MT S PHNG PHP GII TON NGUYấN HM - TCH PHN
A. Đặt vấn đề .
I. Lời mở đầu.
Để bồi dỡng năng lực t duy độc lập ,t duy tích cực và t duy
sáng tạo của học sinh, trớc tiên phải trang bị cho các em có nền kiến thức cơ bản
phổ thông vững chắc, có khả năng giải các dạng bài tập. Muốn vậy, ngời giáo
viên phải vận dụng các phơng pháp khác nhau, hớng các em vào một môi trờng
hoạt động tích cực, xem học tập là một quá trình tự khám phá liên tục. Học tập
phải thực sự là nhu cầu, mang đậm tính tự giác, chủ động và sáng tạo của học
sinh. Ngời thầy giáo phải giúp học sinh xem xét một bài toán dới nhiều góc độ
khác nhau, kích thích sự liên tởng, kết nối giữa dữ kiện và yêu cầu của bài toán,
giữa bài toán cha biết cách giải với bài toán quen thuộc đã biết cách giảI, biết
phân tích, tổng hợp, và so sánh, từng trờng hợp riêng lẻ để đem đến cái chung
nhất mang tính chân lý. Từ đó học sinh vận dụng các phơng pháp toán học để giải
quyết các bài toán đặt ra.
Với lý do đó tôi chọn đề tài MT S Phơng pháp giải toán
nguyên hàm tích phân
II. Thực trạng của vấn đề cần nghiên cứu.
1) Thực trạng:
Trong chơng trình Giải tích 12, kiến thức về nguyên hàm và tích phân
chiếm một phần rất quan trọng. Tuy nhiên các bài toán về nguyên hàm, tích
phân cha nhiều và chỉ dừng lại ở các bài toán đơn giản, cha có nhiều phơng
pháp. Học sinh chỉ mới giải các bài toán theo một hớng nhất định nào đó. Do
đó các bài toán về nguyên hàm, tích phân cha khai thác hết đợc và cha phát
huy đợc tính sáng tạo, khám phá của học sinh.
Tôi nhận thấy việc khai thác các phơng pháp giải các bài toán về nguyên
hàm, tích phân để học sinh có thể tìm tòi, phát huy tính sáng tạo, hình thành
nhiều cách giải khác nhau là một điều rất quan trọng.
2) Kết quả:
Khi tôi đợc phân cônggiảng dạy lớp 12, tôi nhận thấy kiến thức
về giải tích của học sinh lớp tôi giảng dậy đợc phân công còn hạn chế: các bài

2 Các phơng pháp xác định nguyên hàm tích phân
1.1. Xác định nguyên hàm bằng định nghĩa
Ví dụ 1: Chứng minh rằng hàm số:






<++

=
01
0
)(
2
xkhixx
xkhie
xF
x
là một nguyên hàm của hàm số:

0
( )
2 1 0
x
e khi x
f x
x khi x


2
MT S PHNG PHP GII TON NGUYấN HM - TCH PHN

2 0
0 0 0
0
0 0
( ) (0) 1
'(0 ) lim lim lim( 1) 1
0
( ) (0)
'(0 ) lim lim 1
0
x x x
x
x x
F x F x x e
F x
x x
F x F e e
F
x x

+ +


+

+
= = = + =

biến đổi biểu thức dới dấu tích phân thành tổng các nhân tử mà nguyên
hàm của mỗi nhân tử đó có thể nhận đợc từ bảng nguyên hàm hoặc chỉ
bằng các phép biến đổi đơn giản đã biết.
Phơng pháp chung:
B ớc 1: Biến đổi f(x) về dạng:
f(x) =

=
n
i
ii
xf
1
)(

với f
i
(x) có nguyên hàm trong bảng công thức và
i
là các hằng số.
B ớc 2: Khi đó:




