BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
LA THANH TÍN
HÀM ĐÁNH GIÁ TRÊN DÀN CÁC TẬP HỢP VÀ ỨNG
DỤNG CỦA CHÚNG TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP
LuËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc
NGHỆ AN, 2013
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
LA THANH TÍN
HÀM ĐÁNH GIÁ TRÊN DÀN CÁC TẬP HỢP VÀ ỨNG
DỤNG CỦA CHÚNG TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP
CHUYÊN NGÀNH: HÌNH HỌC TÔPÔ
MÃ SỐ: 60.46.10
luËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. PHẠM NGỌC BỘI
NGHỆ AN – 2013
LỜI MỞ ĐẦU
“Hình học lồi” là một hướng quan trọng trong hình học,
được nhiều nhà toán học quan tâm, nghiên cứu. Tập lồi là khái
niệm toán học có nhiều ứng dụng trong hình học, giải tích và
nhiều ngành khoa học khác. Các kết quả tổng quan về tập lồi đã
được các nhà toán học như Frederick A. Valentine, L. Klee,
C.Caratheodory, H. Minkowski trình bày. Các vấn đề định tính
như: cấu trúc các tập lồi, các quan hệ giữa chúng, giao của các
tập lồi, tính hội tụ của dãy tập lồi đã được nhiều tài liệu và
giáo trình cơ sở đề cập đến.
Song song với lý thuyết định tính các tập lồi, vấn đề định
lượng các tập lồi cũng được quan tâm. Trong lĩnh vực lý thuyết
định lượng các tập lồi có một vấn đề có ý nghĩa quan trọng về

cấp.
Luận văn được hoàn thành tại Khoa Sau đại học Trường
Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn khoa học tận tình, chu đáo của
thầy giáo PGS.TS. NGƯT. Phạm Ngọc Bội. Nhân dịp hoàn thành
luận văn, chúng tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới các
thầy giáo trong tổ Hình học đã giảng dạy và chỉ dẫn tận tình
trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả cũng xin chân
thành cảm ơn các thầy cô giáo trong Khoa Toán, Phòng Sau đại
học, Trường Đại học Vinh, các bạn bè và gia đình đã tạo điều
kiện cho tác giả hoàn thành luận văn này.
Mặc dù đã có cố gắng song luận văn không thể tránh khỏi
những thiếu sót. Chúng tôi mong nhận được sự góp ý của quý
thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.
Chúng tôi xin chân thành cảm ơn!
Nghệ An, Ngày 05 tháng 10 năm
2013
Tác giả
La Thanh Tín
BẢNG CÁC KÝ HIỆU
B(x,r): Hình cầu mở tâm x bán kính r.
cl(X): Bao đóng của tập hợp X.
dist(X, X’): Khoảng cách giữa hai tập X và X’.
bd(X): Biên của tập hợp X.
φ
: Tập rỗng.
int(X): Phần trong của tập hợp X.
n
K
: Họ tất cả các tập hợp con khác rỗng, lồi, compact của
.


( )C A
: Tập hợp tất cả các tổ hợp lồi các phần tử của tập hợp
.A NỘI DUNG LUẬN VĂN
CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong luận văn này chúng tôi xét không gian Euclide
n
¡
,
có số chiều bằng n, trên trường số thực
.¡
Tập lồi là một khái niệm có nhiều ứng dụng trong hình học,
giải tích và nhiều ngành toán học khác. Trong phần này ta nhắc
đến một số vấn đề định tính của tập lồi và chú ý đến hai tập lồi
đặc biệt là thể lồi và đa diện lồi, đây là những đối tượng thường
xuất hiện trong hình học sơ cấp.
1.1. Tập lồi, thể lồi và hình đa diện lồi
1.1.1. Định nghĩa
i. Giả sử
,
n
x y∈¡
, đoạn thẳng nối
x
và
y
được định nghĩa

