TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỮU THUẬN

Tiết 54

GIẢI TÍCH 12

TÍCH PHÂN.

A.Mục tiêu:
1.Kiến thức:
-Khái niệm tích phân, diện tích hình thang cong; định nghĩa tích phân. Tính chất
của tích phân. Các phương pháp tính tích phân ( đổi biến số, tích phân từng phần ).
2.Kỷ năng.
-Rèn luyện tư duy logic,tính sáng tạo.
3.Thái độ .
- Giáo dục học sinh ý thức tự giác,nghiêm túc.
B.Phương pháp.
-Gợi mở,vấn đáp, đan xen thảo luận nhóm.
C.Chuẩn bị.
1.Giáo viên. Giáo án, sách giáo khoa,sách tham khảo.
2.Học sinh. Ôn lại bài cũ,làm các bài tập trong sgk.
D.Tiến trình bài dạy.
1 Ổn định lớp, kiểm tra sĩ số.
2.Kiểm tra bài cũ. Tìm các nguyên hàm sau:
I= ∫

( x + 1) 2 dx

3.Nội dung bài mới.

x


Cho hs tiến hành hoạt động 1 sgk
O

1

5O5
5

[ f (5) + f (1)](5 − 1)

x

2

= 28

2. S(t) = t2 + t – 2 ;
t ∈ [1; 5]
Để c/m S(t) là một nguyên hàm của
f(t) cần làm gì ?
Giới thiệu với Hs nội dung định
nghĩa thang cong Gv giới thiệu
cho Hs vd 1 (SGK, trang 102 , 103,
104) để Hs hiểu rõ việc tính diện
tích hình thang cong.
2. Định nghĩa tích phân :
Hoạt động 2 :

3. vì S’(t) = 2t + 1


∫ f ( x) dx
a

b

Vậy:

∫

b

f ( x) dx = F ( x) a = F (b) − F ( a)

a

Chú ý: nếu a = b hoặc a > b: ta qui ước :
a

∫

b

f ( x) dx = 0;

a

∫
a


a

cận a, b mà không phụ thuộc vào biến số x
hay t.
+ Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm
trên đoạn [a; b] thì


TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỮU THUẬN

2
Hãy tính ∫ 3 x dx ;

1
∫ t dt

GIẢI TÍCH 12

b

∫ f ( x) dx

là diện tích S của hình thang giới

a

hạn bởi đồ thị của f(x), trục Ox và hai
đường thẳng x = a; x = b. (H 47a, trang 102

Giới thiệu nhận xét sgk

2.Học sinh. Ôn lại bài cũ,làm các bài tập trong sgk.
D.Tiến trình bài dạy.
1 Ổn định lớp, kiểm tra sĩ số.
2.Kiểm tra bài cũ.
2

Tính tích phân:

2
I= ∫ x dx ?
1

3.Nội dung bài mới.


TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỮU THUẬN

GIẢI TÍCH 12

a. Đặt vấn đề.Các em đã được học xong công thức tính diện tích hình thang cong
giới hạn bởi các đường cho trước và khái niệm tích phân.Tích phân có các tính
chất có giống với tính chất của nguyên hàm hay không?Để là rõ vấn đề này chúng
ta đi vào bài học hôm nay.
b.Triển khai bài.
HOẠT ĐỘNG THẦY VÀ TRÒ

Giới thiệu tính chất 1, 2, 3 sgk

NỘI DUNG KIẾN THỨC
II. CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH

∫
a

c

b

a

c

f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx (a < c < b)
b

T/C1: ∫ kf ( x )dx = kF ( x ) a = kF (b) − kF (a )
-Hướng dẫn học sinh chứng minh
các tính chất đã nêu.

b

a

b

= k[ F (b ) − F (a )] = kF ( x ) a = k ∫ f ( x )dx
b

a

*VD3: Tính ∫ ( x 2 + 3 x )dx

=(

64 1
− ) + (16 − 2) = 35
3 3
2π

*VD4: Tính

∫
0

2π

1 − cos 2 x dx = ∫ 2 sin 2 x dx
0

2π
π


= 2 ∫ sin x dx = 2  ∫ sin x dx + ∫ sin x dx 
0
π
0

2π

Giới thiệu vd4
1 – cos2x =?

1
= ( x 4 + x3 + x 2 )
4
3
2

0

=4+

2
0

16
34
+2=
3
3

-Hướng dẫn học sinh khai triển biểu
thức sau đó tìm nguyên hàm của nó
rồi suy ra kết quả.
4.Củng cố.
-Nhắc lại bảng các nguyên hàm và các tính chất của tích phân.


TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỮU THUẬN

GIẢI TÍCH 12



Tính tích phân:

I = ∫ x( x + 1)3 dx ?
0

3.Nội dung bài mới.


TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỮU THUẬN

GIẢI TÍCH 12

a. Đặt vấn đề.Các em đã được học xong công thức tính diện tích hình thang cong
giới hạn bởi các đường cho trước,khái niệm tích phân và các tính chất của nó.Hôm
nay chúng ta sẽ tìm hiểu về các phương pháp tính tích phân.
b.Triển khai bài.
HOẠT ĐỘNG THẦY VÀ TRÒ

NỘI DUNG KIẾN THỨC
III.PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH
PHÂN.

Giới thiệu định lí sgk trang 108
Giải thích định lí
Hướng dẫn rút ra quy tắc tính tích
phân bằng đổi biến

1.Phương pháp đổi biến số:
a.Phương pháp đổi biến số dạng 1.

dx

0

+ Đặt x = tan t , Đưa ra ví dụ 5
1
Ta có 1 + tan2t =
nên đặt
cos 2 t
x = tan t . Hãy áp dụng quy tắc trên

π
π
1
< t < ⇒ dx =
dt
2
2
cos 2 t

+ khi x = 0 ⇒ t = 0
x =1 ⇒ t =

giải vd5
1

1

∫1+ x
0


GIẢI TÍCH 12
1

1

0

0

(

)

2
2
HĐ4 : a) ∫ (2 x + 1) dx = ∫ 4 x + 4 x + 1 dx

1

 4x3

13
= 
+ 2 x 2 + x  =
3
 3
0

Hoạt động 4 :Cho

1

b

Quy tắc tính

∫ f ( x )dx
a

 Đặt t = v(x) ⇒ dt = v’(x)dx
 x = a ⇒ t = v(a)
x = b ⇒ t = v(b)
v(b)

b

Từ kết quả HĐ4 hãy rút ra quy tắc
tính tích phân

13
3

b) Phương pháp đổi biến số dạng 2.

u (1)

g (u ) du và so sánh với kết

3



x

∫ (1 + x )
0

1
3

2 3

dx ; Kq:

3
16


TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỮU THUẬN

GIẢI TÍCH 12

Yêu cầu hs dựa vào quy tắc trên giải
vd6, 7
4.Củng cố.
-Nhắc lại bảng các nguyên hàm và các tính chất của tích phân.
5.Dặn dò.
-Học sinh về nhà học thuộc bài cũ,đọc trước phần tiếp theo của bài hoc.
*****************************************************



3.Nội dung bài mới.


TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỮU THUẬN

GIẢI TÍCH 12

a. Đặt vấn đề.Các em đã được học xong công thức tính diện tích hình thang cong
giới hạn bởi các đường cho trước,khái niệm tích phân và các tính chất của nó.Hôm
nay chúng ta sẽ tìm hiểu về các phương pháp tính tích phân.
b.Triển khai bài.
HOẠT ĐỘNG THẦY VÀ TRÒ

NỘI DUNG KIẾN THỨC
III.PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH
PHÂN.
2. Phương pháp tính tích phân từng
phần:

Hoạt động 5 :
a/ Hãy tính ∫ ( x +1)e x dx bằng phương
pháp nguyên hàm từng phần.
1

x
b/ Từ đó, hãy tính: ∫ ( x + 1)e dx
0

→ định lí


VD8. Tính I= ∫ x sin xdx ;
0

-Chia học sinh thành từng nhóm thảo
luận các bài toán ở bài 1,tìm phương
pháp giải thích hợp.
-Đại diện các nhóm lần lượt trình bày
kết quả.

 u=x
 du = dx
⇒
Đặt 
dv = sin xdx v = − cos x
π

π 2
⇒ I = − x cos x 2 + ∫ cos xdx
0 0


TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỮU THUẬN
-Đại diện nhóm khác nhận xét bổ sung
hoàn thành các bài toán.
-Giáo viên nhận xét bài làm và giải
thích cho học sinh hiểu rõ

π
= sin x 2 = 1
0


 u = ln x
du = x dx
Đặt dv = 1 dx ⇒ 
1 ;
2


v=−
x

x


2 2 1
1
⇒ J = − ln x + ∫ 2 dx
1 1x
x
-Học sinh sử dụng phương pháp từng
phần bằng cách đặt:

