Khóa luận tốt
nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội
2

LỜI NÓI ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Đại số là một lĩnh vực quan trọng của toán học. Bộ phận của toán học
nghiên cứu các tập hợp mà không quan tâm đến bản chất cụ thể các phần tử của
chúng. Từ cuối thể kỉ XIX, nhà toán học Đức (G.Cantor) đã xây dựng và đặt nền
móng cho lí thuyết tập hợp, mà ngay nay gọi là lí thuyết ngây thơ về tập hợp, là
phần kiến thức không thể thiếu đối với những người học toán, những người dạy
toán và những người làm toán.
Lí thuyết tập hợp đã phát triển rất nhanh ngay sau khi nó ra đời, ngày nay
đã đạt được những kết quả hết sức sâu sắc. Các kiến thức về lí thuyết tập hợp là
rất quan trọng. Trong chương trình phổ thông các kiến thức này được cung cấp
từ lớp 1 đến lớp 12, từ đơn giản , sơ khai đến phức tạp và chuẩn xác dần. Trong
chương trình đại học, chúng tiếp tục được bổ sung trong các phần cơ sở của Đại
số và Giải tích. Một số ngành học trong đó có ngành Giáo dục Tiểu học đã thiết
kế lí thuyết tập hợp thành những môn học riêng, đây là môn học rất hữu ích,
không những là công cụ để học các môn học khác mà bản thân nó cũng là một
môn học giúp sinh viên rất nhiều trong rèn luyện tư duy toán học nói riêng và tư
duy lôgic nói chung
Với mong muốn tìm hiểu sâu về mảng kiến thức này để phục vụ cho công
tác giảng dạy đồng thời giúp các em học sinh có thêm nhiều kiến thức về tập
hợp, dưới sự chỉ đạo hướng dẫn của Ban chủ nhiệm khoa và TH.S Nguyễn Thị
Bình nên em đã chọn đề tài: “Tập hợp, các phép toán trên tập hợp và ứng dụng
các phép toán trên tập hợp để giải bài toán”
2. Mục đích, yêu cầu của đề tài
Đề tài nhằm hệ thống lại lí thuyết tập hợp, các phép toán trên tập hợp,

●

Sưu tầm, giải quyết các bài toán.

●

Tổng kết kinh nghiệm.


Chương 1: Lí thuyết tập hợp
1.1 Tập hợp. Phần tử của tập hợp
Khái niệm tập hợp thường được gặp trong toán học và cả trong đời sống.
Chẳng hạn
+ Tập hợp các đồ vật (sách, bút) trên bàn
+ Tập hợp các học sinh của lớp 10B3
+ Tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 6
+ Tập hợp các chữ cái a, b, c.
1.2 Cách viết, các kí hiệu
1.2.1 Cách viết
Người ta thường đặt tên tập hợp bằng chữ cái in hoa
Gọi A là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 6
B là tập hợp các chữ cái a, b, c . Ta viết
A={0; 1; 2; 3; 4; 5} hoặc A={5; 4; 2; 3; 1}…..
B={a, b, c} hoặc B={b, c, a}…..
Chú ý 1: Các phần tử của một tập hợp được viết trong 2 dấu ngoặc nhọn {
} cách nhau bởi dấu “;” (nếu có phần tử là số) hoặc dấu “,”.
1.2.2 Các cách để chỉ ra một tập hợp Định
nghĩa một tập hợp chúng ta có thể
1)


trong từ “match”
C là tập hợp các số tự

C={1; 2; 3; 4; 5….}

nhiên

trong từ “match”}
C={x | x □ }

1.2.3 Kí hiệu
Nếu x là một phần tử thuộc tập A kí hiệu là xA đọc là x thuộc A hoặc x
là một phần tử của A
Nếu x không là phần tử thuộc A kí hiệu là xA đọc là x không thuộc A
hoặc x không là phần tử của A