==
==
n
i
iii

x x x
x x
x x x x x
e e d e
e e
I dx dx
e e e e e
+ +

= = = =
ữ
+ + + + +


= x - ln(1 + e
x
) + C.
1.3. Xác định nguyên hàm bằng phơng pháp đổi biến số.
- Phơng pháp đổi biến số đợc sử dụng khá phổ biến trong việc tính tích phân.
Phơng pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm có hai dạng dựa trên định lý sau:
Định lý 1:
b. Nếu f(x)dx = F(x) + C và u = (x) là hàm số có đạo hàm thì:
Giáo viên Phan Tuấn Anh Trờng THPT Phù Cừ
3
MT S PHNG PHP GII TON NGUYấN HM - TCH PHN
f(u)du = F(u) + C.
c. Nếu hàm số f(x) liên tục thì khi đặt x = (t) trong đó (t) cùng với đạo
hàm (t) là những hàm số liên tục, ta đợc:
f(x)dx = f[(t)].(t)dt.
- Phơng pháp đổi biến số để tính tích phân xác định cũng có hai dạng cơ

b
a
dtttfdxxf



.)(')()(
Tuy nhiên cái khó của phơng pháp này là cách chọn hàm x = (t) hay u = (x)
sao cho phù hợp với từng bài toán cụ thể.
Lu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ:
Dấu hiệu Cách chọn và đặt
2 2 2
a b x
( )
sin ,
2 2
cos , 0
a
x t t
b
a
x t t
b





=
ữ

cos
0,
2
,
2
,
sin



tt
t
a
x
tt
t
a
x
xa
xa
xa
xa
+


+
,
tax 2cos
=
Giáo viên Phan Tuấn Anh Trờng THPT Phù Cừ

x t t
b=
ữ

Ví dụ 1: Tính nguyên hàm :

+
=
1
2
xx
dx
I
.
Giải: Đổi biến Đặt
xdxtdtxtxt
=+=+=
11
222
Ta có:

( )
2
2
2 2 2
1 1 1
1 2 1 1

ữ
ữ
ữ
+
+ +

Ví dụ 2: Tính các tích phân:

+
=
8
3
2
1xx
dx
I
Giải:
Đặt:
2
2
1
1
3 2; 8 3
x xdx tdt
t x dt dx dx
t x
x
x t x t
= + = = =
+

1
1
1
1
2
1
11
11
22
222
( )
3
3
3
2
2
2
1 1 1 1 1 1 1 3
ln 1 ln 1 ln ln .
2 1 1 2 2 1 2 2
t
I dt t t
t t t


= = + = =
ữ ữ
+ +



-Hng th hai t t =
2 2 2
a b x
Ví dụ 3: Tính các tích phân:
1
2 2
0
4 3I x x dx=

Lời giải:
Đặt
2 2
2 2
sin , , cost ; 4 3 4 4sin 2cost
2 2
3 3
0 0; 1
3
x t t dx dt x t
x t x t



= = = == = = =
Khi đó:
( )
3 3 3

*
2 2 2
1
;n N
a b x

+

thỡ ta t
tan ; ;
2 2
a
x t t
b=
ữ

Ví d 4: Tính các tích phân:
( )
1
2
2
0
1 3
dx
I
x
=

I
x
=
+

=
3
2
0
1
1 tan
3
dx
t

+

=
3
2
0
1
cos
3
I tdt

=


0

a e b+
VÝ dụ 5: TÝnh c¸c tÝch ph©n:
ln12
ln4
3
x
I e dx= −
∫
L ờ i giải:
Đặt :
2
2
2 2
3 3 2
3
x x x
x
tdt tdt
t e e t e dx tdt dx
e t
= − ⇒ = + ⇒ = ⇒ = =
+

ln 4x =
thì t = 1 ;
ln12x =
thì t = 3
Vậy
ln12
ln4

+
∫

Đặt :
( )
2
3 tan ; ; 3 1 tan
2 2
t u u dt u du
π π
 
= ∈ − ⇒ = +
 ÷
 

( )
2 2
3 3 1 tant u+ = +
với
1
6
t u
π
= ⇒ =
;
3
3
t u
π
= ⇒ =

= = =
+
∫ ∫

vậy

3
4
3
I
π
= −
*Tr ường hợp IV
Nếu hàm số
( )
f x
dưới dấu tích phân là hàm số chẵn thì ta có:

