www.Thuvienhoclieu.Com

Chun đề:
PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG
MẶT PHẲNG
(Buổi 1)

1. Phép tịnh tiến:
r

a) ĐN
: Phép tịnh tiến theo véctơ u là một phép dời hình biến điểm M thành điểm M ′ sao
uuuuur r
cho MM ′ = u .
uuuuu
r r
r .Khi đó: Tr (M) = M ′ ⇔ MM ′ = u
Kí hiệ
u : T hay Tu
u

gPhé
p tònh tiế
n hoà
n toà
n được xá
c đònh khi biế
t vectơ tònh tiế
n củ
a nó.
r (M) = M ,∀M thì Tr làphé

n mộ
t đườ
ng thẳ
ng thà
nh mộ
t đườ
ng thẳ
ng song song hoặ
c trù
ng vớ
i
đườ
ng thẳ
ng đãcho .
+Biế
n mộ
t tia thà
nh tia .
+Bả
o toà
n tính thẳ
ng hà
ng vàthứtựcủ
a cá
c điể
m tương ứ
ng .
+Biế
n mộ
t đoạn thẳ


T

r

v
(Tâ
m biế
n thà
nh tâ
m : I I→
I ′ , R′ = R )

2. Phép đối xứng trục:
a) ĐN:
ĐN1

Điểm M ′ gọi là đối xứng với điểm M qua đường thẳng a nếu a là đường trung trực của đoạn
MM ′
Phé
p đố
i xứ
ng qua đườ
ng thẳ
ng cò
n gọi làphé
p đố
i xứ
ng trục . Đườ
ng thẳ

u củ
a M trê
n đườ
ng thẳ
ng a .
Khi đó :

www.Thuvienhoclieu.Com

1


www.Thuvienhoclieu.Com
gNế
u M ∈ a thì Đa(M) = M : xem M làđố
i xứ
ng vớ
i chính nóqua a .
( M cò
n gọi làđiể
m bấ
t độ
ng )

gM ∉ a thì Đa(M) = M ′ ⇔ a làđườ
ng trung trực củ
a MM′
gĐa(M) = M ′ thì Đa(M ′) = M

gĐa(H) = H′ thì Đa(H′) = H , H′ làả

ª d ≡ Ox : 
 y′ =− y

 x′=− x
ª d ≡ Oy : 
 y′ =y

c) ĐL: Phép đối xứng trục là một phép dời hình.

gHệquả:
1.Phé
p đố
i xứ
ng trục biế
n ba điể
m thẳ
ng hà
ng thà
nh ba điể
m thẳ
ng hà
ng vàbả
o toà
n thứtự
củ
a cá
c điể
m tương ứ
ng .
2. Đườ

m biế
n thà
nh tâ
m : I I
→ I ′ , R′ =R )
7. Gó
c thà
nh gó
c bằ
ng nó.

3. Phép đối xứng tâm:
a) ĐN : Phé
p đố
i xứ
ng tâ
m I làmộ
t phé
p dờ
i hình biế
n mỗ
i điể
m M thà
nh điể
m M ′ đố
i xứ
ng
vớ
i M qua I.
Phé

u M ≡ I thì M ′ ≡ I
gNế
u M ≠ I thì M ′ = ĐI (M) ⇔ I làtrung trực củ
a MM ′.
gĐN :Điể
m I làtâ
m đố
i xứ
ng củ
a hình H ⇔ ĐI (H) = H.
Chúý: Mộ
t hình cóthểkhô
ng cótâ
m đố
i xứ
ng .

www.Thuvienhoclieu.Com

2


www.Thuvienhoclieu.Com
b) Biể
u thứ
c tọa độ: Cho I(xo;yo) vàphé
p đố
i xứ
ng tâ
mI :

c điể
m tương ứ
ng .
4. Biế
n mộ
t đoạn thẳ
ng thà
nh đoạn thẳ
ng bằ
ng nó
.
5. Biế
n mộ
t đườ
ng thẳ
ng thà
nh mộ
t đườ
ng thẳ
ng song song hoặ
c trù
ng.
6. Biế
n mộ
t gó
c thà
nh gó
c cósốđo bằ
ng nó.
7. Biế

