CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC
ỨNG DỤNG CÔNG THỨC TÍNH KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC VÀO MỘT
SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG
A/ PHẦN MỞ ĐẦU.
I/ Tác giả viết chuyên đề.
-

Giáo viên: Nguyễn Huy Nguyện
Tổ: Toán – Tin
Trường THPT Yên Lạc 2
Mail:

II/ Lý do chọn đề tài.
-

-

-

Trong đề thi ĐH – CĐ luôn xuất hiện bài toán về tọa độ phẳng, một vài
năm gần đây bài toán này gây cho học sinh khá nhiều khó khăn về độ khó
của nó. Để giải được bài toán này ngoài việc học sinh cần nắm vững các
kiến thức cơ bản và các phương pháp giải học sinh còn phải có kiến thức
về hình học phẳng như các hệ thức lượng trong tam giác, trong tam giác
vuông, các kiến thức về các hình như tam giác, hình vuông, hình chữ
nhật, hình thoi, hình bình hành, hình thang…
Trong quá trình giảng dạy và làm các đề thi tôi thấy xuất hiện khá nhiều
các bài toán về hình học tọa độ phẳng cần tính các góc, khoảng cách và
sử dụng các công thức tính góc và khoảng cách để giải quyết bài toán.
Thông thường các giả thiết về góc và khoảng cách đều được ẩn bên trong
hình vẽ.

I/ Kiến thức áp dụng.
1/ Công thức tính khoảng cách:
*/ Khoảng cách từ một điểm

M ( x0 ; y0 )

đến đường thẳng

d ( M ; ∆) =

∆ ax + by + c = 0

:

là:

ax0 + by0 + c
a 2 + b2

∆1

∆2

*/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
song song với nhau bằng khoảng
cách từ một điểm M bất kì thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia.
d ( ∆1 ; ∆ 2 ) = d ( M ; ∆ 2 ) = d ( N ; ∆1 )

M ∈∆1 N ∈ ∆ 2

*/ Chú ý: góc giữa hai đường thẳng thuộc

 π
0; 2 

3/ Hệ thức lượng trong tam giác.
*/ Trong tam giác vuông:
Trang 2

.

a1.a2 + b1.b2
a12 + b12 . a2 2 + b22

ur
n1 ( a1; b1 )


- Định lý pitago: Tam giác

ABC

vuông tại

A

ta có:

BC 2 = AB 2 + AC 2


và khoảng cách từ điểm

5

Lời giải:
Gọi

r
r
n ( a; b ) ≠ 0

là véctơ pháp tuyến của đường thẳng

Do đường thẳng

∆

qua

A ( 1;1)

nên phương trình của

∆
∆

có dạng:

a ( x − 1) + b( y − 1) = 0 ⇔ ax + by − a − b = 0



2x + y − 3 = 0

Với

1
a=− b
2

chọn

a = 1 ⇒ b = −2

khi đó phương trình đường thẳng

x − 2y +1 = 0

Trang 3

∆

là:


∆

Vậy có đường thẳng

thỏa mãn đề bài là



∆2

là

∆1

.

uur
n2 ( 1;3)

Theo đề bài ta có:
ur uu
r
cos ( ∆1 ; ∆ 2 ) = cos 450 ⇔ cos n1 ; n2 =

(

⇔ ( a + 3b ) = 5 ( a + b
2

Với
Với

a = 2b

2

chọn

⇔ 2a − 3ab − 2b = 0 ⇔ 
a = − 1 b

2
2

a = 2 ⇒ b =1

2

khi đó phương trình đường thẳng

a = 1 ⇒ b = −2

∆1

khi đó phương trình đường thẳng

là:

∆1

2x + y + 4 = 0

là:

x − 2y + 2 = 0

Trên đây là hai bài toán cơ bản về viết phương trình đường thẳng liên quan
tới khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng và góc giữa hai đường

, cạnh bên
nằm trên đường
d2
12 x − y − 23 = 0
AC
thẳng
có phương trình là:
. Viết phương trình cạnh
biết
rằng

AC

đi qua điểm

M ( 3,1)

.