Là một phần tử



Không là một phần tử

Ví dụ 1: A={2; 4; 6; 8}
2 là phần tử của A kí hiệu là 2A
9 không là phần tử của A kí hiệu là 9A
Ví dụ 2: B={x | x là nghiệm của phương trình  x 1 x  3  0 }

 x 1 x  3  0


a, Một tập hợp phải được xác định rõ ràng để tránh bất kì những hiểu lầm
về một đối tượng là một phần tử hay không là phần tử của tập hợp.
Ví dụ: Tập hợp các số nguyên dương là một tập hợp được xác định rõ
ràng (cho bất kì một số điện thọai chúng ta có thể dễ dàng nói nó là một số
nguyên dương).
b,Thứ tự các phần tử được viết không tạo ra sự khác biệt và mỗi phần tử
chỉ được liệt kê một lần.
Ví dụ: A={các chữ cái trong từ “NHA TRANG”}
A={N, H, A, T, R, G} hoặc A={G, R, N, H, A, T}…….
1.3 Số phần tử của một tập hợp. Tập hợp con
1.3.1 Tập rỗng
Một tập hợp không có một phần tử nào được gọi là tập rỗng. Kí hiệu là .
 hoặc { }
Tập rỗng hoặc tập không có phần tử nào
Ví dụ: P={tập hợp tất cả những con gà có 3 chân}
P=
Q={tập hợp tất cả những tháng trong năm có 33 ngày}
Q=
R={x | x □ và
R=

x2  1}

1.3.2 Số phần tử của một tập hợp a,
Định nghĩa
Một tập hợp có thể có một phần tử, có nhiều phần tử, có vô số phần tử
cũng có thể không có phần tử nào.
Ví dụ: D={0}
E={bút,chì}
F={x □ | x10}


a, A= 1 ; 2 ;3 ; 4 ;5 ;6 ;7

2



={1; 4; 9; 16; 25; 36; 49}
B={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
C={2(4)+1; 2(5)+1; 2(6)+1}
={9; 11; 13}
b, n(A)=7
n(B)=9
n(C)=3
Bài tập tương tự:
Bài tập:
i. Liệt kê các phần tử của A
ii.Tìm n(A)


a, A={các chữ cái trong từ “chiến b, A={các ngày trong tuần bắt đầu
lược”}
c, A={x | x □ }
e, A={x | x là số nguyên tố nhỏ hơn 20
}

bằng chữ “B”}
d, A={x | x là số nguyên dương nhỏ
hơn 10}
f, A={x | x là thừa số của 18}

Giả sử tập hợp A có 2 phần tử là a và b: A={a, b}. Khi đó A có các tập
con sau:


, {a}, {b} và {a, b}
Đó là tất cả các tập con của A: P({a,b})={, {a}, {b}, {a, b}}
Vậy A có tất cả 4 tập con.
d, Với n=3
Để dễ hình dung, ta xét bài toán sau:
Giả sử có ba người a, b và c của một tập hợp A được mời đi khai mạc một
cuộc triển lãm( ba người được mời độc lập với nhau)
Hỏi có thể có bao nhiêu sự kết hợp khác nhau về sự có mặt của mỗi người
trong ngày khai mạc triển lãm?
Ta hãy xét mọi khả năng( a đến hoặc không, b đến hoặc không, c đến hoặc
không) và biểu diễn chúng trên một cây chẻ đôi, tức là một cây mà mọi sự phân
cành đều có được từ cặp “đến, không”
A đến dự

b đến dự

c đến dự

Trên hình ta thấy có tất cả 8 khả năng, mỗi khả năng tương ứng với một
tập con của A={a, b, c}, kể cả tập con là 


Tập hợp tất cả các tập con của A là:
P({a, b, c})={{a, b, c}; {a, b};{a, c},{b, c}; {a}; {b}; {c}; }
Vậy tập A={a, b, c} có tất cả 8 tập con
e, Với n=4

n

Tập hợp có n phần tử có tất cả 2 tập con
Vậy bằng phương pháp quy nạp, có thể chứng minh được rằng tập hợp có
n

n phần tử có tất cả 2 tập hợp con.
1.3.4 Hai tập hợp bằng nhau
Hai tập hợp bằng nhau nếu chúng có chứa các phần tử tương tự nhau
Nếu hai tập hợp A và B bằng nhau ta viết A=B. Ở đây mỗi phần tử của tập
A cũng là phần tử của tập B