′=x +a

x
r
M(x;y) I→ M ′=Tu(M) = (x′;y′ ) thì 
; vớ
i u( a;b)
 y′=y +b

 PHƯƠNG PHÁP TÌM ẢNH CỦA MỘT HÌNH (H) .
Cách 1: Dùng tính chất (cùng phương của đường thẳng, bán kính đường tròn: khơng đổi)
1/ Lấy M ∈ (H) I
→ M ′ ∈ (H′)
2/

g(H) ≡ đườ
ng thẳ
ng 
→ (H′) ≡ đườ
ng thẳ
ng cù
ng phương
mI
m I′
+ Tâ
+ Tâ
g(H) ≡ (C) 
I
→ (H′) ≡ (C′) 
(cầ

www.Thuvienhoclieu.Com
r
B1 Trong mpOxy . Tìm ả
nh củ
a M ′ củ
a điể
m M(3; − 2) qua phé
p tònh tiế
n theo vectơ u =(2;1) .
Giả
i
uuuuu
r r
x′ − 3 = 2 x′ = 5
r (M) ⇔ MM ′ = u
Theo đònh nghóa ta có: M ′ =Tu
⇔ (x′ − 3;y′ + 2) = (2;1) ⇔ 
⇔
y′ + 2 = 1 y′ = −1
⇒ M ′(5; −1)
r
B2 Tìm ả
nh cá
c điể
m chỉra qua phé
p tònh tiế
n theo vectơ u :
r
a) A( − 1;1) , u =(3;1)
⇒ A ′(2;3)

c : ∆′ = Tu
gqua A ′(0; − 2)
x = −t
uuuuu
r
Do đó: ∆′ 
⇒ ptts ∆′ : 
y = −2 + 3t
gVTCP : A ′B′=( − 1;3)

B4 Tìm ả
nh củ
a cá
c đườ
ng thẳ
ng sau qua phé
p tònh tiế
n:
r
a) ∆ : x − 2y − 4 =0 , u =(0 ; 3)
r
b) ∆ : 3x + y − 3 =0 , u =( − 1 ; − 2)

⇒ ∆′ : x − 2y + 2 = 0
⇒ ∆′ : 3x + y + 2 = 0

B5 Tìm ả
nh củ
a đườ
ng trò

• PP : Tìm ả
nh M ′ =Đa(M), thực hiệ
n cá
c bướ
c:
1. (d) ∋ M , d ⊥ a
2. H =d ∩ a
3. H làtrung điể
m củ
a MM ′ → M ′ ?
 PHƯƠNG PHÁP TÌM ẢNH CỦA MỘT ĐƯỜNG THẲNG

www.Thuvienhoclieu.Com

4


www.Thuvienhoclieu.Com
ª PP : Tìm ả
nh củ
a đườ
ng thẳ
ng : ∆′=Đa(∆)
wTH1:(∆)// (a)
1. Lấ
y A,B ∈ (∆) : A ≠ B
2. Tìm ả
nh A ′=Đa(A)
3. ∆′ ∋ A ′,∆′// (a) → ∆′


i vớ
i (∆ ) :
∀M ∈ (∆ ), thì MA +MB ≥ AB
Ta có
: (MA+MB)min =AB ⇔ M =(AB) ∩ (∆)

b) Vận dụng:

www.Thuvienhoclieu.Com

5


www.Thuvienhoclieu.Com
B1 Trong mpOxy . Tìm ả
nh củ
a M(2;1) đố
i xứ
ng qua Ox , rồ
i đố
i xứ
ng qua Oy .
Đ

Đ

Oy
Ox → M ′(2; − 1) I
HD : M(2;1) I
→ M ′′(−2; −1)

ng thẳ
ng (a) : x +y =0 . Tìm ả
nh củ
a M qua Đa
Kq:
⇒ M ′=Đa(M) = (−1;4)
B5 Cho 2 đườ
ng thẳ
ng (∆) : 4x − y +9 =0 , (a) : x − y +3 =0 . Tìm ả
nh ∆′=Đa(∆ ) .
HD :
4 −1
gVì ≠
⇒ ∆ cắ
t a → K = ∆ ∩ a → K(−2;1)
1 −1
gM( − 1;5) ∈ ∆ → d ∋ M, ⊥ a → d: x + y − 4 = 0 → H(1/ 2;7/ 2):
trung điể
m củ
a MM ′ → M ′ = Đa(M) = (2;2)
g∆′ ≡ KM ′: x − 4y +6 =0

B6 Tìm b =Đa(Ox) vớ
i đườ
ng thẳ
ng (a) : x +3y +3 =0.
HD : ga∩ Ox =K( − 3;0) .
3 9
gM ≡ O(0;0) ∈ Ox : M ′=Đa(M) =( − ; − ) .
5 5

ng cô
ng thứ
c tính khoả
ng cá
ch d(∆;∆′) → ∆′.
Cá
ch 3: Lấ
y bấ
t kỳA,B ∈ ∆ , rồ
i tìm ả
nh A ′,B′ ∈ ∆′ ⇒ ∆′ ≡ A ′B′
 PHƯƠNG PHÁP TÌM ẢNH CỦA MỘT ĐƯỜNG TRỊN
Cách 1: Sử dụng biểu thức tọa độ.