( ) ( )
0
2 .
a a
a
I f x dx f x dx
−
= =
∫ ∫
(a>0)
Biến đổi I về dạng:
( ) ( ) ( )

a
J f t dt f t dt f x dx= − − = =
∫ ∫ ∫
(2)
Gi¸o viªn Phan TuÊn Anh Trêng THPT Phï Cõ
7
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN
Thay (2) vào (1) ta được
( ) ( )
0
2 .
a a
a
I f x dx f x dx
−
= =
∫ ∫
đpcm.
VÝ dụ 6: TÝnh c¸c tÝch ph©n:
1
2
1
1
dx
I
x
−
=
+
∫

x+
∫

Đặt :
( )
2
tan ; ; 1 tan
2 2
x t t dx t dt
π π
 
= ∈ − ⇒ = +
 ÷
 
Đổi cận
1 ; 0 0
4
x t x t
π
= ⇒ = = ⇒ =
Vậy
1
2
1
1
dx
I
x
−
=

∫ ∫
*Tr ường hợp V
Nếu hàm số
( )
f x
dưới dấu tích phân là hàm số lẻ thì ta có :

( )
0.
a
a
I f x dx
−
= =
∫
(a>0)
VÝ dụ 7: TÝnh c¸c tÝch ph©n:
3
2
2
3
sin 2
1
x x
I dx
x
−
=
+
∫

− = = −
+ − +

( )
f x= −

Vậy
( )
f x
lẻ trên [ - 3 ; 3 ] Do đó
3
2
2
3
sin 2
1
x x
I dx
x
−
=
+
∫
= 0
*Tr ường hợp VI :
Gi¸o viªn Phan TuÊn Anh Trêng THPT Phï Cõ
8
MT S PHNG PHP GII TON NGUYấN HM - TCH PHN
Nu hm s di du tớch phõn
( )


Đặt
t x T dx dt= =
Đổi cận:
; 0x a T t a x T t= + = = =
Khi đó :
( ) ( ) ( ) ( )
0
3
0 0
T a a
a T a
I f x dx f t T dt f t dt f x dx
+
= = + = =

(2)
Thay (2) vào (1), ta đợc :
( ) ( )
0
a T T
a
f x dx f x
+
=

(đpcm)
áp dụng:
Ví d 8: Tính các tích phân:
200


R

( )
2
2 2 cos 2 cos
2 2
x x
f x


+
+ = =
Giả sử
0 : 2T T

> <
mà
( ) ( )
f x T f x x+ =
R

2 cos 2 cos .
2 2
x T x
x R
+
=
Cho x = 0 đợc :
cos cos0 1.

= + = = + + +
ữ



2 2
0 0
100 2 100 2 cos cos 100 2 cos cos
2 2 2 2
x x x x
dx dx dx dx



= = + =
ữ ữ



2
0
100 2 2sin 2sin 200 2
2 2
x x




4 4 4
tan 2 sin12 tan 2 sin12 .I x x dx x x dx f x


+
+

= + = + =



Do
( )
f x
là hàm số lẻ trên
;
4 4 nên
( )
4
4
0f x dx




- Bớc 2: Đặt: u = f
1
(x), dv= f
2
(x)dx du,v.
- Bớc 3: I = uv - vdu.
Chúng ta cần chú ý, khi sử dụng phơng pháp tích phân từng phần để
tính nguyên hàm chúng ta cần tuân thủ các nguyên tắc sau:
- Lựa chọn phép đặt dv sao cho v đợc xác định một cách dễ dàng.
- Tích phân vdu đợc xác định một cách dễ dàng hơn so với I.
Ta dùng P(x) để chỉ cho một đa thức.
- Khi gặp các tích phân có dạng:
P(x)a
x
dx, P(x)sinxdx, P(x)cosxdx
nên dùng tích phân từng phần để tính với cách đặt: u = P(x).
- Khi gặp các tích phân có dạng:
P(x)log
a
xdx
nên dùng tích phân từng phần để tính với cách đặt: u = P(x).
- Khi gặp các tích phân có dạng:
e
ax
sinbxdx, e
ax
cosbxbx
nên dùng tích phân từng phần hai lần để tính với cách đặt: u = e
ax
.