Nếu tập A không bằng tập B ta viết AB.
Ví dụ 1: A={1; 2; 3; 4}
B={4; 3; 2; 1}
A=B
Ví dụ 2: G={c, a, t, cat}
H={c, a, t}
GH vì tập G có một phần tử là từ “cat”, từ “cat” không phải là một
phần tử của H mặc dù các chữ cái riêng lẻ đều thuộc H
Bài tập tương tự:
Bài 1: Đánh dấu () vào ô vuông mà các tập hợp bằng nhau
Đánh dấu() vào ô vuông mà các tập hợp không bằng nhau
a, A={chữ cái trong từ “algebra”}

b,A={chữ cái trong từ “celebrate" }

B={các chữ cái trong từ “beagle”}



G={x | x là số nguyên tố nhỏ hơn 10}
H={x | x □



và x 4}

I={7; 2; 5; 3}
J={x | x □ và x  5}
1.3.5 Tập hợp con
Nếu mọi phần tử của tập A cũng là phần tử của tập B thì ta nói rằng tập A
là tập hợp con của tập B và viết AB (đọc là A chứa trong B)
Thay AB ta cũng có thể viết BA(đọc là B chứa A hoặc B bao hàm A)
Tập hợp A không phải là tập con của B nếu có ít nhất một phần tử của A
không thuộc B ta viết A Ø B.
Ví dụ 1: A={a, b, c}
B={b, c, a}
AB vì mọi phần tử của tập A cũng là phần tử của tập B BA
vì mọi phần tử của tập B cũng là phần tử của tập A
Ví dụ 2: Tập hợp □ các số tự nhiên là một tập con của tập hợp □ các số
nguyên: □  □
Tập hợp □ các số hữu tỉ là một tập con của tập hợp □ các số thực(vì mỗi
số hữu tỉ là một số thực) : □  □
Chú ý 2: Khi ta có AB va BA nó có nghĩa là A và B có các phần tử
như nhau nên A=B.
1.3.6 Tập con thực sự
Nếu mọi phần tử của tập A cũng là mọi phần tử của tập B nhưng tập B có
số phần tử nhiều hơn tập A thì tập A được gọi tập con thực sự của tập B.Kí hiệu
AB đọc là A là tập con thực sự của tập B


AA với mọi tập hợp A

b)

Nếu AB và BC thì AC (hình vẽ sau)

c)

A với mọi tập hợp A.

C

B
A

Chú ý 3: Chúng ta lưu ý giữa tập hợp con và phần tử thuộc tập hợp của
một tập hợp


Ví dụ 1:1{1; 2; 3}, {1}{1; 2; 3}
Ví dụ 2: {1}{1; 2; 3}, 1{1; 2; 3} vì 1 không là một tập hợp
Ví dụ 3:{b}{a,{b}, c}
Bài tập tương tự
Bài 1:Nếu A={c, a, t} thì những câu sau đúng (T) hay sai(F)
a, {a, c}A

d, {a, t}A

b, A

Ví dụ 2: Không gian tập hợp của tập B={3; 6; 9; 12) có thể ={x | x là bội
của 3}.
1.4 Sơ đồ ven
1.4.1 Sơ đồ ven
Chúng ta thường minh họa tập hợp bằng một hình phẳng được bao quanh
bởi một vòng kín được gọi là sơ đồ ven như hình vẽ


B

Ví dụ :Với ={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}
A={2; 4; 5}
B={1; 2; 5; 7}
Sử dụng sơ đồ ven để minh họa các tập hợp trên
 3
6

A

B
4

8

2 1
5

7

2 và 5 là các phần tử chung của tập A và B

Tất cả số phần tử
của
tập
10 PP đều là số phần tử của tập Q. Do đó ta vẽ một vòng tròn nhỏ P nằmbên trong vòng tròn củ
Q
20

Ví dụ 3: Nếu D là tập hợp các tam giác đều và V là tập hợp các tam giác
vuông thì D và V là hai tập rời nhau
Thật vậy một tam giác không thể vừa đều vừa là vuông
Do đó D  V=


1.4.3 Phần bù của tập hợp a,
Định nghĩa
Phần bù của tập A viết là A

là tập tất cả các phần tử trong không gian

tập hợp X mà không phải là trong tập hợp A. Chúng ta đọc A là tập bù của tập
A

 ={x | xX và xA}.