www.Thuvienhoclieu.Com

6


www.Thuvienhoclieu.Com
Cách 2: Tìm ảnh của tâm I qua phép đối xứng tâm và dùng tính chất “Phép đối xứng tâm
biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính”

b) Vận dụng:
B1 Tìm ả
nh củ
a cá
c điể
m sau qua phé
p đố


{

{

B2 Tìm ả
nh củ
a cá
c đườ
ng thẳ
ng sau qua phé
p đố
i xứ
ng tâ
m I:
1) (∆): x + 2y + 5 = 0,I(2; −1)
⇒ (∆′) : x + 2y − 5 = 0
2) (∆): x − 2y − 3 = 0,I(1;0)
⇒ (∆′): x − 2y + 1= 0
3) (∆):3x + 2y − 1= 0,I(2; −3)
⇒ (∆′):3x + 2y + 1= 0

Giả
i
ĐI
x′ = 4 − x
 x = 4 − x′
1) Cá
ch 1: Ta có: M(x;y) I
→ M′ 

www.Thuvienhoclieu.Com
B3 Tìm ả
nh củ
a cá
c đườ
ng trò
n và
(P) sau qua phé
p đố
i xứ
ng tâ
m I:
1) (C): x2 + (y − 2)2 = 1,E(2;1)
2) (C): x2 + y2 + 4x + 2y = 0,F(1;0)
3) (P) : y =2x2 − x + 3 , tâ
m O(0;0) .
HD :1) Có2 cá
ch giả
i:
Cá
ch 1: Dù
ng biể
u thứ
c toạđộ.
ĐE
Cá
ch 2: Tìm tâ
m I I
→ I ',R′ = R = (đãcho) .
2) Tương tự.

y' = y +b
r
Áp dụng cơng thức trên ta có: Ảnh của A qua phép tịnh tiến theo vectơ v = ( 1;2 ) là
A ' ( 3;7 )

Câu 2: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A ( 2;5) . Hỏi A là ảnh của điểm nào trong các điểm sau
r
qua phép tịnh tiến theo vectơ v = ( 1;2 ) ?
A. ( 3;1) .

B. ( 1;6 ) .

C. ( 4;7 ) .
Lời giải

Chọn D.
r
A là ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ v = ( 1;2 )
Áp dụng cơng thức biểu thức tọa dộ của phép tịnh tiến ta có:
 x A = xM + a
x = 2 −1 = 1
⇔ M
⇒ M ( 1;3)

 y A = yM + b
 yM = 5 − 2 = 3
r
Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , phép tịnh tiến theo vectơ v = ( −3;2 )

D. ( 1;3) .

Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , phéptịnh tiến theo vectơ
thành điểm nào trong các điểm sau ?
A. ( 2;5) .
B. ( 1;3) .

r
v = ( 1;3) biến điểm A ( 1;2 )

C. ( 3; 4 ) .
Lời giải

D. ( −3; −4 ) .

Chọn A.
r
Áp dụng công thức trên ta có: Ảnh của A ( 1; 2 ) qua phép tịnh tiến theo vectơ v = ( 1;3) là
A ' ( 2;5)

Câu 5: Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến một đường thẳng cho trước thành chính nó?
A. Không có.
B. Chỉ có một.
C. Chỉ có hai.
D. Vô số .
Lời giải
Chọn D.
Câu 6: Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến một đường tròn cho trước thành chính nó?
A. Không có.
B. Một.
C. Hai.
D. Vô số .

www.Thuvienhoclieu.Com
Câu 9: Cho hai đường thẳng song song d và d ' . Tất cả những phép tịnh tiến biến d thành d '
là:
r
r r
A. Các phép tịnh tiến theo v , với mọi vectơ v ≠ 0 không song song với vectơ chỉ phương
của d .
r
r r
B. Các phép tịnh tiến theo v , với mọi vectơ v ≠ 0 vuông góc với vectơ chỉ phương của d
.
uuur
C. Các phép tịnh tiến theo AA ' , trong đó hai điểm A và A ' tùy ý lần lượt nằm trên d
và d ' .
r
r r
D. Các phép tịnh tiến theo v , với mọi vectơ v ≠ 0 tùy ý.
Lời giải
Chọn C.
Câu 10:

Cho P, Q
uuuuur
uuur
MM 2 = 2 PQ .

