Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

LỜI NÓI ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài
Đại số là một lĩnh vực quan trọng của toán học. Bộ phận của toán học
nghiên cứu các tập hợp mà không quan tâm đến bản chất cụ thể các phần tử của
chúng. Từ cuối thể kỉ XIX, nhà toán học Đức (G.Cantor) đã xây dựng và đặt nền
móng cho lí thuyết tập hợp, mà ngay nay gọi là lí thuyết ngây thơ về tập hợp, là
phần kiến thức không thể thiếu đối với những người học toán, những người dạy
toán và những người làm toán.
Lí thuyết tập hợp đã phát triển rất nhanh ngay sau khi nó ra đời, ngày nay
đã đạt được những kết quả hết sức sâu sắc. Các kiến thức về lí thuyết tập hợp là
rất quan trọng. Trong chương trình phổ thông các kiến thức này được cung cấp
từ lớp 1 đến lớp 12, từ đơn giản , sơ khai đến phức tạp và chuẩn xác dần. Trong
chương trình đại học, chúng tiếp tục được bổ sung trong các phần cơ sở của Đại
số và Giải tích. Một số ngành học trong đó có ngành Giáo dục Tiểu học đã thiết
kế lí thuyết tập hợp thành những môn học riêng, đây là môn học rất hữu ích,
không những là công cụ để học các môn học khác mà bản thân nó cũng là một
môn học giúp sinh viên rất nhiều trong rèn luyện tư duy toán học nói riêng và tư
duy lôgic nói chung
Với mong muốn tìm hiểu sâu về mảng kiến thức này để phục vụ cho công
tác giảng dạy đồng thời giúp các em học sinh có thêm nhiều kiến thức về tập
hợp, dưới sự chỉ đạo hướng dẫn của Ban chủ nhiệm khoa và TH.S Nguyễn Thị
Bình nên em đã chọn đề tài: “Tập hợp, các phép toán trên tập hợp và ứng dụng
các phép toán trên tập hợp để giải bài toán”
2. Mục đích, yêu cầu của đề tài
Đề tài nhằm hệ thống lại lí thuyết tập hợp, các phép toán trên tập hợp,
kiến thức liên quan và ứng dụng các phép toán trên tập hợp để giải bài toán




Sưu tầm, giải quyết các bài toán.



Tổng kết kinh nghiệm.

Đỗ Thị Hồng

2

Lớp K35 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Chương 1: Lí thuyết tập hợp
1.1 Tập hợp. Phần tử của tập hợp
Khái niệm tập hợp thường được gặp trong toán học và cả trong đời sống.
Chẳng hạn
+ Tập hợp các đồ vật (sách, bút) trên bàn
+ Tập hợp các học sinh của lớp 10B3
+ Tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 6
+ Tập hợp các chữ cái a, b, c.
1.2 Cách viết, các kí hiệu
1.2.1 Cách viết

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Chỉ ra các tính chất đặc
trưng cho các phần tử

Liệt kê các phần tử

Mô tả các phần tử

A={2; 3; 5; 7}

A là tập hợp các số A={x | x là số nguyên tố
nguyên tố nhỏ hơn 10
nhỏ hơn 10}

B={m, a, t, c, h}

B là tập hợp các chữ cái B={x | x là các chữ cái
trong từ “match”
trong từ “match”}

C={1; 2; 3; 4; 5….}

C là tập hợp các số tự
C={x | x }
nhiên

1.2.3 Kí hiệu
Nếu x là một phần tử thuộc tập A kí hiệu là xA đọc là x thuộc A hoặc x
là một phần tử của A


{2; 5; 7}
{a, n, t}

4

b, 0



d,{1}

{1; 3; 5}

Lớp K35 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

1.2.4 Lưu ý
a, Một tập hợp phải được xác định rõ ràng để tránh bất kì những hiểu lầm
về một đối tượng là một phần tử hay không là phần tử của tập hợp.
Ví dụ: Tập hợp các số nguyên dương là một tập hợp được xác định rõ
ràng (cho bất kì một số điện thọai chúng ta có thể dễ dàng nói nó là một số
nguyên dương).
b,Thứ tự các phần tử được viết không tạo ra sự khác biệt và mỗi phần tử
chỉ được liệt kê một lần.
Ví dụ: A={các chữ cái trong từ “NHA TRANG”}


và x+5=2}

5

Lớp K35 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

b, Kí hiệu
Số phần tử của tập hợp A được kí hiệu là n(A).
Ví dụ 1 : Ở ví dụ trên
n(D)=1
n(E)=2
n(F)=11
n(K)=
Ví dụ 2: Với A= {x | x là bình phương các số tự nhiên và x50}
B={x: x là số nguyên dương nhỏ hơn 10}
C={x: x=2k+1, 3k7, k là số nguyên}
a, Liệt kê các phần tử của A, B và C
b, Tìm n(A), n(B) và n(C)
Bài giải