A 

Phần tô đậm chính là phần biểu thị tập A

b, Tính chất
AXA

A={12; 14; 16; 18}
B={11; 13; 15; 17}
a.

Vẽ sơ đồ ven biểu diễn các tập hợp trên


b.

Liệt kê các phần tử của  và 

Bài 2: Cho ={x | x là số nguyên dương nhỏ hơn 16}
A={x | x là bội của 5}
B={x | x là thừa số của 18}
a.

Liệt kê các phần tử của , A, B,  
 ,

b.

Tìm n(), n(A), n(B), n(  ), n(  )

1.5 Các phép toán trên tập hợp
1.5.1 Hợp của hai tập hợp
a. Định nghĩa
Tập hợp C gồm các phần tử thuộc tập A hoặc thuộc tập B được gọi là hợp
của hai tập hợp A và B. Kí hiệu C= A  B ={x | xA hoặc xB}.

xA


A1  A2  ......  An   Ai  {x | x  Ai

với i=1,2,…}

i1

Tổng quát: cho một họ các tập hợp {Ai }iI . Khi đó

 Ai  {x | x  Ai với I nào đó}

iI

b.Định lí
Với các tập hợp bất kì A, B, C, D ta có:
i. AAB, BAB
ii. Nếu AC và BC thì ABC
iii. Nếu AC và BD thì ABCD
iv. ABABB
Chứng minh
ii. Giả sử AC và BC. Khi đó nếu xAB thì xA hoặc xB do đó xC.
Vậy ABC
iv. () Giả sử AB khi đó nếu xAB thì xB do đó xAB do đó xB.
Vậy ABB. Mặt khác theo i. ta có BAB nên từ hai bao hàm thức vừa nêu suy
ra ABB
() Giả sử ABB khi đó theo i. ta có: AAB=B
Ví dụ 1: Hợp của tập hợp các số hữu tỉ và tập hợp các số vô tỉ là tập hợp
các số thực
Hợp của tập hợp □ các số nguyên và tập hợp □ các số hữu tỉ là tập hợp





c) A  B

Tô đậm miền A

A

B


A

B

Tô đậm miền B

A

B

Miền tô đậm A  B bao gồm các
phần được tô đậm


d) A  B

Tô đậm miền A


b, 

c,    

d,   

1.5.2 Giao của hai tập hợp a,
định nghĩa
Tập hợp C gồm các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B được gọi là giao của
hai tập hợp A và B
Kí hiệu C=AB (phần tô đậm trong hình)
Vậy AB={x | xA và xB}


x  A  B   x  A
x  B


Giao của hai tập hợp

Phép toán giao của hai tập hợp có thể định nghĩa cho 3,4,…,n tập hợp,khi
đó ta viết:

A1  A2  ......  An  {x | x  Aii  1, n}
n

Có thể kí hiệu ngắn gọn như sau: A1  A2  ......  An   Ai
i1

Nếu là giao của một họ vô số tập hợp ta sẽ viết như sau:

Ta có: A={ x □

|x

1
2

}

Do đó A □ ={}
Ví dụ 2: Với ={8; 9; 10;…;16}
A={8; 10; 12; 14; 15; 16}
B={11; 12; 13; 14}
C={9; 11; 13; 15}

Tìm

a,   

b, n    

e,   

f,

  

c,   C

g,   

B={  x, y  | x, y

d,   

y

nằm trên đương y=ax + b}

Nêu rõ các giá trị của a và b có thể có nếu
a, A=B

b,    =

Bài tập 3: X={b, c, d}

Y={a, b, c, d, e}

a, Tìm các phần tử của Z sao cho XZ=Y
b, Tìm các phần tử của Z sao cho YZ=X

1
2

x1}