cố định. Phép tịnh tiến T biến điểm M bất kỳ thành M 2

sao cho


uuuuur uuuuur
u + v = MM 2 ⇔ MM 1 + M 1M 2 = MM 2 ⇔ MM 2 = MM 2 ( đúng)
r
Câu 12:
Cho phép tịnh tiến vectơ v biến A thành A ' và M thành M ' . Khi đó:
uuuu
r
uuuuuu
r
uuuu
r
uuuuuu
r
uuuu
r uuuuuu
r
A. AM = − A ' M ' .
B. AM = 2 A ' M ' .
C. AM = A ' M ' .
D.
uuuu
r
uuuuuu
r
3 AM = 2 A ' M ' .
Lời giải
Chọn C.

www.Thuvienhoclieu.Com


.
 y '− a = y − b

D.

Lời giải
Chọn A.

Vận dụng
Câu 14:

Trong mặt phẳng Oxy , cho phép biến hình f xác định như sau: Với mỗi M ( x; y ) ta

có M ' = f ( M ) sao cho M ' ( x '; y ' ) thỏa mãn x ' = x + 2, y ' = y − 3 .
r
A. f là phép tịnh tiến theo vectơ v = ( 2;3) .
B. f là phép tịnh tiến theo vectơ
r
v = ( −2;3) .
r
C. f là phép tịnh tiến theo vectơ v = ( −2; −3) . D. f là phép tịnh tiến theo vectơ
r
v = ( 2; −3) .
Lời giải
Chọn D.
Áp dụng câu 13.
Trong mặt phẳng Oxy , ảnh của đường tròn: ( x − 2 ) + ( y − 1) = 16 qua phép tịnh
r
tiến theo vectơ v = ( 1;3) là đường tròn có phương trình:
2

Chọn C.
Theo định nghĩa ta có biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến là :
 x′ = x + a = x + 1
 x = x′ − 1
⇔

 y′ = y + b = y + 3
 y = y′ − 3
Thay

vào

phương

trình

đường

tròn

ta

có

:

( x − 2)

2



sau:
A. ABCD là hình thang.
C. ABDC là hình bình hành.

B. ABCD là hình bình hành.
D. Bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng.

Lời giải
Chọn D.uuu
r
r
Ta có : AB = ( −2; −10 ) = −2 ( 1;5) = 2v ( 1)

r
Do đó C, D lần lượt là ảnh của A và B qua phéptịnh tiến theo vectơ v = ( 1;5) thì
uuur uuur r
AC = BD = v ( 2 )
Từ ( 1) ; ( 2 ) suy ra AB / / AC / / BD do đó A,B,C,D thẳng hàng.

Trong mặt phẳng Oxy , ảnh của đường tròn : ( x + 1) + ( y − 3) = 4 qua phép tịnh tiến
r
theo vectơ v = ( 3;2 ) là đường tròn có phương trình:
2

Câu 17:

2

A. ( x + 2 ) + ( y + 5) = 4

 y′ = y + b = y + 2
 y = y′ − 2
Thay

vào

phương

trình

đường

tròn

ta

có

:

( x + 1)

2

+ ( y − 3) = 4
2

⇔ ( x′ − 3 + 1) + ( y ′ − 2 − 3) = 4 ⇔ ( x′ − 2 ) + ( y ′ − 5) = 4
2


và B qua phép tịnh tiến v = (2; 4). Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. ABCD là hình bình hành
B. ABDC là hình bình hành
C. ABDC là hình thang
D. Bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng

www.Thuvienhoclieu.Com

12


www.Thuvienhoclieu.Com
Lời giải
Chọn D.
uuur
1r
Ta có : AB = ( 1;2 ) = v ( 1)
2
r
Do đó C, D lần lượt là ảnh của A và B qua phéptịnh tiến theo vectơ v = ( 1;5) thì
uuur uuur r
AC = BD = v ( 2 )
Từ ( 1) ; ( 2 ) suy ra AB / / AC / / BD do đó A,B,C,D thẳng hàng.