n
x y∈¡
thì
[x,y]
là một tập lồi.
2.
n
¡
,
( , )B x r
trong
n
¡
là những tập lồi.
3. Hình tròn, hình tam giác trong mặt phẳng là những tập
lồi.
4. Đoạn thẳng
[ , ]x y
trong
n
¡
,hình tròn, hình tam giác trong
mặt phẳng là thể lồi.
1.1.2. Định lí
i. Giao một họ tùy ý các tập lồi là một tập lồi.
ii. Ảnh và nghịch ảnh toàn phần của tập lồi qua ánh xạ tuyến
tính là tập lồi.
Chứng minh. i. Giả sử
{A }
i i I∈

+ − ∈ ∀ ∈ ⇒ + − ∈
ii. Giả sử
V
là một không gian vectơ trên
¡
và
:
n
f V→¡
là
ánh xạ tuyến tính.
- Giả sử
n
A ⊂ ¡
là lồi, ta chứng minh
( )f A
là tập lồi trong
V
.
Thật vậy, lấy
, ( )x y f A∈
và
[0,1]
λ
∈
. Khi đó tồn tại
,a b A∈
sao
cho
( ), ( ).x f a y f b= =

thì
( ), ( )f x f y B∈
và
( ) (1 ) ( ) .f x f y B
λ λ
+ − ∈
Do
f
là ánh xạ tuyến tính nên
1
( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( ).f x y f x f y B x y f B
λ λ λ λ λ λ
−
+ − = + − ∈ ⇒ + − ∈ W
1.1.3. Định nghĩa
i. Giả sử
n
A ⊂ ¡
, tập lồi nhỏ nhất trong
n
¡
chứa
A
được gọi
là bao lồi của
,A
kí hiệu conv
A
.
ii. Tổ hợp lồi của hữu hạn các điểm

=
∑
Giả sử
n
A ⊂ ¡
, tập hợp các tổ hợp lồi các phần tử của
A
ký hiệu là
( ).C A
iii. Một tập con
P
φ
≠
của
n
¡
được gọi là hình đa diện lồi nếu
tồn tại
*
1 2
, , , ,
n
n
x x x n∈ ∈¡ ¥
sao cho
{ }
1 2 n
conv x ,x , x P.… =
Ta ký hiệu
{

trong
n
¡
.
ii.
n
A ⊂ ¡
là tập lồi khi và chỉ khi conv
.A A=
1.1.4. Định lí
. Nếu
A
là tập compact trong
n
¡
thì conv
A
là
tập lồi compact trong
n
¡
. Suy ra mỗi hình đa diện lồi là một tập
lồi compact.
Chứng minh. Gọi
( )F A
là họ tất cả tập lồi trong
n
¡
,
chứa

lồi).
Do đó
( )
0
.convA F A⊃ ∩
Từ hai bao hàm thức trên suy ra tập hợp
convA là giao tất cả tập hợp con
compact của
n
¡
, chứa
A
từ đó nó là compact.
W
Khi nghiên cứu thể tích các thể lồi. Ta xuất phát từ không
gian Euclide hữu hạn chiều
n
¡
. Sau đó trang bị cho không gian
các thể lồi một metric. Metric này gọi là metric Hausdorff.
1.2. Metric Hausdorff
1.2.1. Định nghĩa. Giả sử
( , )
n
ρ
¡
là không gian metric,
n
A ⊂ ¡
và

¡
. Với mọi
,
n
A B C∈
, đặt:

( , ) inf{ 0 ( )
H
A B A B
ε
ρ ε
= > ⊂
và
( ) } (1.1) B A
ε
⊂
1.2.2. Định lí.
:
n n
H
C C
ρ
× → ¡
là một metric.
Ta gọi
H
ρ
là metric Hausdorff.
Chứng minh. a)

