .
Câu 6.

B. d > R .

C. d < R .

D. d ≠ R .

C.

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

R2 − d 2 .

D.

R 2 − 2d 2 .

8|THBTN


BTN_7_5

Chuyên đề 7. Hình học không gian
Câu 9.

Từ điểm M nằm ngoài mặt cầu S (O; R ) có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với mặt cầu ?
A. Vô số.

B. 0.

C. 1.

D. 2.

Câu 10. Một đường thẳng d thay đổ i qua A và tiếp xúc với mặt cầu S (O; R ) tại M . Gọi H là hình

chiếu của M lên đường thẳng OA . M thuộc mặt phẳng nào trong những mặt phẳng sau đây?

.
4

1
22
Câu 12. Thể tích của một khối cầu là 113 cm3 thì bán kính nó là bao nhiêu ? (lấy π ≈
)
7
7
A. 6 cm .
B. 2 cm .
C. 4 cm .
D. 3cm .

Câu 13. Khinh khí cầu của nhà Mông–gôn–fie (Montgolfier) (người Pháp) phát minh ra khinh khí cầu
dùng khí nóng. Coi khinh khí cầu này là một mặt cầu có đường kính 11m thì diện tích của mặt

khinh khí cầu là bao nhiêu? (lấy π ≈
A. 379, 94 (m2 ) .

22
và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
7

B. 697,19 (m 2 ) .

C. 190,14 cm .

D. 95, 07 (m 2 ) .


4π a 3 3
.
27

D.

4π a 3
.
3

Câu 16. Cho đường tròn (C ) ngoại tiếp một tam giác đều ABC có cạnh bằng a , chiều cao AH . Quay
đường tròn (C ) xung quanh trục AH , ta được một mặt cầu. Thể tích của khố i cầu tương ứng

là:
A.

4π a 3 3
.
27

B.

4π a 3
.
9

C.

π a3 3
54


B.

S1 1
= .
S2 2

C.

S1 2
= .
S2 3

S1 3
= .
S2 2

D.

MẶT NÓN
Câu 18. Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh 2a , diện tích xung quanh là S1

và mặt cầu có đường kính bằng chiều cao hình nón, có diện tích S2 . Khẳng định nào sau đây là
khẳng định đúng ?
A. 2 S2 = 3S1 .

B. S1 = 4 S2 .

C. S2 = 2 S1 .



Câu 20. Tính diện tích xung quanh của hình trụ biết hình trụ có bán kính đáy a và đường cao là a 3 .
A. 2π a 2 .

B. 2π a 2 3 .

C. π a 2 .

D. π a 2 3 .

Câu 21. Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a .
Tính diện tích xung quanh của hình nón.
A.

π a2 2
4

B.

.

π a2 2
2

.

C. π a 2 2 .

2π a 2 2
.


π a2 2
2

;V =

π a 2 ( 2 − 1)
2

π a3 2
4

.

π a3

;V =

12

.

Câu 23. Cho hình nón tròn xoay có đỉnh là S , O là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng a 2 và

góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng 600 . Diện tích xung quanh S xq của hình nón và
thể tích V của khối nón tương ứng là:
A. S xq = π a 2 ;V =

π a3 6
12

A. 3π a 3 .

B. π a 3 .

C. 2 3π a 3 .

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

D. π a 3 3 .
10 | T H B T N


BTN_7_5

Chuyên đề 7. Hình học không gian

Câu 25. Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A , AB = a và AC = 3a . Tính độ dài đường

sinh l của hình nón, nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB .
A. l = a .

B. l = 2a .

C. l = 3a .

D. l = 2a .

MẶT TRỤ
Câu 26. Cho một hình trụ có bán kính đáy R , chiều cao h và thể tích V1 ; một hình nón có đáy trùng


B. 2π a 2 .

C. 3π a 2 .

D. 4π a 2 .

Câu 29. Tính diện tích toàn phần của hình trụ có bán kính đáy a và đường cao a 3 .
A. 2π a 2

(

)

3 −1 .