a, A= 12 ;22 ;32 ;42 ;52 ;62 ;7 2


d, A={x | x là số nguyên dương nhỏ

}

hơn 10}

e, A={x | x là số nguyên tố nhỏ hơn 20
}

f, A={x | x là thừa số của 18}

g, A={x | x là bội số của 6 và h, A={x | x=2k+1, k là số nguyên

3  x  30 }

dương nhỏ hơn 5}

i, A={x | x là nghiệm của phương trình j, A={x | x là số tự nhiên và

 x  2  x  5  0 }

3x  1  9 }

k, A={x | x là nghiệm của phương h, A={x | x  a 2  b 2 , a và b là số
trình x 2  1  0 }

tự nhiên, 1a4 và 1b5}

1.3.3 Số tập con của một tập hợp hữu hạn
Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là: Nếu A là một tập hợp có n phần tử

cuộc triển lãm( ba người được mời độc lập với nhau)
Hỏi có thể có bao nhiêu sự kết hợp khác nhau về sự có mặt của mỗi người
trong ngày khai mạc triển lãm?
Ta hãy xét mọi khả năng( a đến hoặc không, b đến hoặc không, c đến hoặc
không) và biểu diễn chúng trên một cây chẻ đôi, tức là một cây mà mọi sự phân
cành đều có được từ cặp “đến, không”
A đến dự

b đến dự

c đến dự

Trên hình ta thấy có tất cả 8 khả năng, mỗi khả năng tương ứng với một
tập con của A={a, b, c}, kể cả tập con là 
Đỗ Thị Hồng

8

Lớp K35 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Tập hợp tất cả các tập con của A là:
P({a, b, c})={{a, b, c}; {a, b};{a, c},{b, c}; {a}; {b}; {c}; }
Vậy tập A={a, b, c} có tất cả 8 tập con
e, Với n=4
Giả sử tập hợp B gồm bốn phần tử a, b, c, d: B={a, b, c, d}. Có thể nghĩ

Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Nếu tập A không bằng tập B ta viết AB.
Ví dụ 1: A={1; 2; 3; 4}
B={4; 3; 2; 1}
A=B
Ví dụ 2: G={c, a, t, cat}
H={c, a, t}
GH vì tập G có một phần tử là từ “cat”, từ “cat” không phải là một
phần tử của H mặc dù các chữ cái riêng lẻ đều thuộc H
Bài tập tương tự:
Bài 1: Đánh dấu () vào ô vuông mà các tập hợp bằng nhau
Đánh dấu() vào ô vuông mà các tập hợp không bằng nhau
a, A={chữ cái trong từ “algebra”}

b,A={chữ cái trong từ “celebrate" }

B={các chữ cái trong từ “beagle”}

B={chữ cái trong từ “bracelet”}

c, A={thừa số của 20}

d, A={x |x là nghiệm của phương

B={1; 2; 4; 5; 20}

trình x 2  9  0 }

H={x | x



và x 4}

I={7; 2; 5; 3}
J={x | x và x  5}
1.3.5 Tập hợp con
Nếu mọi phần tử của tập A cũng là phần tử của tập B thì ta nói rằng tập A
là tập hợp con của tập B và viết AB (đọc là A chứa trong B)
Thay AB ta cũng có thể viết BA(đọc là B chứa A hoặc B bao hàm A)
Tập hợp A không phải là tập con của B nếu có ít nhất một phần tử của A
không thuộc B ta viết A Ø B.
Ví dụ 1: A={a, b, c}
B={b, c, a}
AB vì mọi phần tử của tập A cũng là phần tử của tập B
BA vì mọi phần tử của tập B cũng là phần tử của tập A
Ví dụ 2: Tập hợp
nguyên:

các số tự nhiên là một tập con của tập hợp

các số



Tập hợp

các số hữu tỉ là một tập con của tập hợp

Ø

Không là tập con



Tập con thực sự



Không là tập con thực sự

Ví dụ 1:A={p, q, r}
B={q, r, p}
C={p, q, r, t, s, u}
 AC vì mọi phần tử của tập A đều là phần tử của tập C nhưng C có số
phần tử nhiều hơn tập A
Tương tự ta có BC
A=B vì mỗi phần tử của tập A đều là phần tử của tập B và ngược lại
Ví dụ 2: Tập hợp C các hình chữ nhật là tập con thực sự của tập hợp T
các hình bình hành vì mỗi hình chữ nhật là một hình bình hành: C  T
Tính chất 1: Ta có các tính chất sau
a)

AA với mọi tập hợp A

b)

Nếu AB và BC thì AC (hình vẽ sau)



b, A

e, {c}A

c, {}=

f, AA

Bài 2: A={x | x là số nguyên dương lẻ nhỏ hơn 6}
B={x | x là nghiệm của  x  1 x  5   0 }
C={x|x

và x6}

D={1; 5}
a, Tìm số phần tử của mỗi tập hợp trên
b,Sử dụng các kí hiệu , =,  để miêu tả mối quan hệ giữa các tập hợp
trên.
Bài 3: a ,Với A  B nếu n(B)=50 tìm số phần tử tối đa của tập A
b, Với CD và DC Nếu n(C)=20 tìm n(D) và nêu mối quan hệ giữa hai
tập hợp trên.
1.3.7 Không gian tập hợp
Không gian tập hợp, kí hiệu  là tập hợp chứa tất cả các phần tử được xét
trong một vấn đề