*/ Phân tích:
Ta thấy tam giác

ABC

cân tại

A

∠ABC = ∠ACB


cân tại

A

ur
n1 ( 2; −5 ) d 2

,

có một véc tơ pháp tuyến là

5
5

cos ( AC ; BC ) = cos ∠ACB = cos ∠ABC =

nên ta có
Trang 5

5
5


Gọi

r
r
n ( a; b ) ≠ 0

là một vtpt của đường thẳng

5
9
=
⇔ 9a 2 + 100ab − 96b 2 = 0

2
2
5
 a = −12b
29. a + b

a =8⇒b =9

chọn

12 x − y − 35 = 0

5
⇔
5

AC

AC / / AB

AC

là:

phương trình đường thẳng


CD

sao cho

đường thẳng AN có phương trình là:

ABCD

. Gọi

CN = 2 ND

2x − y − 3 = 0

M

là trung điểm của

. Giả sử

 11 1 
M ; ÷
 2 2

. Tìm tọa độ đỉnh

A

và

. Kẻ đường thẳng qua

và

Q

.

Trang 6

H

và song song với


HP = x

Đặt

QC = x

Ta có

PD = x, AP = 3 x, HQ = 3 x

suy ra
nên

Hơn nữa ta có


t = 1
3 10
7
45
 11  
⇔  t − ÷ +  2t − ÷ =
⇔ t 2 − 5t + 4 = 0 ⇔ 
2
2 
2
2

t = 4

A ( 1; −1)

hoặc

A ( 4;5 )

.

*/ Nhận xét: Với cách giải như trên ta thấy việc xác định được
AH = HM

AM =

và

3 10


∆AMN

.


Với ý tưởng đó tôi xin trình bày một cách giải khác như sau:
Gọi cạnh của hình vuông là
DN =

khi đó ta có:

BC x
=
2
2

CN =

,

Từ đó ta suy ra

Xét tam giác

AMN

r
r
n ( a; b ) ≠ 0


cos ( AM ; AN ) = cos ∠MAN =

Ta có

2
⇔
2

2a − b
5. a + b
2

2

=

2
⇔ 3a 2 − 8ab − 3b 2 = 0
2

 a = 3b
⇔
a = − 1 b
3


Với

2x

là nghiệm của hệ phương trình:

3x + y − 17 = 0  x = 4
⇔
⇒ A ( 4;5)

2 x − y − 3 = 0
y = 5

Với

1
a=− b
3

chọn

Vậy có hai điểm

a = 1 ⇒ b = −3

A

làm tương tự ta có

thỏa mãn điều kiện đề bài là

A ( 1; −1)

A ( 4;5 )

BD

Oxy

, cho hình chữ nhật

AB : x − 2 y − 1 = 0

x − 7 y + 14 = 0

ABCD

. Có phương trình đường

, phương trình đường thẳng chứa đường chéo

là
, đường thẳng
của hình chữ nhật.

AC

đi qua điểm

M ( 2;1)

. Tìm tọa độ các đỉnh

*/ Phân tích: Với bài toán trên nếu ta viết được phương trình đường thẳng
thì bài toán được giải quyết.

=
r =
5 50 5 10
10
n1 n2

Như vậy phương trình đường thẳng

AC

hoàn toàn viết được.

Lời giải:
Gọi

ϕ

là góc giữa hai đường thẳng

Ta có (AB) có vtpt

ur
n1 = ( 1; −2 )

AB

và

BD



3
10
AC

 a = −b
3
2
2
cos ( AC,BD ) =
=
⇔ 7 a + 8ab + b = 0 ⇔ 
2
2
a = − 1 b
10
5 a +b
7

a-2b

Ta có:

 a = −b
⇔
a = − 1 b
7


Với


x − y −1 = 0

7 5
I = AC ∩ BD ⇒ I  ; ÷
2 2


Với

1
a=− b
7

AC / / BD

chọn

a = 1 ⇒ b = −7

AC

phương trình của

x − 7 y + 12 = 0

là:

(loại vì


Bài 4 (Trích Đề thi thử đại học khối A; A1 lần 1 nhóm 2 tỉnh Vĩnh Phúc năm
học 2013 – 2014).
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
AB = 2 AD
B, C , D

Oxy

, cho hình chữ nhật

. Phương trình đường thẳng

biết điểm

D

ABCD

BD : 4 x + 3 y + 3 = 0

có đỉnh

A ( 1;1)

. Tìm tọa độ các điểm

có hoành độ không âm.