(
)







+=
+
=
++
+
+
=






+
=
++=
1
1
.
1
1



***Sau õy chỳng ta đi vào từng dạng cụ thể:
*Tr ng hp I:
Giáo viên Phan Tuấn Anh Trờng THPT Phù Cừ
11
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN
Nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng
( ) ( )
.f x g x
trong đó
( )
g x
là một hàm đa thức còn
( )
f x
là một hàm số lượng giác thì
cách giải chung là đặt
( )
( )
( )
( )
/
u g x
du g x dx
dv f x dx
v f x dx


=

( )
2
2
1
sin 3 sin
os3 cos
3
dx
x
du
u
dv x x dx
v c x x


=

=
 
⇒
 
 
= −
= − +




2
0

( )
/
x
x
u g x
du g x dx
dv f e dx
v f e dx


=
=
 
⇒
 
=
=
 


∫
VÝ dô 11: TÝnh tÝch ph©n:
( )
1
2
0
1 .
x
I x x e dx= + +
∫

1
0 0
1
1 . 2 1 3 1 2 1 3 1
0
x x x
I x x e x e dx e x e dx e I= + + − + = − − + = − −
∫ ∫
Tính
( )
1
1
0
2 1 .
x
I x e dx= +
∫
Đặt:
1 1
1 1
2 1 2
x x
u x du dx
dv e dx v e
= + =
 
 
⇒
 
= =

( )
( )
( )
( )
/
ln
f x
du dx
u f x
f x
dv g x dx
v g x dx

=

=

 
⇒
 
=
 

=


∫
VÝ dô 11: TÝnh tÝch ph©n:
( )
( )

x
x


= +
=



+
⇒
 
=
 
= −
+


+


( )
( ) ( )
1
1
0
1
1 1
ln 1 ln 2
0

phần hay được sử dụng để tính tích phân ta đi làm một số ví dụ sau.
VÝ dô 11: TÝnh tÝch ph©n:
(
)
2 2 2
sinx
a
a
I x a x dx
−
= + −
∫
( a > 0 )
L ờ i giải:

2 2 2 2
1 2
sin x
a
a
I x dx x a x dx I I
−
= + − = +
∫ ∫
Gi¸o viªn Phan TuÊn Anh Trêng THPT Phï Cõ
13
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN
Tính :
2
1

⇒
2
1
sin x
a
a
I x dx
−
=
∫
= 0
Tính :
2 2 2
2
a
a
I x a x dx
−
= −
∫
Đặt:
( )
2 2 2
g x x a x= −
với
[ ]
;x a a∀ ∈ −
thì

( ) ( ) ( ) ( )

 
 
§æi cËn:
0 0;
2
x t x a t
π
= ⇒ = = ⇒ =( )
( )
( )
4 4
2 2
2
2 2 2
2
0 0 0
2 sint 1 sin cos sin 2 1 os4
2 4
a
a a
I a a t a tdt tdt c t dt
π π
⇒ = − = = −
∫ ∫ ∫

4 2
1

= +
+
∫
L ờ i giải:
Ta có
2
1 2
1 1
ln
ln
1 ln
e e
x
I dx xdx I I
x x
= + = +
+
∫ ∫

Ta tính I
1 =

1
ln
1 ln
e
x
dx
x x+
∫

1
1 3 2
2
2 2 2 2
3 3
1
t t
I tdt t
t
 
−
= = − = −
 ÷
 
∫
Gi¸o viªn Phan TuÊn Anh Trêng THPT Phï Cõ
14
MT S PHNG PHP GII TON NGUYấN HM - TCH PHN
Tớnh I
2
=
2
1
ln
e
xdx

t :
2
2

( )
2
1 2
3
I e= + +
1.5. Xác định nguyên hàm bằng phơng pháp dùng nguyên hàm phụ.
Phơng pháp xác định nguyên hàm của hàm số f(x) bằng kỹ thuật
dùng hàm phụ xuất phát từ ý tởng chủ đạo là tìm kiếm một hàm g(x) sao
cho nguyên hàm của các hàm số f(x) g(x) dễ xác định hơn, từ đó suy ra
nguyên hàm F(x) của hàm số f(x).Để xác định nguyên hàm của hàm số
f(x) theo phơng pháp này, ta tiến hành thực hiện theo các bớc sau:
- Bớc 1: Tìm kiếm hàm số g(x).
- Bớc 2: Xác định các nguyên hàm của các hàm số f(x) g(x), tức là



+=
+=+
')()()(
)()()(
CxBxGxF
CxAxGxF
- Bớc 3: Từ hệ trên ta nhận đợc: F(x) =
2
1
[A(x) + B(x)] + C.
Đối với phơng pháp này, điều khó là cách tìm hàm số g(x) nh thế nào
để sao cho việc giải bài toán là dễ dàng hơn.
Ví dụ : Tìm nguyên hàm của hàm số: f(x) =
xx/
sin cos
( ) ( ) 1 ( ) ( )
sin cos
x x
f x g x F x G x dx x c
x x