B. π a 2 3 .

(

)

C. π a 2 1 + 3 .

(

)

D. 2π a 2 1 + 3 .

Câu 30. Tính thể tích của khối trụ biết bán kính đáy của hình trụ đó bằng a và thiết diện đi qua trục là

B. Stp = 2π .

C. Stp = 4π .

D. Stp = 10π .

Câu 33. Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50cm x 240cm, người ta làm các thùng đựng nước
hình trụ có chiều cao bằng 50cm, theo hai cách sau (xem hình minh họa dưới đây):

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

11 | T H B T N


BTN_7_5

Chuyên đề 7. Hình học không gian

- Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.
- Cách 2: Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi gò mỗ i tấm đó thành mặt xung
quanh của một thùng.
Kí hiệu V1 là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và V2 là tổng thể tích của hai thùng gò
được theo cách 2. Tính t ỉ số
A.

V1
= 1.
V2

B.

a 3
.
2

B.

a 6
.
2

C.

a 6
.
4

Câu 35. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều S . ABC , biết các cạnh đáy có độ

dài bằng a , cạnh bên SA = a 3 .
A.

2a 3
.
2

B.

3a 3
.
2 2

2a 7
.
3 2

D.

2a 2
.
7

Câu 37. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V của khố i cầu ngoại
tiếp hình chóp đã cho.
A. V =

5π
.
3

B. V =

5 15π
.
18

C. V =

4 3π
.
27

.
3

Câu 39. Cho hình trụ có bán kính đáy là R , thiết diện qua trục là một hình vuông. Tính thể tích khố i
lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ đã cho theo R .
A. 4 R 3 .

B. 2 2 R 3 .

C. 4 2 R 3 .

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

D. 8 R 3 .

12 | T H B T N


BTN_7_5

Chuyên đề 7. Hình học không gian

Câu 40. Cho hình trụ có bán kính đáy là 4 cm, một mặt phẳng không vuông góc với đáy và cắt hai mặt
đáy theo hai dây cung song song AB, A ' B ' mà AB = A ' B ' = 6 cm (hình vẽ). Biết diện tích tứ

giác ABB ' A ' bằng 60 cm2. Tính chiều cao của hình trụ đã cho.
A. 6 2 cm.

B. 4 3 cm.


6π R 2 7
3π R 3 7
;V =
.
7
7

D. S xq =

3π R 2 7
π R3 7
;V =
.
7
7

Câu 42. Cho môṭ hıǹ h tru ̣ trò n xoay và hıǹ h vuông ABCD canh
̣ a có hai đın̉ h liên tiế p A, B nằ m trên
đường trò n đá y thứ nhấ t củ a hıǹ h tru,̣ hai đın̉ h cò n laị nằ m trên đường trò n đá y thứ hai củ a hıǹ h

tru.̣ Măṭ phẳ ng ( ABCD) taọ với đá y hıǹ h tru ̣ gó c 450 . Diêṇ tıć h xung quanh S xq hıǹ h tru ̣ và
thể tıć h V củ a khố i tru ̣ là:
A. S xq =
C. S xq =

π a2 3
3

π a2 3
4


3 2a 3
.
16

Câu 43. Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông ABCD cạnh 2 3 cm với AB là đường kính

của đường tròn đáy tâm O . Gọi M là điểm thuộc cung AB sao cho ABM = 600 . Khi đó, thể
tích V của khố i tứ diện ACDM là:
A. V = 6 3 (cm 3 ) .

B. V = 2 3 (cm3 ) .

C. V = 6 (cm3 ) .

D. V = 3(cm3 ) .

Câu 44. Một hình nón có chiều cao h = 20 cm, bán kính đáy r = 25 cm. Một thiết diện đi qua đỉnh có
khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12cm. Tính diện tích thiết diện
đó.
A. 450 2 cm2.

B. 500 2 cm2.

C. 500 cm2.

D. 125 34 cm2.

Câu 45. Cho hình lập phương ABCD. A’B’C ’D’ có cạnh là a . Hãy tính diện tích xung quanh S xq và thể
tích V của khối nón có đỉnh là tâm O của hình vuông ABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

4

;V =

π a3

.

4

π a3
4

.

