Đề thi Dự trữ khối B-năm 2007
Đề I
Câu I: Cho hàm số y = –2x
3
+ 6x
2
– 5
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C).
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua A(–1, –13).
Câu II:
1. Giải phương trình:
2
x3
cos2
42
x
cos
42
x5
sin
=






π
−−



.
2. Chứng minh rằng hệ







−
−=
−
−=
1x
x
2007e
1y
y
2007e
2
y
2
x
có đúng 2 nghiệm thỏa mãn
điều kiện x > 0, y > 0
Câu Va (cho chương trình THPT không phân ban):
1. Tìm x, y ∈ N thỏa mãn hệ




=−+−
2. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông
góc với hình chóp. Cho AB = a, SA = a
2
. Gọi H và K lần lượt là hình
chiếu của A lên SB, SD. Chứng minh SC ⊥ (AHK) và tính thể tích hình chóp
OAHK.
Bài giải
Câu I:
1. Khảo sát y = –2x
3
+ 6x
2
– 5 (Bạn đọc tự làm)
2. Viết phương trình tiếp tuyến (C) đi qua A(–1, –13)
Ta có y' = –6x
2
+ 12x
Gọi M
0
(x
0
, y
0
) là tiếp điểm thuộc (C) ⇔
5x6x2y
2
0
3
00

0
3
0
x1x12x65x6x213
−−+−+−+−=−
2
00
3
0
2
00
3
0
x12x12x6x65x6x213
−−+−−+−=−
⇔
3
0 0 0 0
x 3x 2 0 x 1vx 2− + = ⇔ = = −
Ta có
y(1) 1v y( 2) 35= − − =
M(1, –1) thì phương trình tiếp tuyến với (C) qua A là
y + 1 = 6(x – 1) ⇔ y = 6x – 7
M(–2, 35) thì phương trình tiếp tuyến với (C) qua A là
y – 35 = –48(x + 2) ⇔ y = –48x – 61
Câu II:
1. Giải phương trình:
2
x3
cos2

42
sin
42
x5
sin
=






−
π
+
π
−






π
−⇔
2
x3
cos2
2
x

 ÷  ÷
   
2
x3
cos2
2
x3
cos
4
xcos2
=






π
+−⇔
3x 2
cos 0 v cos x
2 4 2
π
 
⇔ = + = −
 ÷
 

3x 3
k v x k2

1
x'f
4
3
2
<










−
+
=⇒
, ∀x > 0
Vì
( )
x
1
x
x
x
x
1x
x

⇔ 0 < m ≤ 1
Câu III:
1. Đường thẳng AB có VTCP
( ) ( )
3,2,2412,8,8a
−=−=
Phương trình đường thẳng AB:





+−=
−=
+−=
t35z
t25y
t23x
Điểm I (–3+2t; 5- 2t; –5+3t)
AB (P)∈ ∩
khi
(–3 + 2t) + (5 – 2t) + (–5 + 3t) = 0 ⇔ t = 1
Vậy đường thẳng AB cắt mặt phẳng (P) tại I(–1, 3, –2)
2. Tìm M ∈ (P) để MA
2
+ MB
2
nhỏ nhất
Gọi H là trung điểm của đoạn AB. Tam giác MAB có trung tuyến MH
nên:

) = OA
2
+ OB
2
= (9 + 25 + 25) + (25 + 9 + 49) = 142)
Câu IV:
1. Tọa độ giao điểm của 2 đường
( )
1x
x1x
y
2
+
−
=
và y = 0 là A(0, 0); B(1, 0).
Khi đó 0 ≤ x ≤ 1 ⇒ x(1 – x) ≥ 0 ⇒
( )
0
1x
x1x
y
2
≥
+
−
=
Do đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường đã cho là
( )
1 1 1

t + 1)dt
Đổi cận
x 1 t ;x 0 t 0
4
π
= ⇒ = = ⇒ =
( ) ( )
[ ]
∫∫
π
π
+
π
=−=+=
+
+
=
4
0
4
0
1
0
2
2ln
2
1
4
tcoslntdt1tgtdx
1x

Hệ phương trình (1)
( ) ( )
( ) ( )



=+
=+
⇔
2007xgyf
2007ygxf
⇒ f(x) + g(y) = f(y) + g(x) (∗)
Nếu x > y ⇒ f(x) > f(y) ⇒ g(y) < g(x) ( do(∗) )
⇒ y > x ( do g giảm nghiêm cách ) ⇒ vô lý.
Tương tự khi y > x cũng dẫn đến vô lý.
Do đó, (1)
⇔
(2)
x
2
x
e 2007 0
x 1
x y

+ − =


−


1x
1
ex'h
−
−−=
−
−=