Lời giải từ đáp án của đề thi:
d ( A; BD ) =

AD
AB
AH
4 AD
4

Gọi

 −4 m − 3 
D  m;
÷∈ BD, m ≥ 0
3 


⇔ 25m + 30m = 0 ⇔ m = 0

Xét

∆ABD

AB = 2 AD

có:

)
2

. Ta có:
m=−



A

và có véctơ pháp tuyến
Trang 11

và

uuur
AD ( −1; −2 )


Phương trình

AB : x + 2 y − 3 = 0

{

hệ:
I

Gọi

Vậy,

{

tọa độ

( x; y )

I

AC

cũng là trung điểm của

.

*/ Phân tích:
- Với lời giải trên tôi nghĩ rằng để dựng thêm điểm H và sử dụng hệ thức lượng
1
1
1
+
=
2
2
AD
AB
AH 2

trong tam giác vuông

ABD

để tính

AD

thì hơi khó khăn đối

AB = 2 AD

mà tam giác

ABD

vuông tại A. Nên ta tính

như vậy ta sẽ viết được phương trình đường thẳng

đó tìm ra được tọa độ điểm

D

. Từ đó ta tìm ra các đỉnh còn lại.

Trang 12

AD

từ


Lời giải:
ABD

Xét tam giác vuông
cos ( DA; DB ) =

Suy ra


a = 2 ⇒ b = −1 ⇒

chọn

D ( 0; −1)

nên ta có

1
5

.

1
cos ( DA; DB ) =
⇔
5

Với

AB = 2 AD

cos ∠ADB =

phương trình đường thẳng

AD : 2 x − y − 1 = 0

thỏa mãn.

có hoành độ không âm.
Oxy

AD

CD = BC 2 = 2 AB

cạnh
và
có tung độ dương.

phương trình đường thẳn

, cho hình thang
là:

2x + y + 6 = 0

ABCD

, điểm

vuông tại

M ( 2,5 )

A

và


AD

và tìm được tọa độ điểm
E

là trung điểm của

DC

thì khi đó ta viết được
N

. Do giả thiết cho

thì

∆BEC

∠BCE = 45 = ∠BMN
0

suy ra
từ đó ta viết được phương trình của
được tọa độ các đỉnh của hình thang.

vuông cân

BC

và ta sẽ tìm

MN / / DC

DC

là:
nên

x − 2 y + 8 = 0 ⇒ N ( −4; 2 )

.

∠BCE = 450 = ∠BMN

là một véctơ pháp tuyến của đường thẳng

BC

 a = −3b
1
cos ( MN ; BC ) = cos 45 ⇔
=
⇔
2
2
a = 1 b
2
5. a + b
3

0

Gọi

Với

A ( x0 ; −2 x0 − 6 )

1
a= b
3

⇒ F ( −7;8 )

chọn

ta có

a =1⇒ b = 3

D ( −3;0 )

⇒ B ( −1;6 ) ⇒ C ( 5; 4 )
A ( −5; 4 )

,

loại vì điểm

phương trình đường thẳng

làm tương tự ta có

x − 2 y + 13 = 0

.

B ( −1;6 ) C ( 5; 4 )

,

,

D ( −3; 0 )

.