= = = = +


( )
( ) ( ) ln sin cos
1
( ) ln sin cos
2
( ) ( ) '
F x G x x x C
F x x x x C
F x G x x C

+ = +

= + +

= +


+
=
0
2
2
.
sin2
2sin

dx
x
x
I
Giải: Ta có nhận xét rằng:

( ) ( ) ( )
)cos,(sin
sin2
)cos(sin2
sin2
cossin2
sin2
2sin
)cos,(sin
222
xxR
x
xx
x

2
2 2 2
t
tdt
I dt d t
t
t t t


+
= = = +

+
+ + + ( )
0
1
2
2 ln 2 2ln 2 2.
2
t
t


= + + =

Giải: Biến đổi:

( )( )






+

+
=
++
=
++
3
1
1
1
2
1
31
1
34
1
222224
xxxxxx
Khi đó:


2
0
1
dx
I
x
=
+

.
Đặt x = tgt,
;
2 2
t
ữ( )
( )
2
2
2 2
1
1 &
1 1
tg t dt
dx

2
2
3x
dx
I
. Đặt x =
3
tgt,
22

<<

t
;
Suy ra:
( )
( )
dt
ttg
dtttg
x
dx
dtttgdx
3
1
)1(3
13
3
&13
2

===

tdtI
. Từ đó ta có I =
.
36
42
1










Nhận xét: Nh vậy, ta đã kết hợp nhiều phơng pháp lại với nhau để giải ví
dụ trên, cụ thể ở ví dụ trên ta đã sử dụng đồng thời hai phơng pháp là ph-
ơng pháp phân tích và phơng pháp đổi biến.
1.8. Tích phân của các hàm số vô tỉ.
Để xác định tích phân của các hàm số vô tỉ ta cần linh hoạt lựa chọn
một trong các phơng pháp sau:
- Sử dụng các dạng nguyên hàm cơ bản.
- Phơng pháp đổi biến
- Phơng pháp tích phân từng phần.
- Sử dụng các phép biến đổi.
- Kết hợp các phơng pháp khác nhau.
Ví dụ : Tính nguyên hàm:

xx
xdx
+
=
+
=
+++
11
11.1
22

Khi đó:
.11212
1
2
CxCt
t
dt
I
+++=++=
+
=


1.9. Tích phân của các hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Để tính tích phân :

=
b
a

18
MT S PHNG PHP GII TON NGUYấN HM - TCH PHN
Ví dụ : Tính tích phân:

=
1
0
dxaxxI
(a > 0).
Giải: Ta xét các trờng hợp sau:
Trờng hợp 1: Nếu a 1, khi đó ta có:

.
3
1
223
)(
1
0
23
1
0
=+

==

aaxx
dxaxxI
Trờng hợp 2:
Nếu 0 < a < 1, khi đó ta có:

0
tan
cos2
x
I dx
x

=

2.ĐH KA-04::
2
1
1 1
x
I dx
x
=
+

3.ĐH KB-04:
1
1 3ln .ln
e
x x
I dx
x
+
=

4.ĐH KD-08::


5.CĐGTVT07::
2
3
0
4 cos
1 sin
x
I dx
x

=
+

6.ĐH KA-05::
2
0
sin 2 sin
1 3cos
x x
I dx
x

+
=
+

7.ĐH KB-05::
2
0

dx
I
x x

=
+ + +

8
3
2
0
1
1
x
I dx
x
+
=
+

Giáo viên Phan Tuấn Anh Trờng THPT Phù Cừ
19
MT S PHNG PHP GII TON NGUYấN HM - TCH PHN
10
3
6
0
tan
os2
x

ti ny c ỏp dng tt hn trong ging dy
Tụi xin chõn thnh cm n !

PhựCc ngy 19 / 05 / 2009
Ngi vit

Giáo viên Phan Tuấn Anh Trờng THPT Phù Cừ
20
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN
PhanTtuấn Anh
Gi¸o viªn Phan TuÊn Anh Trêng THPT Phï Cõ
21