1
12 1
= − ln 2 −
= (1 − ln 2)
2
x1 2



A.Mục tiêu:
1.Kiến thức:
-Học sinh nắm vững khái niệm tích phân các tính chất và hai phương pháp tính
tích phân cơ bản.
2.Kỷ năng.
-Rèn luyện tư duy logic,tính sáng tạo.
3.Thái độ .
- Giáo dục học sinh ý thức tự giác,nghiêm túc.
B.Phương pháp.
-Gợi mở,vấn đáp, đan xen thảo luận nhóm.
C.Chuẩn bị.
1.Giáo viên. Giáo án, sách giáo khoa,sách tham khảo.
2.Học sinh. Ôn lại bài cũ,làm các bài tập trong sgk.
D.Tiến trình bài dạy.
1 Ổn định lớp, kiểm tra sĩ số.
2.Kiểm tra bài cũ.
2

Tính tích phân:

I = ∫ x( x + 1)3 dx ?
0

3.Nội dung bài mới.
a. Đặt vấn đề.Các em đã được học xong các khái niệm tính chất và phương pháp
tính tích phân.Vận dụng vào giải toán một cách có hiệu quả là nhiệm vụ của các
em trong tiết học hôm nay.
b.Triển khai bài.



Hãy quy đồng mẫu thức ở vế trái sau
đó đồng nhất tư ở 2 vế
Cho HS tiếp tục giải câu c)

1
2

−

3

2

(1 − x ) 2 dx = ∫ (1 − x ) 3 dx
−

3
= − (1 − x )
5

1
5 2
3
−

1
2

=


a)

1
2

2

c)

∫
1
2

4



0

2

1
1 
1
dx = ∫  −
dx
x ( x + 1)
x +1
1 x
2

x = 3⇒ u = 4
3

∫
0

4

x2

(1 + x )

3
2

dx = ∫
1

u 2 − 2u + 1
u

3
2

du = . . .= 5
3

1

b)


1 − x 2 dx = ∫ cos 2 tdt =
0

π
2

π
2

1
(1 + cos 2t )dt
2 ∫0

π

2
1
1
= ( t + sin 2t )
2
2
0

=

π
4

π


2
d. B = ∫ x ln xdx
0



 u = ln x
du =
⇒
Đặt 
2
dv = x dx
 v=


2 3 1
e +
9
9

b

b

∫ udv = uv a − ∫ vdu
a

b



BÀI TẬP.
A.Mục tiêu:
1.Kiến thức:
-Học sinh nắm vững khái niệm tích phân các tính chất và hai phương pháp tính
tích phân cơ bản.
2.Kỷ năng.
-Rèn luyện tư duy logic,tính sáng tạo.
3.Thái độ .
- Giáo dục học sinh ý thức tự giác,nghiêm túc.
B.Phương pháp.
-Gợi mở,vấn đáp, đan xen thảo luận nhóm.
C.Chuẩn bị.
1.Giáo viên. Giáo án, sách giáo khoa,sách tham khảo.
2.Học sinh. Ôn lại bài cũ,làm các bài tập trong sgk.
D.Tiến trình bài dạy.
1 Ổn định lớp, kiểm tra sĩ số.
2.Kiểm tra bài cũ.
2

Tính tích phân:

I = ∫ x( x + 1)3 dx ?
0

3.Nội dung bài mới.


TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỮU THUẬN


x = 3⇒ u = 4
3

∫
0

4

x2

(1 + x )

3
2

dx = ∫

u 2 − 2u + 1

1

u

3
2

du = . . .= 5
3

1

1 − x 2 dx = ∫ cos 2 tdt =
0

π

2
1
1
= ( t + sin 2t )
2
2
0

=

π
4

π
2

1
(1 + cos 2t )dt
2 ∫0


TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỮU THUẬN

GIẢI TÍCH 12
π

2
d. B = ∫ x ln xdx
0

b

∫ udv = uv
a

b
a

b

− ∫ vdu
a

Tiến hành hoạt động nhóm



 u = ln x
du =
⇒
Đặt 

2
dv = x dx
 v=


 u = ln x
du = x dx
Đặt dv = 1 dx ⇒ 
1 ;
2

 v=−
x

x


2 2 1
1
⇒ J = − ln x + ∫ 2 dx
1 1x
x
-Học sinh sử dụng phương pháp từng
phần bằng cách đặt:

1
12 1
= − ln 2 −
= (1 − ln 2)
2
x1 2


TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỮU THUẬN