2/ Bài tập liên quan đến khoảng cách.
Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ

Oxy

, lập phương trình đường thẳng d đi

qua điểm A(1; 2) và cắt đường tròn (C) có phương trình
một dây cung có độ dài bằng 8.
Lời giải :
Giả sử một véctơ pháp tuyến của
có phương trình:

d

là



d ( I,d ) =

Với

2a − b − a − 2b

a=0

a +b
2

chọn

2

b =1

3
a=− b
4

= 3 ⇔ a − 3b = 3 a 2 + b 2

a = 0
⇔ 8a + 6ab = 0 ⇔ 
a = − 3 b

4


và điểm A có

*/ Phân tích:

Do đường tròn

( C)

nội tiếp hình vuông nên cạnh

AB

tiếp xúc với đường tròn,

I
suy ra d ( I ; AB ) = R với là tâm đường tròn. Như vậy ta hoàn toàn viết được

phương trình đường thẳng

AB

. Từ đó suy ra tọa độ các đỉnh của hình vuông.

Lời giải:
Gọi

r
r
n ( a, b ) ≠ 0


2a + 3b + 3a + 2b
a 2 + b2

Với
Gọi

a = −3b

Với
Gọi

2

nên

d ( I ; AB ) = R

a = 3 ⇒ b = −1

(với

t >0

phương trình đường thẳng
IA2 = 2.R 2 = 20

) ta có

b = −3a


1 + 3t )
Suy ra (

AB : x − 3 y − 3 = 0

IA2 = 2.R 2 = 20

+ ( t − 3) = 20 ⇔ 10t 2 +10 = 20 ⇒ t = 1
2

A(6;1); B(0; −1); C ( −2;5); D(4;7)

Vậy các điểm cần tìm là

A(6;1); B(0; −1); C ( −2;5); D(4; 7)

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ
thẳng chứa cạnh
là

hay

 a = −3b
= 10 ⇔ 10(a 2 + b 2 ) = 25(a + b) 2 ⇔ (a + 3b)(3a + b) = 0 ⇔ 
b = −3a

chọn

A ( t ;3t + 7 )


.

.

*/ Phân tích:

Trang 17

AD

và

BC

, biết

CD


Do
Do

AD / / BC
ABCD

d ( AB, CD )

nên ta chỉ cần viết phương trình một đường.


n ( a; b ) ≠ 0

dạng:

Do

K ( −5;0 ) ∈ AB

d ( AB; CD ) = d ( K ; CD ) =

là véctơ pháp tuyến của

BC

4
5

khi đó phương trình của

BC

có

a ( x + 1) + b ( y − 4 ) = 0 ⇔ ax + by + a − 4b = 0

1

a= b

−2 a − b

.

Trang 18

x + 2y − 7 = 0

suy ra phương


a=−

Với

11
b
2

chọn

phương trình của

a = 11 ⇒ b = −2

BC

phương trình

AD :11x − 2 y + 39 = 0

,

;

AB

,

.

*/ Phân tích:

d ( AB; CD ) = d ( AD; BC )

Do đề bài cho hình vuông nên ta có
mà tất cả các cạnh
này đều đi qua một điểm cho trước nên ta nghĩ đế sử dụng khoảng cách để viết
phương trình một cạnh bất kì nào đó của hình vuông, các cạnh còn lại ta sẽ viết
được phương trình dựa vào quan hệ vuông góc và song song.
Lời giải:
Gọi

r
r
n1 ( a; b ) ≠ 0

tuyến của

là véctơ pháp tuyến của

Phương trình của
Do


Trang 19


a + 4b

=

a 2 + b2

 a = 7b
⇔
2
2
a = − 1 b
b +a
3


−3b + 2a

Suy ra:
Với

a = 7b

a = 7 ⇒ b =1

chọn


,

,

,

.