13 | T H B T N


BTN_7_5

Chuyên đề 7. Hình học không gian

Câu 46. Thiết diện đi qua trục của hình nón đỉnh S là một tam giác vuông cân có cạnh cạnh huyền

bằng a 2 . Kẻ dây cung BC của đường tròn đáy hình nón, sao cho mp ( SBC ) tạo với mặt
phẳng chứa đáy hình nón một góc 600 . Diện tích tam giác SBC tính theo a là:
A.



của hình nón là:
A.

π a2 2
18

B.

.

π a2
9

.

C.

π a2
18

D.

.

π a2
36

.


π R3
6

D. S xq = π R 2 ;V =

.

2π R 3
.
3

Câu 49. Một hình nón đỉnh S có bán kính đáy bằng a 3 , góc ở đỉnh là 1200. Thiết diện qua đỉnh của

hình nón là một tam giác. Diện tích lớn nhất S max của thiết điện đó là bao nhiêu ?
A. S max = 2a 2 .

B. S max = a 2 2 .

C. S max = 4a 2 .

D. S max =

9a 2
.
8

VẬN DỤNG CAO
Câu 50. Bán kính r của mặt cầu nội tiếp tứ diện đều cạnh a là
A. r =



C.

4R 3
.
3

D.

2R 3
.
3

Câu 52. Cho hình nón có chiều cao h . Tính chiều cao x của khố i trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp trong
hình nón theo h .

A. x =

h
.
2

B. x =

h
.
3

C. x =


.
3

B. x = h 3 .

C. x =

2h
.
3

D. x =

h 3
.
3

Câu 54. Cho một hình nón có bán kính đáy là R , chiều cao là 2R , ngoại tiếp một hình cầu S (O; r ) .

Khi đó, thể tích của khố i trụ ngoại tiếp hình cầu S (O; r ) là
A.

16π R 3

(

)

5 −1


S
1 S
;h =
.
2π
2 2π

B. R =

S
;h =
4π

C. R =

2S
2S
;h = 4
.
3π
3π

D. R =

S
S
;h = 2
.
6π
6π

trụ có hai đường tròn đáy lần lượt ngoại tiếp các hình vuông ABDC và A'B'C'D'. Khi đó S
bằng:
A. S = π a 2

B. S = π a 2 2

C. S =

π a2 2
2

D. S =

π a2 2
4

Câu 58. Một hình lập phương có diện tích mặt chéo bằng a 2 2 . Gọi V là thể tích khối cầu và S là diện

tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương nói trên. Khi đó tích S .V bằng:
A. S .V =

3 3π 2 a 5
2

B. S .V =

3π 2 a 5
2

C. S .V =

4π a 3 5
C. V =
3

4π a 3 3
D. V =
5

Câu 60. Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 4π và có thiết diện qua trục là một hình vuông. Khi
đó thể tích khối trụ tương ứng bằng:
A. 2π

B. 4π

C.

π

D. π

2

Câu 61. Tỉ số thể tích của khố i lập phương và khố i cầu ngoại tiếp khố i lập phương đó bằng:
A.

6

B.

3π

D. Stp =

2

α
2

1 2
α
π l cos α . cos2
2
2

Câu 63. Cho lăng trụ đều có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi V là thể tích hình trụ ngoại tiếp khố i lăng
trụ nói trên. Khi đó V bằng:
A. V =

π a3 3
3

B. V =

π a3
3

C. V =

3π a 3 3
2


3

C. V =

π a3 3
9

D. V =

π a3
3

Câu 66. Trong không gian cho hình vuông ABCD cạnh a . Gọi I và H lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB và CD. Khi quay hình vuông đó xung quanh trục IH ta được một hình trụ tròn
xoay.Khi đó thể tích khố i trụ tương ứng bằng:
A.

π a3
4

B.

π a3
12

C.

4π a 3
3



500π a 3
3

D. V =

Câu 68. Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD. A′B′C′D′ có cạnh đáy bằng a , chiều cao 2a . Biết rằng

O′ là tâm của A′B′C′D′ và (C) là đường tròn nội tiếp đáy ABCD. Diện tích xung quanh của
hình nón có đỉnh O′ và đáy (C).
A. S xq =

3π a 2
2

B. S xq =

5π a 2
2

C. S xq =

π a2
2

D. S xq =

3 2π a 2
2


Câu 71. Thể tích khố i lăng trụ tứ giác đều nộ i tiếp trong hình trụ có chiều cao h và bán kính đường tròn
đáy R bằng:
A. 2R 2 h

B. R 2 h

C.