Không gian tập hợp

Chẳng hạn, trong số học, người ta chỉ xét các tập con của tập hợp

B={1; 2; 5; 7}
Sử dụng sơ đồ ven để minh họa các tập hợp trên
 3
6

A

B
4

8

2 1
5

7

 2 và 5 là các phần tử chung của tập A và B
được đặt trong phần chung của tập A và B
tức là nơi hai vòng elip chồng lên nhau
 Các phần tử 3, 6, 8 được đặt bên ngoaì các
vòng elip vì chúng không thuộc vào một
trong hai tập A và B

Đỗ Thị Hồng

14

Lớp K35 CN Toán




20
15
Q

5
10 P

Tất cả số phần tử của tập P đều là
số phần tử của tập Q. Do đó ta vẽ
một vòng tròn nhỏ P nằmbên trong
vòng tròn của Q. PQ

20

Ví dụ 3: Nếu D là tập hợp các tam giác đều và V là tập hợp các tam giác
vuông thì D và V là hai tập rời nhau
Thật vậy một tam giác không thể vừa đều vừa là vuông
Do đó D  V=

Đỗ Thị Hồng

15

Lớp K35 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp


4

7
A

5
A

Phần tô đậm chính là
phần biểu thị tập A

9

A ={3; 5}

 là phần tử trong  nhưng không trong A

Bài tập tương tự:
Bài 1:Với ={11; 12; 13; 14; 15; 16;1 7; 18}
A={12; 14; 16; 18}
B={11; 13; 15; 17}
a.

Vẽ sơ đồ ven biểu diễn các tập hợp trên

Đỗ Thị Hồng

16

Lớp K35 CN Toán

Hợp của hai tập hợp



A

B

Phần tô đậm chính là phần
biêu thị A  B

Phép toán hợp các tập hợp có thể được định nghĩa cho 3, 4,…, n tập hợp.
Khi đó ta viết:

A1  A2  .....  An  {x | x A1 hoặc x  A2 ....... hoặc x  An }
Có thể kí hiệu ngắn gọn như sau:
n

A1  A2  ......  An   Ai  {x | x  Ai với i=1, 2,…,n}
i 1

Nếu là hợp của họ vô số tập hợp ta sẽ viết như sau:

Đỗ Thị Hồng

17

Lớp K35 CN Toán



các số thực
Hợp của tập hợp
: 

các số nguyên và tập hợp

các số hữu tỉ là tập hợp



Ví dụ 2:Tô đậm các phần sau đây sử dụng sơ đồ ven
a)

A B

b)

 A  B 

c)

A  B

d)

A  B

e)

A  B

Lớp K35 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

c) A  B

 Tô đậm miền A

A

B


A

B

 Tô đậm miền B

A

B

Miền tô đậm A  B bao gồm các
phần được tô đậm

Đỗ Thị Hồng

phần được tô đậm

Đỗ Thị Hồng

21

Lớp K35 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

e)

Trường ĐHSP Hà Nội 2

A  B
 Tô đậm miền A

 Tô đậm miền B

Phần tô đậm A  B bao gồm các
phần được tô đậm
Bài tập tương tự
Bài : Với ={a, b, c, d, e, f, g}, A={b, e, d}, B={a, d, e, g} tìm
a, 

b, 

c,     


A1  A2  ......  An  {x | x  Aii  1, n}
n

Có thể kí hiệu ngắn gọn như sau: A1  A2  ......  An   Ai
i 1

Nếu là giao của một họ vô số tập hợp ta sẽ viết như sau:
n

A1  A2  ......  An   Ai
i 1

Tổng quát: Cho một họ vố số tập hợp {Ai }iI . Khi đó

 Ai  {x | x  Ai với i  I }

iI

Giao của các tập hợp là phần chung của các tập hợp
b, Định lí
Với các tập hợp bất kì A, B, C, D ta có:
i. ABA, ABB
ii. Nếu AB và AC thì ABC
iii. Nếu AB và CD thì ACBD
iv. ABABA

Đỗ Thị Hồng

23


2

={}

Ví dụ 2: Với ={8; 9; 10;…;16}
A={8; 10; 12; 14; 15; 16}
B={11; 12; 13; 14}
C={9; 11; 13; 15}

Tìm

a,   

b, n     

e,   

f,   

c,   C
g,   

d, n    C 
h,     

Bài giải
a,    ={12; 14}
b, n      =2
c,   C =
d, n    C  =0


1
x 1}
2

B={  x, y  |  x, y  nằm trên đương y=ax + b}
Nêu rõ các giá trị của a và b có thể có nếu
a, A=B

b,    =

Bài tập 3: X={b, c, d}

Y={a, b, c, d, e}

a, Tìm các phần tử của Z sao cho XZ=Y
b, Tìm các phần tử của Z sao cho YZ=X

Đỗ Thị Hồng

25

Lớp K35 CN Toán