Sở giáo dục và đào tạo nghệ an
Vơng Văn Phong_ Gv Toán Trờng THPTDTNT Tơng Dơng I
I. Lý do chọn đề tài:
Trong chơng trình toán của trung học phổ thông, thì dạng toán tìm
các giá trị của tham số để bất phơng trình bậc hai nghiệm đúng trên một
tập D nào đó là một trong những dạng toán rất phổ biến và tơng đối
quan trọng. Nhng việc giải nó thì học sinh lại gặp rất nhiều khó khăn, kể
cả khi có những lời giải sẵn nhng học sinh cũng không hiểu tại sao lại
phải đa ra các điều kiện nh thế.
Giả sử ta xét các bài toán sau đây:
Bài toán 1: Tìm các giá trị của tham số m để bất phơng trình
f(x) = (m
2
+1)x
2
+ (2m - 1)x 5 < 0
nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng (-1 ; 1).
Bài toán 2: Tìm các giá trị của tham số m để bất phơng trình
f(x) = -(m
2
+2)x
2
2mx +1 m > 0
nghiệm đúng với mọi x thuộc nửa khoảng (2 ; + ).
Bài toán 3: Tìm các giá trị của tham số m 0 để bất phơng trình
f(x) = 2mx
2
(1 5m)x +3m +1 > 0
nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng (-2 ; 0).
Trên đây là 3 bài toán có đề bài hoàn toàn hợp lý.
Khi giải bài toán 1 thì điều kiện đúng đa ra là:

2
2
a
a f
s
>











TH3:
0
0
. (0) 0
0
2
a
a f
s
>




mãn điều kiện bài toán thì (về mặt đồ thị) ta có các trờng hợp sau (có
thể) xảy ra giữa vị trí của đồ thị hàm số
f(x) = 2mx
2
(1 5m)x +3m +1
và trục Ox thỏa mãn bài toán nh sau:
Nhìn vào đồ thị trong các trờng hợp trên thì ta dễ dàng suy ra điều
kiện cho các trờng hợp của bài toán 3:
ứng với a) ta có điều kiện là TH1
ứng với b) và c) ta có điều kiện chung là TH2
ứng với d) và e) ta có điều kiện chung là TH3
ứng với f) ta có điều kiện là TH4
Vì lý do đó mà tôi chọn đề tài: Sử dụng đồ thị để giải một số bài
toán tìm các giá trị của tham số để bất phơng trình bậc hai nghiệm
đúng trên tập D nhằm giúp các em học sinh cũng nh các thầy cô giáo
có những nhận xét đúng đắn để đa ra lời giải đúng cho những bài toán
về dạng này.
II. Thực trạng cũ và giải pháp mới:
1.Thực trạng cũ:
Khi gặp các bài toán dạng này thì học sinh rất lúng túng và gặp
nhiều khó khăn trong vấn đề đa ra các trờng hợp đúng để từ đó đi tìm đ-
ợc các giá trị của tham số thỏa mãn điều kiện bài toán.
2
( )
-2 0
( )
-2 0
( )
-2 0
( )

+ bx + c với trục Ox thì có 3 khả năng sau:
*Chú ý: Trong các hình vẽ của các bài toán thì trục nằm ngang
là trục Ox và Parabol là đồ thị của hàm số bậc hai.
Để tìm các giá trị của tham số m sao cho tam thức bậc hai
f(x,m) > 0 (hay f(x,m) < 0) trên tập D nào đó, có nghĩa là ta phải tìm
các giá trị của tham số m để cho đồ thị hàm số f(x,m) nằm phía trên
(hay nằm phía dới) trục hoành (trục Ox) với mọi x thuộc tập D.
Dựa vào những nhận xét đó thì việc giải các bài toán nh đã nêu
trong phần I là tơng đối đơn giản.
Ta lần lợt xét một số bài toán sau đây:
Bài toán 4: Tìm các giá trị của tham số m để bất phơng trình
3
a) b) c)
a) c)b)
Sở giáo dục và đào tạo nghệ an
Vơng Văn Phong_ Gv Toán Trờng THPTDTNT Tơng Dơng I
f(x) = x
2
+ 2(2m+1)x + 4m
2
3 > 0
nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng (0 ; 1).
Chỉ dẫn:
Nếu khi gặp bài toán này mà chúng ta không cẩn thận thì việc giải
nó thờng rất dễ nhầm lẫn và dẫn đến thiếu nghiệm. Nhng nếu dựa vào
đồ thị, ta có nhận xét sau: Để tìm các giá trị của tham số m thỏa mãn
điều kiện bài toán, thì ta phải tìm các giá trị của tham số m sao cho đồ
thị của hàm số
f(x) = x
2





Với trờng hợp d) và e) thì tơng ứng điều kiện là:
0
0
(0) 0
0
2
a
af
s
>












Từ đó ta có lời giải bài toán này nh sau:
Giải:
4
a) b) c)


+ <

m < -1
TH2:
0
0
. (1) 0
1
2
a
a f
s
>












2
1 0
1
8 0









2
1 0
1
4 3 0
(2 1) 0
m
m
m
>








+


1
3 3

các trờng hợp sau có thể xảy ra:Với trờng hợp a) thì tơng ứng điều kiện là:
0
(1) 0
(2) 0
a
af
af
>


=


<

Với trờng hợp b) thì tơng ứng điều kiện là:
0
(1) 0
(2) 0
a
af
af
>







=

Kết hợp 3 điều kiện trên ta đợc điều kiện chung là:
0
(1) 0
(2) 0
a
af
af
>







Do đó ta có lời giải bài toán 5 nh sau:
Giải:
Tham số m thỏa mãn điều kiện bài toán thì m thỏa mãn điều kiện
sau:
0
. (1) 0
. (2) 0
a
a f
a f
>

[ ]
-1 0
[ ]
-1 0
[ ]
-1 0
[ ]
-1 0
[ ]
Sở giáo dục và đào tạo nghệ an
Vơng Văn Phong_ Gv Toán Trờng THPTDTNT Tơng Dơng I
Với trờng hợp b) và c) thì tơng ứng điều kiện là:
0
0
( 1) 0
1
2
a
af
s
<





>


<

a <


<

TH2:
0
0
( 1) 0
1
2
a
af
s
<





>


<


TH3:
0
0
(0) 0

7
[ ]
0 1
Sở giáo dục và đào tạo nghệ an
Vơng Văn Phong_ Gv Toán Trờng THPTDTNT Tơng Dơng I
Từ đó ta có lời giải của bài toán nh sau:
Giải:
Tham số m thỏa mãn điều kiện bài toán thì m thỏa mãn điều kiện:
0
(0) 0
(1) 0
a
af
af
<


<


<


Giải hệ trên ta đợc các giá trị của tham số m thỏa mãn điều kiện
bài toán.
Bài toán 8: Tìm các giá trị của tham số m 0 để bất phơng trình
f(x) = mx
2
+2(m+1)x + 4m > 0
thỏa mãn với mọi x thuộc nữa khoảng (-2; +).