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

2R 2 h

D.

R2h
2

17 | T H B T N


BTN_7_5

Chuyên đề 7. Hình học không gian

D. ĐÁP ÁN VÀ
VÀ HƯ
HƯỚNG DẪ
DẪN GIẢ
GIẢI BÀI TẬ
TẬP TRẮ


10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
A B D A C C A A D A B

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
B A A B D C A D D A C C B C D A D C A A
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
B D D C A A C A A D A B A C D A B A C A
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
D A B A C B D A A B A
II –HƯỚNG DẪN GIẢI
NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU
* MẶT CẦU
Câu 1.

Cho một mặt cầu có diện tích là S , thể tích khố i cầu đó là V . Tính bán kính R của mặt cầu.
3V
S
4V
.
B. R =
.
C. R =
.
S
3V
S
Hướng dẫn giải:
Ta có công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu là:



C.

D.

Hướng dẫn giải:
Vì ∆ tiếp xúc với S (O; R ) tại M nên OM ⊥ ∆ tại M .

M

Xét tam giác OMA vuông tại M , ta có:

R

AM 2 = OA2 − OM 2 = d 2 − R 2 ⇒ AM = d 2 − R 2 .

Câu 3.

d 2 + R2 .

O

A

Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước là a , b, c . Gọi ( S ) là mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình
hộp chữ nhật đó. Tính diện tích của hình cầu ( S ) theo a , b, c .
A. π ( a 2 + b2 + c2 ) .

B. 2π (a 2 + b2 + c 2 ) .


B. tâm của một mặt bên của hình hộp chữ nhật.
C. trung điểm của một cạnh của hình hộp chữ nhật.
D. tâm của hình hộp chữ nhật.

Hướng dẫn giải:
Tâm của hình hộp chữ nhật cách đều 8 đỉnh của hình hộp nên tâm của mặt cầu ( S ) chính là
tâm của hình hộp chữ nhật.

Câu 5.

Cho mặt cầu S (O; R ) và đường thẳng ∆ . Biết khoảng cách từ O tới ∆ bằng d . Đường thẳng
∆ tiếp xúc với S (O; R ) khi thỏa mãn điều kiện nào trong các điều kiện sau ?

A. d = R .
Hướng dẫn giải:

B. d > R .

C. d < R .

Đường thẳng ∆ tiếp xúc với S (O; R ) khi d = R .
Δ

D. d ≠ R .

M
d=R

O


I ' A = I ' M = I ' M 0 ⇒ I ' thuộc mặt phẳng trung trực (α ) của AM 0 nên I ' = (α ) ∩ ∆ .
Từ đó suy ra I ' ≡ I . Vậy chỉ có duy nhất 1 mặt cầu thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 7.

Cho hai điểm A, B phân biệt. Tập hợp tâm những mặt cầu đi qua A và B là
A. mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB .

B. đường thẳng trung trực của AB .

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

19 | T H B T N


BTN_7_5

Chuyên đề 7. Hình học không gian
C. mặt phẳng song song với đường thẳng AB . D. trung điểm của đoạn thẳng AB .

Hướng dẫn giải:
Gọi I là tâm mặt cầu đi qua hai điểm A, B cố định và phân biệt thì ta luôn có IA = IB . Do đó
I thuộc mặt phẳng trung trực của đoạn AB .
Câu 8.

Cho mặt cầu S (O; R ) và mặt phẳng (α ) . Biết khoảng cách từ O tới (α ) bằng d . Nếu d < R
thì giao tuyến của mặt phẳng (α ) với mặt cầu S (O; R ) là đường tròn có bán kính bằng bao
nhiêu?
A.

Rd .