.
Rỏ
ràng:
( , ) 0 0, ( )
H
A B A B
ε
ρ ε
= ⇔ ∀ > ⊂
và
( )B A
ε
⊂

A B
⇔ ⊂
và
. (1.3)B A A B
⊂ ⇔ =
b) Do tính đối xứng của A,B trong định nghĩa:
(1.1) ( , ) ( , ), , . (1.4)
n
H H
A B B A A B C
ρ ρ
⇒ = ∀ ∈
c) Lấy
, ,
n
A B C C∈

ε ρ
=
và
0
( , )
H
B C
δ ρ
=
.
Tập
{ >0 ( )A B
ε
ε
⊂
và
( ) }B A
ε
⊂
là đóng. Suy ra
( , )
H
A B
ρ
bị
chặn dưới bởi phần tử trong nó. Suy ra
0
( )A B
ε
⊂

( , ) ( , ) ( , ). (1.6)
H H H
A C A B B C
ρ ε δ ρ ρ
⇒ ≤ + = +
Từ
(1.2),(1.3),(1.4),(1.5),(1.6)
H
ρ
⇒
là một metric.
W
1.2.3. Định nghĩa. Giới hạn trong không gian
( , )
n
H
C
ρ
được
gọi là giới hạn Hausdorff:
lim lim ( , ) 0.
H n H n
A A A A
ρ
= ⇔ =
Ta trang bị cho họ tất cả các tập con của
n
¡

hai phép toán để

[1,2]; B = [3,4]A =
và
3
λ
=

khi đó ta có:
[4,6]A B+ =
và
[3,6].A
λ
=
1.3.2. Định lí
i. Tổng Minkowski liên tục trên
.
n n
C C×
ii. Tích Minkowski của
A

với một số không âm liên tục trên
n
C
.
Chứng minh
i. Như ta biết, hội tụ trong tích Descartes tương đương hội tụ theo từng
tọa độ, nó không phụ thuộc vào sự lựa chọn mêtric trong tích Descartes. Vì
thế để chứng
minh mệnh đề, ta chỉ cần chứng minh rằng :


>
và
2
ε
δ
=
. Nếu
( )
, , 1,2
i i
A B i
ρ δ
Η
≤ =
thì
( )
i i
A B
δ
⊂
và
( )
.
i i
B A
δ
⊂
Suy ra
( )
1 2 1 2

.
0
ε
∀ >
chọn
t
ε
δ
=
.
Nếu
( , )
H
A B
ρ δ
≤
thì
( )A B
δ
⊂
và
( ) .B A
δ
⊂
Suy ra
( )tA tB
ε
⊂
và
( )tB tA

Thật vậy, lấy
,x y A∈
và
[0,1]
λ
∈
Giả sử
1 1
,
n n
i i i i
i i
x x y y
λ λ
= =
= =
∑ ∑
trong đó
, , 1,
i i i
x y A i n∈ =
. Khi đó
1 1 1
(1 ) (1 ) ( (1 ) )
n n n
i i i i i i i
x y x y x y
λ λ λ λ λ λ λ λ λ
+ − = + − = + −
∑ ∑ ∑

¡
ta có:
i.
( ) ( ) ( );C A B C A C B+ = +
ii.
( ) ( ).C A C A
λ λ
=
Chứng minh. i. Ta chứng minh:
a)
( ) ( ) ( )C A B C A C B+ ⊂ +
Lấy
( )x C A B∈ +

suy ra
x
là tổ hợp lồi của các điểm thuộc
A B+
,
tức là tồn tại
1 1 2
, , [0,1]; a , , , ;
k k
t t a a A∈ ∈

