Đề thi Dự trữ khối D-năm 2007
Đề I
Câu I: Cho hàm số
1x2
1x
y
+
+−
=
(C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua giao
điểm của đường tiệm cận và trục Ox.
Câu II:
1. Giải phương trình:
1xcos
12
xsin22
=






π
−
2. Tìm m để phương trình:
m54x6x4x23x
=+−−+−−−
có đúng

1
0
2
dx
4x
1xx
I
2. Cho a, b là các số dương thỏa mãn ab + a + b = 3.
Chứng minh:
2
3
ba
ba
ab
1a
b3
1b
a3
22
++≤
+
+
+
+
+
.
Câu Va (cho chương trình THPT không phân ban):
1. Chứng minh với mọi n nguyên dương luôn có

( ) ( ) ( )

− + + − ≥
.
2. Cho lăng trụ đứng ABCA
1
B
1
C
1
có đáy ABC là tam giác vuông
aACAB
==
, AA
1
= a
2
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn AA
1

và BC
1
. Chứng minh MN là đường vuông góc chung của các đường thẳng
AA
1
và BC
1
. Tính
11
BCMA
V
.

2x 1 2
x 1
k co ù nghieäm
2x 1
− +
 
= +
 ÷


+
 
⇔

− +
 

=
 ÷

+
 

( )







x 1
2
2x 1
2x 1
 
+
 ÷
− +
 
= −
+
+
1
(x 1)(2x 1) 3(x )
2
⇔ − + = +
và
1
x
2
≠ −

3
x 1
2
⇔ − =

5
x
2

1
12
sin
12
x2sin2
=






π
−






π
−⇔
1
sin 2x sin
12 12
2
π π
 
⇔ − − =
 ÷

12
x2sin
π
=
π
=






π
−⇔
( )
5 7
2x k2 hay 2x k2 k Z
12 12 12 12
π π π π
⇔ − = + π − = + π ∈

( )
x k hay x k k Z
4 3
π π
⇔ = + π = + π ∈
2. P/trình cho
( ) ( )
m94x64x14x24x
=+−−−++−−−⇔

≤≤−
=
3t neáu 4t2
3t1 neáu 2
1t0 neáu t24
tf
y
4
2
0
1 2 3 x
Từ đồ thị ta có ycbt
⇔
2 < m ≤ 4
Cách khác
m3t1t
=−+−⇔
và
t 0
≥
{ { {
0 t 1 1 t 3 t 3
hay hay
m 4 2t m 2 m 2t 4
≤ < ≤ ≤ >
⇔
= − = = −
{
0 t 1 t 3
1 t 3

> 3 )
Câu III:
1. Tìm giao điểm M của đường thẳng d và mặt phẳng (P)
Phương trình số của d:





−−=
+−=
+=
t1z
t2y
t23x
có VTCP
( )
1,1,2a
−=
Thế vào phương trình (P): (3 + 2t) + (–2 + t) + (–1 – t) + 2 = 0
⇒ t = –1⇒ M ( 1 ;- 3 ; 0)
Mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc (P) có PVT
[ ]
( )
1,3,2n,an
PQ
−==
Suy ra phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc (P) là:
2(x – 1) – 3(y + 3) + 1(z – 0) = 0 ⇔ 2x – 3y + z – 11 = 0 (Q)
2. Phương trình đường thẳng (d') hình chiếu của d lên mặt phẳng P là:


2
t 1 t 1⇒ = ⇔ = ±
. t = 1 ⇒ N
1
(5, –2, –5)
Đường thẳng ∆
1
qua N
1
nằm trong (P), vuông góc d' có VTCP
1
P
d'
a n ,a
∆
 
=
 
r r r
( ) ( )
6;9; 3 3 2, 3,1= − − = − −
.
Vậy phương trình ∆
1
:
x 5 y 2 z 5
2 3 1
− + +
= =

−
−
=
−
−
=
1
0
2
2
1
0
2
dx
4x
xx
dx
4x
1xx
I

( )
2
1 1 1
2 2 2 2 2
0 0 0
d x 4
x 4 1 dx
1 dx 1 4
x 4 x 4 2 x 4 x 2

N
M
d
d'