Bài 5: (Trích đề thi thử đại học khối A, A1 lần 2 tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2013 –
2014).
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ
AM

trung tuyến

điểm của đoạn
phía với

A

, điểm
AM

B

, điểm

Oxy

cho tam giác


D

,

là trung
và khác
tới

BC

A, B

*/ Phân tích:
Với giả thiết
BC

đi qua

d ( A; BC ) = d ( D; BC )

C ( 5;1)

trung điểm của

ta nghĩ đến viết phương trình của đường thẳng

nhưng tọa độ điểm

AM

Lời giải:
r
r
n ( a; b ) ≠ 0

Gọi

BC

của
Do

N

là véctơ pháp tuyến của đường thẳng

có dạng:

ax + by − 5a − b = 0

là trung điểm của

Mà theo giả thiết thì

AM

Với

a = 2b


BC

loại vì

phương trình của

B ( −3; −3) ⇒ M ( 1; −1) ⇒ A ( −1;3 )

A ( −1;3 )

d ( D; BC ) = 2d ( N ; BC )

 a = 2b
= 2.
⇔
a = − 1 b
a2 + b2
a 2 + b2

2

chọn

1
a=− b
2

khi đó phương trình

.


A, D

khác phía với

BC

.

Bài 6: (trích đề thi thử đại học khối B lần 2 Vĩnh Phúc năm học 2013 – 2014).
Trang 21


Oxy

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
đường thẳng

d : x − y − 4 = 0,

ABCD

, cho hình vuông

đường thẳng

có đỉnh

A



C

. Để viết được phương trình của

BC ⊥ DC

và

d ( A; BC ) = d ( A; DC )

BC

.

Lời giải:
Giả sử

A ( t; t − 4 ) ∈ d

, do tam giác

AMN

cân tại đỉnh

A

nên


có dạng:

BC

. Do đó ta có:

ax + by − 4a = 0
bx − ay + 2a = 0

Trang 22

do

BC ⊥ DC

nên

ta


ABCD

Do

là hình vuông nên khoảng cách

−5a − 5b

⇔


BC : x − 3 y − 4 = 0

hoặc

BC : x − 3 y − 4 = 0

BC

BC : 3x + y − 12 = 0

.

thỏa mãn điều kiện bài toán là:

BC : 3x + y − 12 = 0

III/ Bài tập tương tự.
Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ trục
giác
đỉnh

ABC

A, C

biết

B ( 2; −1)

Oxy

và đường thẳng

sao cho đường thẳng

AB

hợp với

∆

.

Bài 3: (Trích đề thi đại học khối B năm 2002).
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ
1 
I  ;0÷
2 

Oxy

cho hình chữ nhật

Biết phương trình đường thẳng chứa cạnh

AB = 2 AD

A

Oxy


là

. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật biết điểm

Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ
tại

AB

ABCD

và

có hoành độ âm.
ABC

d : x + 7 y − 31 = 0

và nằm ngoài

vuông cân
, điểm

AB

. Tìm tọa độ


Bài 5. (trích đề thi thử đại học khối A, A1 nhóm 2 lần 1 tỉnh Vĩnh Phúc năm học
2013 – 2014).


, cho đường thẳng
I

d1 : x + 2 y − 3 = 0

và

. Viết phương trình đường thẳng

sao cho

2IA = IB

d

.

Bài 7: (Trích đề thi thử đại học khối A, A1 nhóm 2 lần 1 Vĩnh phúc năm học
2013 – 2014).
Trong hệ trục tọa độ
thẳng chứa cạnh

Oxy

, cho hình chữ nhật

AB : x − 2 y − 1 = 0

là

tới

( C)

với

E, F

BC = 4 BM

Oxy

và điểm

P ( 1;3)

Oxy

M ( 2;1)

. Tìm tọa độ các đỉnh

, Cho tam giác

ABC

vuông cân

. Tìm tọa độ đỉnh


, có

. Viết phương trình các cạnh

, cho đường tròn

. Viết phương trình các tiếp tuyến

là các tiếp điểm. Tính diện tích tam giác

Trang 24

.

PEF

PE


Bài 11: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ
(C ) : x 2 + y 2 – 2 x – 2 y + 1 = 0

Oxy

, cho hai đường tròn

(C ') : x 2 + y 2 + 4 x – 5 = 0

và


phương trình
M ( −9; 2 )

AB : x − 3 y + 5 = 0

Oxy

A, B

.

lần lượt tại A,

, cho đường tròn

. Viết phương trình đường thẳng
sao cho diện tích tam giác

d

đi

ABI

).

Bài 13: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ

qua


AC

đi