1 2
, , ,
k
b b b B∈


suy ra tồn tại
1 2 1 2
, , , ; , , , [0,1]
k l
t t t s s s ∈
sao cho
1 1
1
k l
i i
i i
t s
= =
= =
∑ ∑
và
1 1
k l
i i i i
i i
y t a s b
= =
= +
∑ ∑
.
Ta có thể giả sử
k l=
vì nếu
k l≠
chẳng hạn

i i i j
y s a t b t s a b
= = =
= + = +
∑ ∑ ∑
Trong đó
, 1 1 1 1 1
( ) ( )( ) 1.
k k k k k
i j i j i j
i j i j i j
t s t s t s
= = = = =
= = =
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
Suy ra
( )x C A B∈ +
suy ra
( ) ( ) ( ).C A B C A C B+ ⊃ +
ii. Lấy
( )x C A
λ
∈
suy ra
x
là tổ hợp lồi của các điểm thuộc
A
λ
tức là tồn tại
1 1 2

∑ ∑

Suy ra
( )x C A
λ
∈
suy ra
( ) ( ).C A C A
λ λ
⊂
Lấy
( )y C A
λ
∈
suy ra tồn tại
1 2 1 2
, , , [0,1]; , , ,
l l
s s s b b b A∈ ∈
sao cho
1
1
l
i
i
s
=
=
∑
và

hợp lồi các phần tử của
A
.Suy ra conv
( ).A C A⊃
Lấy
, ( ); [0,1]x y C A
λ
∈ ∈
. Giả sử
1 1
;
m n
i i j j
i j
x x y y
λ µ
= =
= =
∑ ∑
Trong đó
, ; , [0,1]; i=1, , 1,
i j i j
x y A m j n
λ µ
∈ ∈ =
;
1 1
1; 1
m n
i j

+ − = + −
∑ ∑
Suy ra
(1 ) ( )x y C A
λ λ
+ − ∈
suy ra
( )C A
là tập lồi.
Ta lại có
( )C A
là tổ hợp lồi các phần tử của
A
nên
( )A C A⊂
.
Do convA là tập lồi nhỏ nhất chứa A, suy ra conv
( ).A C A⊂ W
1.3.7. Định lí.
n
P
khép kín đối với phép toán Minkowski.
Chứng minh:
- Giả sử
,
n
P Q P∈
và
P
=

{a ,a , ,a }
k
.
Theo 1.3.5. ii. và 1.3.6. ta có
P
λ
=
conv
0 1
{ a , a , , a }
k
λ λ λ
.
Suy ra
.
n
P P
λ
∈ W
1.4. Siêu phẳng tựa
1.4.1. Định nghĩa
i. Phẳng của
n
¡
là tập hợp có dạng A = x + L, trong đó L là một
không gian vectơ con của
n
¡
. Số chiều của L được lấy làm số chiều của A.
Siêu phẳng trong

⊂
và
C H∩ ≠ ∅
. Nếu
C H
+
∈
(tương ứng
C H
−
∈
) thì
H
+
(tương ứng
H
−
) được gọi là không gian tựa của
.C
* Ví dụ. Trong
3
,¡
cho tứ diện
ABCD
. Khi đó các mặt phẳng
( ), ( ),ABC ACD
( ), ( )ABD BCD
là các siêu phẳng tựa của tứ diện
ABCD
. Mặt phẳng có điểm chung duy nhất (là một đỉnh nào đó)

* Ví dụ. Trong
3
,¡
cho tứ diện
.ABCD
Khi đó các tam giác
, ,ABC ACD

,ABD BCD
, các cạnh AB,BC,…, các đỉnh A, B, C,
D là các diện của tứ diện
ABCD
; các tam giác
, ,ABC ACD
,ABD BCD
là các mặt của tứ diện
ABCD
.
1.4.3. Định lí. Giả sử
, 0
n
A K
ε
∈ >
và
X
là một hình đa diện
lồi bị chứa trong
A
. Khi đó tồn tại

{x ,x , ,x }
k
.
Đặt P = conv
1 2
{x ,x , ,x }
k

thì
X P A⊂ ⊂
(Vì
A
là lồi và hình
đa diện lồi
X
là bao lồi của tập các đỉnh của nó).
Lấy
x A
∈
. Khi đó tồn tại
{1,2, ,k}i∈
sao cho
i
x B∈
.
Suy ra
( , ) ( , )
i
x P x x
ρ ρ ε

