sở giáo dục và đào tạo hà nội
..........................
kỳ thi học sinh giỏi thành phố
(Vòng I)
Năm học 1998-1999
...................
Ngày thi: 9 - 12 - 1998
Môn thi: Toán lớp 12
Thời gian làm bài: 180 phút
______________________
Bài I ( 5 điểm ):
Cho họ đờng cong (C
m
): y=x
3
-3x
2
+mx+4-m ( m là tham số )
Đờng thẳng (d): y=3-x cắt một đờng cong bất kỳ (C) của họ (C
m
) tại ba điểm
phân biệt A,I,B (theo thứ tự), tiếp tuyến tại A và tiếp tuyến tại B của (C) lần lợt
cắt đờng cong tại điểm thứ hai là M và N. Tìm tham số m để tứ giác AMBN là
hình thoi.
Bài II ( 5 điểm ): Giải hệ phơng trình

e
x
y
x y
x y

1
1 12
2
+
+
+
+

>
cos cos cosa a a
Với a làm vế trái có nghĩa
Có thể thay số 2 ở vế phải bằng một số vô tỷ để có một bất đẳng thức đúng
và mạnh hơn không?
Bài IV (5 điểm ):
Cho hai đờng tròn thay đổi (C) và (C) luôn tiếp xúc với một đờng thẳng
lần lợt tại hai điểm A và Acố định. Tìm quĩ tích giao điểm M của (C) và (C)
biết rằng chúng luôn cắt nhau dới một góc cho trớc ( là góc tạo bởi hai tiếp
tuyến của hai đờng tròn tại M ).
___________________________________________
Họ và tên thí sinh: ........................................................
Phòng thi: ............. Số Báo danh: ................................
sở giáo dục và đào tạo hà nội
..........................
kỳ thi học sinh giỏi thành phố-lớp
12 (Vòng I)
Năm học 1999-2000
...................
Ngày thi: 11 - 12 - 1999
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút

=
++
++
(m
a
, m
b
, m
c
là 3 trung tuyến ứng với 3 cạnh a, b, c ; A, B, C là 3 góc của tam
giác)
Chứng minh tam giác ABC đều.
Bài III (5 điểm)
Tìm tham số a sao cho phơng trình:
)2ax)(3410a5x(
a42x)2a(2xx4
44a
log
2
22
1
+++









, a
2
, ... ,a
n
; b
1
, b
2
, ... , b
n
; c
1
, c
2
, ... , c
n
thoả mãn điều
kiện a
i
>0 và a
i
c
i
b
i
2
, i=1, 2, 3, ..., n.
Chứng minh rằng: (a
1
+a


=+
lẻ n nếu12n
chẵn n nếun
)n(f))n(f(f
12
Câu III (4 điểm):
Một hình lập phơng kích thớc 8x8x8 đợc chia thành lới các hình lập ph-
ơng đơn vị. Ta gọi một cột của lới là một hình hộp chữ nhật với các cạnh nằm
trên các đờng lới có kích thớc là: 1x8x8 hoặc 8x1x8 hoặc 8x8x1. Chứng minh
rằng ta có thể đánh dấu 64 hình lập phơng đơn vị sao cho trong 8 hình lập ph-
ơng đánh dấu tuỳ ý có 2 hình lập phơng cùng nằm trên một cột và trong bất kỳ
một cột nào đều có 8 hình lập phơng đợc đánh dấu.
Câu IV (4 điểm):
Cho P(x) là một đa thức bậc n với hệ số thực có n nghiệm thực phân biệt
trong khoảng (1; ).
Giả sử Q(x)=(x
2
+1).P(x).P(x)+x.{[P(x)]
2
+[P(x)]
2
}, xR
Chứng minh rằng đa thức Q(x) có ít nhất 2n-1 nghiệm thực phân biệt.
Câu V (4 điểm):
Cho tam giác ABC. Giả sử P là một điểm di động trên đoạn thẳng AB, Q
là một điểm di động trên đoạn thẳng AC. Gọi T là giao điểm của hai đoạn thẳng
BQ và CP. Hãy tìm vị trí của P và Q sao cho PQT có diện tích lớn nhất.
________________________________________________
sở giáo dục và đào tạo hà nội

1a2
3

+
đạt giá trị nhỏ nhất.Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài III (4 điểm)
Giải bất phơng trình:
1x2
6
1x
xlog2
3

<

+
Bài IV (4 điểm)
Tìm tất cả các giá trị của x, để với mọi giá trị của y luôn tồn tại giá trị
của z thoả mãn:
sin(x+y+z)=
2
1
y
+
cos(2x+
xcos2
2
3
y
)

22
+
+++
Tìm giá trị của tham số m để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số tiếp xúc với đ-
ờng tròn có tâm I(0; 1) và có bán kính lớn nhất.
Bài II (4 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn, chứng minh bất đẳng thức
tg
5
A+ tg
5
B+ tg
5
C 9 (tgA+tgB+tgC)
Bài III (4 điểm)
Tìm quỹ tích điểm M(x; y) có toạ độ thoả mãn hệ:





=
=++
ysinx.33y7cosycos
x314xx
35
Bài IV (4 điểm)
Tìm tham số a (a 0) để bất phơng trình a
3
x

A
2
A
3
, A
1
A
2
A
4
, A
1
A
3
A
4
, A
2
A
3
A
4
cùng
nằm trên một đờng tròn.