A. Vô số.
B. 0.
C. 1.
Hướng dẫn giải:
+ Gọi (α ) là mặt phẳng chứa đường thẳng MO thì dễ dàng

thấy rằng mp (α ) luôn cắt mặt cầu S (O; R ) theo giao tuyến
là đường tròn (C ) có tâm O , bán kính R . Trong mp (α ) , ta

mặt cầu S (O; R ) có thể kẻ
với mặt cầu ?
D. 2.

T1
(C)

α
M

O

thấy từ điểm M nằm ngoài (C ) ta luôn kẻ được 2 tiếp tuyến

T2

MT1 , MT2 với đường tròn (C ) . Hai tiếp tuyến này cũng
chính là tiếp tuyến với mặt cầu S (O; R ) .
+ Do có vô số mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng MO cắt mặt cầu S (O; R ) theo các giao tuyến
là đường tròn (C ) khác nhau nên cũng có vô số tiếp tuyến với mặt cầu được kẻ từ điểm M
nằm ngoài mặt cầu.

BTN_7_5

Chuyên đề 7. Hình học không gian

Câu 11. Một đường thẳng thay đổ i d qua A và tiếp xúc với mặt cầu S (O; R ) tại M . Gọi H là hình

chiếu của M lên đường thẳng OA . Độ dài đoạn thẳng MH tính theo R là:
A.

R
.
2
Hướng dẫn giải:

B.

R 3
.
3

C.

2R 3
.
3

D.

3R 3
.

7

A. 6 cm .

B. 2 cm .

C. 4 cm .

D. 3cm .

Hướng dẫn giải:
1
3.113
4
3
V
7 = 27 ⇒ R = 3 (cm).
Thể tích khố i cầu bán kính R là V = π R 3 ⇒ R 3 =
=
22
3
4π
4.
7
Câu 13. Khinh khí cầu của nhà Mông–gôn–fie (Montgolfier) (người Pháp) phát minh ra khinh khí cầu
dùng khí nóng. Coi khinh khí cầu này là một mặt cầu có đường kính 11m thì diện tích của mặt

khinh khí cầu là bao nhiêu? (lấy π ≈
A. 379, 94 (m2 ) .


phương.
Trong tam giác vuông AA ' C có: AC '2 = AA '2 + A ' C '2 .
Trong
tam
giác
vuông
có:
A' B 'C '

A

D

B

C
O

A ' C '2 = A ' B ' 2 + B ' C ' 2 .

A'

D'

2

Do đó AC = 100 + 100 + 100 = 300 ⇒ AC = 10 3 (cm).
+ Bán kính mặt cầu tâm O là R = OA =

1

= 300π (cm2 ) .
3

= 500 3 (cm 3 ) .

Câu 15. Cho đường tròn (C ) ngoại tiếp một tam giác đều ABC có cạnh bằng a , chiều cao AH . Quay
đường tròn (C ) xung quanh trục AH , ta được một mặt cầu. Thể tích của khố i cầu tương ứng

là:
A.

π a3 3

.

54
Hướng dẫn giải:

B.

4π a 3
.
9

C.

4π a 3 3
.
27


B

C

H

a 3
. Vậy thể tích của khố i cầu tương ứng là:
3

3

4
4 a 3
4π a 3 3
3
(đvtt).
V = πR = π 
 =
3
3  3 
27
Câu 16. Cho đường tròn (C ) ngoại tiếp một tam giác đều ABC có cạnh bằng a , chiều cao AH . Quay
đường tròn (C ) xung quanh trục AH , ta được một mặt cầu. Thể tích của khố i cầu tương ứng

là:
A.

4π a 3 3
.


2
a 3
AH =
.
3
3

và

O

B

H

Bán kính mặt cầu được tạo thành khi quay đường tròn (C ) quanh trục AH là R = OA =

C

a 3
.
3

3

4
4 a 3
4π a 3 3
Vậy thể tích của khố i cầu tương ứng là: V = π R 3 = π 

B.

C.

S1
là:
S2
S1 2
= .
S2 3

D.

Hướng dẫn giải:
Xét tam giác ABC vuông tại A , ta có:

S1 3
= .
S2 2

B

AC = BC sin 300 = a; AB = BC cos 300 = a 3 .
30 0

Diện tích toàn phần hình nón là:

A

2

= 3π a 2 .