λ
ρ λ
→
=
Chứng minh
Gọi
X
là hình hộp n chiều tâm O chứa
A
và
α
là độ dài cạnh
của nó.
1
λ
∀ >
đặt
( ) ( 1).
2
α
ε λ λ
= −
Theo Định lí 1.4.3. ta có với mọi
1
λ
>
tồn tại hình đa diện
( )P
λ
thỏa mãn điều kiện

>
. Khi đó tồn tại điểm
y
sao cho
[O, ] ( ( )) {y}x bd P
λ λ
∩ =
Suy ra tồn tại một mặt
F
của
( )P
λ
sao cho
.y F
λ
∈
Gọi
H
là siêu phẳng chứa
F
suy ra
H
là siêu phẳng tựa của
( )P
λ
.
'H
là siêu phẳng qua
x
và song song với

⊂ W
Khái niệm liên hệ mật thiết với hàm đánh giá là khái niệm
độ đo, đặc biệt là độ đo Lebesgue mà luận văn trình bày ở phần
tiếp theo.
1.5. Một số vấn đề về độ đo
1.5.1. Định nghĩa. Kí hiệu
1
{x 1}
n n
x
−
= ∈ =
¡S
với
1 2
( , , , )
n
x x x x=
và
2 2 2
1 2 n
x x x x= + + +L
.
Với
\{0}
n
x∈¡
ta kí hiệu
r x=
và

là độ đo Lebesgue trong
n
¡
.

*
V
là độ đo Borel trên
1
(0, )
n−
∞ ×S
(độ đo trên σ-đại số Borel
của
1
(0, )
n−
∞ ×S
cảm sinh bởi
Φ
và
,V
tức là
* 1
( ) ( ( ))V E V E
−
= Φ
).
Ta định nghĩa độ đo
n

. Nếu
f
là đo được Borel trên
n
¡
và
0f ≥
hoặc
f
là hàm khả tích Lebesgue trên
n
¡
thì
1
1
0
( ) ( ) ( ') ( ') .
n n
n
f x d x f rx r d x dr
σ
−
∞
−
=
∫ ∫ ∫
¡ S

Chứng minh. Nếu
f

a
E a r a x E
−
= Φ × = < ≤ ∈
Để đẳng thức trong định lí đúng thì khi
1
E
f
χ
=
ta có
1
1
1 1 1
1
0
0
( ) ( ') ( ) ( ).
n n
E
V E r d x dr E r dr n E
σ σ σ
− − −
= = =
∫∫ ∫
Vì vậy ta định nghĩa
1
( ) ( ).E nV E
σ
=

b a
V a b V E E n b a E
σ
−
× = = −
1
( ) (( , ] ).
b
n
a
E r dr a b E
σ ρ σ
−
= = × ×
∫

Cố định
E
thuộc σ-đại số Borel của
1n−
S
và giả sử
E
A
là họ
các hợp hữu hạn rời nhau của các tập dạng
( , ]a b E×
. Suy ra
E
A

µ
∪
thuộc σ-đại số Borel của
1
}
n−
S
chứa tất cả các gian Borel của
1
(0, )
n−
∞ ×S
nên
*
V
ρ σ
= ×
trên tất cả các tập Borel.
W
CHƯƠNG 2. HÀM ĐÁNH GIÁ VÀ ỨNG DỤNG
CỦA CHÚNG TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP
Như đã nói trong phần mở đầu thì hàm đánh giá là một khái
niệm khái quát của khái niệm độ đo, vì vậy nó cũng là khái
niệm mở rộng của khái niệm độ dài, diện tích và thể tích. Ta sẽ
đi xây dựng khái niệm tổng quát là thể tích của một thể lồi.
2.1. Hàm đánh giá
2.1.1. Định nghĩa. Xét họ các tập hợp
L

với quan hệ thứ tự

là dàn
sinh bởi
S
.
Giả sử
S
là một họ các tập hợp,
S
được gọi là có tính chất
giao nếu
,A B S∈
thì
A B S
∩ ∈
.
* Ví dụ
1. Đại số và
σ
−
đại số là các dàn.
2.Ta có
σ
−
đại số sinh bởi tập hợp
S
là dàn sinh bởi
S
.
3.
,

