1
SỬ DỤNG CÔNG THỨC VỀ SỐ PHẦN TỬ CỦA TẬP HP
ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN SUY LUẬN

I) Các tính chất cơ bản về số phần tử của tạp hợp hữu hạn:
*Tính chất 1: Nếu A,B là hai tập hợp bất kì nếu
A B A B A B
      

*Tính chất 2: Với hai tập hợp hữu hạn , ta luôn có:
A B A B A B
    

*Tính chất 3: Với A, B là các tập hợp bất kì:
A B A B
  
. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
A B
  
.
*Tính chất 4: Với A,B, C là các tập hợp bất kì , ta luôn
có:
A B C A B C A B B C C A A B C
             

*Tính chất 5: Với A,B là hai tập hợp bất kì, ta có: Nếu \
A B A B A B
   
.
*Tính chất 6: Cho A

  
II) Một số bài toán suy luận:
Bài 1: Trong một đề thi có 3 câu về 3 chủ đề : Số học, Giải tích, Hình học. Trong số
60 thí sinh dự thi có 48 thí sinh giải được câu Số học, 40 thí sinh giải được câu Giải tích, 32
thí sinh giải được câu Hình học. Có 57 thí sinh giải được câu Số học hoặc Giải tích, 50 thí
sinh giải được câu Giải tích hoặc Hình học, 25 thí sinh giải được cả hai câu Số học và Hình
học, 15 thí sinh giải được cả 3 câu. Hỏi có bao nhiêu thí sinh không giải được câu nào?
Giải: Gọi T là tập hợp tất cả thí sinh. A,B,C là các tập hợp thí sinh giải được các câu Số học,
Giải tích, Hình học. Ta có:
A B A B A B
    
=48+40-57=31
B C B C B C
    
=40+32-50=22
Do đó:
A B C A B C A B B C C A A B C
             

= 48+40+32-31-22-25+15= 57
Vì
( )
A B C T
  
nên ta có: \ ( )
T A B C T A B C
     
=60-57=3.
Vậy có tất cả 3 thí sinh không giải được câu nào.
Bài 2: Khi điều tra kết quả học tập của một học ở các môn Toán, Lí, Hóa, người ta thấy:

Theo đề bài ta có:
b+f=2(c+f) (1)
a=d+e+g+1 (2)
a+b+c+d+e+f=25 (3)
a+b+c=2(c+b+f) (4)
Ta cần tính b: Từ các hệ thức trên, ta có: 4b+c=26 và
2
b c

.Giải hệ PT tìm nghiệm nguyên
trên, suy ra b=6.
Vậy có tất cả 6 thí sinh chỉ giải được đúng một bài 2.
Bài 4: Tìm hiểu kết quả học tập ở một lớp học, người ta nhận thấy rằng:
-Hơn 2/3 số học sinh đạt điểm giỏi ở môn Toán cũng đồng thời đạt điểm giỏi ở môn Vật lí.
-Hơn 2/3 số học sinh đạt điểm giỏi ở môn Vật lí cũng đồng thời đạt điểm giỏi ở môn Văn.
-Hơn 2/3 số học sinh đạt điểm giỏi ở môn Văn cũng đồng thời đạt điểm giỏi ở môn Lòch sử.
-Hơn 2/3 số học sinh đạt điểm giỏi ở môn Lòch sử cũng đồng thời đạt điểm giỏi ở môn Toán.
Chứng minh rằng: trong lớp học nói trên, có ít nhất một học sinh đạt điểm giỏi ở cả 4 môn
Toán, Vật lí, Văn và Lòch sử.
(Đề thi HSG cấp Quốc gia THPT 2005)
Giải: Gọi T, L, V, S là tập hợp các học sinh đạt điểm giỏi ở các môn Toán, Lí, Văn, Sử.
Đặt
1 1 1 1 1 1
, ,
T T L L L V S V S T L S T L V S
            
. Theo giả thiết thì:
1 1 1
2 2 2
, ,

LV+LVS+LVT+LVTS > 2 (L+LT+LS+LVS)
VS+VST+VSL+VSTL > 2 (V+VT+VL+VTL)
ST+STL+STV+STVL > 2 (S+SV+SL+SVL)
Cộng từng vế các BĐT trên, suy ra: 4TLVS > 2(T+L+V+S)+3(TL+LV+VS+ST)>0. Ta có đpcm.
Bài 5: Cho n, k là các số nguyên dương thỏa điều kiện n > k
2
-k+1 và n tập hợp A
1
,
A
2
, A
3
, A
n
trong đó : , 2 1,
i i i
A k A A k i j
     
. Hãy tính:
i j
A A

,
1
n
i
i
A


A A i k b b A A
        
.
Ta thấy rằng: ,
i j
b b i j
 
vì nếu ngược lại hai tập hợp A
i
,A
j
cùng chứa b
i
và a. Đây là điều
mâu thuẫn.
Từ đó suy ra: A
m
chứa ít nhất k+1 phần tử khác nhau, đây cũng là điều mâu thuẫn. Vậy điều giả
sử ở trên là sai, suy ra tất cả các tập hợp đều chung nhau đúng 1 phần tử. Ta đặt:
 
1 1
,
\ ( 1) ( 1) 1
1, 1,
n n
i j
i i i i
i i
i
B B i j

 
 
 
, k nguyên dương. Suy ra:
2008
1004
2
C
 
 
 
 
. Tương
tự:
2008 2008 2008
669, 401, 286
3 5 7
D E F
     
     
     
     

Ta sẽ tính số phần tử của các tập hợp chia hết đúng trong số đã cho. Ta có:
C D

là tập hợp các số nguyên dương không vượt quá 2008, chia hết đồng thời cho 2 và 3, tức
là chia hết cho 6, suy ra:
2008
334

C D E C D F
   
       
   
   
2008 2008
28, 19
70 105
C E F D E F
   
       
   
   

Cuối cùng số phần tử của tập con cả A và chia hết cho 2,3,5,7 là :
2008
9
210
C D E F
 
    
 
 

Suy ra:
( )
( )
C D E F C D E F C D C E C F D E D F E F
C D E C D F C E F D E F C D E F
                   

dụng hoán vò lặp do không có trong chương trình).
b/ Trong mỗi số, hai chữ số giống nhau không đứng cạnh nhau?
(Đề thi HSG cấp Quốc gia 2004)

Bài 4: Cho 167 tập hợp A
1
, A
2
, A
3
, A
167
thỏa mãn các điều kiện sau :
(1)
167
1
2004
i
i
A




(2)


. , , 1,2,3, 167 ,
j i i j
A A A A i j i j