S1
= 1.
S2
* MẶT NÓN

Câu 18. Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh 2a , diện tích xung quanh là S1

và mặt cầu có đường kính bằng chiều cao hình nón, có diện tích S2 . Khẳng định nào sau đây là
khẳng định đúng ?
A. 2 S2 = 3S1 .

B. S1 = 4 S2 .

C. S2 = 2 S1 .

D. S1 = S2 .

Hướng dẫn giải:
Bán kính đáy của hình nón là a . Đường sinh của hình nón là

2a .

Do đó, ta có S1 = π Rl = 3π a 2 (1)
Mặt

cầu

có

 2 

Từ (1) và (2) suy ra S1 = S2 .
Câu 19. Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh 2a , có thể tích V1 và hình cầu có
đường kính bằng chiều cao hình nón, có thể tích V2 . Khi đó, tỉ số thể tích
A.

V1 2
= .
V2 3

B.

V1
= 1.
V2

C.

V1 1
= .
V2 2

V1
bằng bao nhiêu?
V2

D.

V1 1

4  a 3  π a3 3
Hình cầu có bán kính
.
nên có thể tích V1 = π 
 =
2
3  2 
2
Từ đó suy ra

V1 2
= .
V2 3

Câu 20. Tính diện tích xung quanh của hình trụ biết hình trụ có bán kính đáy a và đường cao là a 3 .
A. 2π a 2 .

B. 2π a 2 3 .

C. π a 2 .

D. π a 2 3 .

Hướng dẫn giải:
Hình trụ có bán kính đáy a và đường cao a 3 nên S xq = 2π rh = 2π a.a 3 = 2π a 2 3 .
Câu 21. Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a .

Tính diện tích xung quanh của hình nón.
A.


D.

a

a

nên
O

a 2
π a2 2
.a =
.
2
2

Câu 22. Thiết diện đi qua trục của hình nón đỉnh S là tam giác vuông cân SAB có cạnh cạnh huyền

bằng a 2 . Diện tích toàn phần Stp của hình nón và thể tích V của khối nón tương ứng đã cho
là
A. Stp =

π a 2 (1 + 2)
2

;V =

C. Stp = π a 2 (1 + 2);V =

π a3 2

.

12

Hướng dẫn giải:
+ Do thiết diện đi qua trục là tam giác ∆SAB vuông cân tại đỉnh

S

S , có cạnh huyền AB = a 2 nên suy ra bán kính đáy hình nón

a

a

a 2

là r =

a 2
; đường sinh hình nón l = SA = SB = a ; đường cao
2

2

A

O

a 2

2


2

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

24 | T H B T N


BTN_7_5

Chuyên đề 7. Hình học không gian

1
1 2
π a3 2
+ Thể tích khố i nón tương ứng là: V = Bh = π r h =
(đvtt).
2
3
12
Câu 23. Cho hình nón tròn xoay có đỉnh là S , O là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng a 2 và

góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng 600 . Diện tích xung quanh S xq của hình nón và
thể tích V của khối nón tương ứng là:
2

A. S xq = π a ;V =


Gọi A là một điểm thuộc đường tròn đáy hình nón. Theo giả i

S

thiết ta có đường sinh SA = a 2 và góc giữa đường sinh và
mặt phẳng đáy là SAO = 600 . Trong tam giác vuông SAO , ta
có:
a 2
3 a 6
OA = SA cos 600 =
; SO = SA. sin 600 = a 2.
=
.
2
2
2
Diện
tích
xung
quanh
hình
nón
S xq = π rl = π .

a 2

a 2
600
O
A

B

R = OA = a 3 (cm)

600

1200
và góc ASO =
= 600 . Xét tam giác SOA vuông tại O , ta có
2
A

OA
a 3
SO =
=
= a . Do đó chiều cao hình nón là h = a .
0
tan 60
3

a 3

1
1
Vậy thể tích khố i nón là V = π R 2 h = π .3a 2 .a = π a 3 .
3
3

Câu 25. Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A , AB = a và AC = 3a . Tính độ dài đường