được gọi là liên tục nếu nó liên tục với
metric Hausdorff.
Hàm đánh giá
Φ
được gọi là đơn nếu
,dim ( ) 0.P S P n P∀ ∈ < ⇒ Φ =
* Ví dụ. Độ đo trên
σ
−
đại số
S
là một hàm đánh giá trên
S
.
2.1.3. Định nghĩa. Giả sử
( , , )L ∩ ∪
là một dàn các phép toán
của dàn là giao và hợp.
: LΦ → ¡
là hàm đánh giá trên
L
. Khi
đó ta có công thức sau:

( )
)
2
1
( ) (
j

{ , , , {1, , }} ,
k
I i i i m
φ
≠ = ⊆K
với
1 2
1,2, , ; 1
k
k m i i i m
= ≤ < < < ≤
, và đặt
1 2
, .
k
I i i i
C C C C I k= ∩ ∩ ∩ =
Khi đó (2.1) có thể được viết dưới dạng như sau:

1
1 2
( ) ( 1) ( )
I
m I
I
C C C C
−
Φ ∪ ∪ ∪ = − Φ
∑
với

Chứng minh. ii. => i. Vì
S
có tính chất giao nên
( )L S

bao
gồm mọi giao có được của hữu hạn tập của
S
.
Nếu
Φ
có thể mở rộng thành hàm đánh giá trên
( )L S

thì sự
mở rộng này thỏa mãn công thức bao hàm - loại trừ trên L. Suy
ra hàm đánh giá
Φ
trên S phải thỏa mãn công thức này trên một
họ có tính chất giao trên
S
.

1
1 2
( ) ( 1) ( ),
I
m I
I
C C C C

∑ ∑
với
1 2 1 2
, , , , . (2.4)
m n
C C C D D D S
∩ ∩ ∩ ∈
K K
Lúc
1 2 1 2m n
C C C D D D∪ ∪ ∪ = ∪ ∪ ∪K K

( )
1
1
1 2
1 ( ) ( 1) ( ( ))
I
I
I I n
I I
C C D D D
−
−
− Φ = − Φ ∩ ∪ ∪ ∪
∑ ∑

1
1 2
1 1


như sau

1
1 2
( ) ( 1) ( )
I
m I
I
C C C C
−
Φ ∪ ∪ ∪ = − Φ
∑
vớ i
1 2
, , ,
m
C C C S
∈
K
.
(2.5)
ở đây ở vế phải theo nghĩa là hàm đánh giá
Φ

cho trên
S
. Do
(2.4) nên hàm
Φ

.
Với
L
= 1, (2.7) đúng hiển nhiên.
Giả sử
L
= l>1 và (2.7) đúng cho l – 1.Ta giả sử l = {1,2,…,m}.
Ta có:
, , , ,J K i J K i J i K i J i K
J K L J K L J K L J K L
φ
≠ ∈ ∈ ∉ ∉ ∈
∪ = ∪ = ∪ = ∪ =
= + +
∑ ∑ ∑ ∑
.
Chú ý rằng
1 1 2
, {i}, , {i} {i} ,
2( 1) ( 1)
L L
i J i K J i K i J K J K
J K L J K L J K L J K L
+ − +
∈ ∈ = ∈ ∈ = ∈
∪ = ∪ = ∪ = ∪ =
= + + = − − −
∑ ∑ ∑ ∑
.
1 1