Câu 20:
Cho hai đường thẳng d và d ′ song song nhau. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến d
thành d ′ ?
A. 1.
B. 2.
C. 3.

uuuuu
r uuuu
r r
C sai vì nếu MN ; v là hai véctơ cùng phương thì khi đó MM ′ = NN ′ = v nên
uuuu
r uuuuu
r uuuu
r
MN ; MM ′; NN ′ là các véctơ cùng phương do đó thẳng hàng vì vậy tứ giác MNN ′M ′
không thể là hình bình hành.
D sai vì phép tịnh tiến biến một đường tròn thành đường tròn.
Câu 22:
Cho hình bình hành ABCD , M là một điểm thay đổi trên cạnh AB . Phép tịnh tiến
uuur
theo vt BC biến điểm M thành điểm M ′ thì khẳng định nào sau đây là khẳng định
đúng ?
A. Điểm M ′ trùng với điểm M .
B. Điểm M ′ nằm trên cạnh BC .
C. Điểm M ′ là trung điểm cạnh CD.
D. Điểm M ′ nằm trên cạnh DC .
Lời giải
Chọn D.
Vì phép tịnh tiến bảo toàn tính chất thẳng hàng.
uur : A a D; B a C nên Tuuur : AB a CD .
Khi đó : TuBC
BC
uur ( M ) = M ′ và M ∈ AB ⇒ M ′ ∈ DC .
Vì TuBC
r r
r r

Câu 24:

r
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , phép tịnh tiến theo vt v = ( 1;2 ) biến điểm

M ( −1; 4 ) thành điểm M ′ có tọa độ là ?

A. M ′ ( 0;6 ) .

B. M ′ ( 6;0 ) .
Lời giải

C. M ′ ( 0;0 ) .

D. M ′ ( 6;6 ) .

Chọn A.
Theo định nghĩa ta có biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến là :
 x ′ = x + a = −1 + 1 = 0
⇔ M ′ ( 0;6 ) .

 y′ = y + b = 4 + 2= 6
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy .Cho điểm M ( −10;1) và M ′ ( 3;8) . Phép
r
r
tịnh tiến theo vt v biến điểm M thành điểm M ′ , khi đó tọa độ của vt v là ?
r
r
r
r

C. ( 3; −2 ) .

D. ( −2;3) .

Lời giải
Gọi M ′ ( x ′; y ′) là ảnh của điểm M ( x; y ) qua phép đối xứng trục Ox ta có:
 x′ = x
 x′ = 2
⇒
.

 y ′ = − y  y ′ = −3
Vậy M ′ ( 2; −3) .
Chọn B.
Câu 3:Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M ( 2;3) . Hỏi M là ảnh của điểm nào trong các điểm sau
qua phép đối xứng trục Oy ?
A. ( 3; 2 ) .

B. ( 2; −3) .

C. ( 3; −2 ) .

D. ( −2;3) .

Lời giải
Gọi M ′ ( x ′; y ′) là ảnh của điểm M ( x; y ) qua phép đối xứng trục Oy ta có:

www.Thuvienhoclieu.Com

14

Khi đó I là trung điểm của MM ′ nên suy ra M ′ ( 3; 2 ) .
Chọn A.
Câu 5:Hình gồm hai đường tròn có tâm và bán kính khác nhau có bao nhiêu trục đối xứng?
A. Không có.
B. Một.
C. Hai.
D. Vô số.
Lời giải

Chọn B.
Câu 6:Hình gồm hai đường thẳng d và d ′ vuông góc với nhau đó có mấy trục đối xứng?
A. 0 .
B. 2 .
C. 4 .
D. Vô số.
Lời giải

Ta có 2 trục đối xứng là 2 đường thẳng đó và 2 đường phân giác tạo bởi 2 đường
thẳng đó.
Chọn C.
Câu 7:Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

www.Thuvienhoclieu.Com

15


www.Thuvienhoclieu.Com
A. Đường tròn là hình có vô số trục đối xứng.
B. Một hình có vô số trục đối xứng thì hình đó phải là hình tròn.

trùng d .
Chọn B.
Câu 10:Trong mặt phẳng Oxy , cho Parapol ( P )

có phương trình x 2 = 24 y . Hỏi Parabol nào

trong các parabol sau là ảnh của ( P ) qua phép đối xứng trục Oy ?
A. x 2 = 24 y .

B. x 2 = −24 y .
C. y 2 = 24 x .
D. y 2 = −24 x
Lời giải
Gọi M ′ ( x ′; y ′) là ảnh của điểm M ( x; y ) qua phép đối xứng trục Oy ta có:

.

 x′ = − x
 x = − x′
⇒
.

 y′ = y
 y = y′
( P′) : x′2 = 24 y′
2
Vậy ( P′) : x = 24 y .

Chọn A.


Gọi
 x′ = − x
 x = − x′
⇒
.

 y′ = y
 y = y′
( P′) : y′2 = − x′
2
Vậy ( P′) : y = − x .

Chọn B.
Câu 12: Trong mặt phẳng Oxy cho parabol ( P ) có phương trình x 2 = 4 y . Hỏi parabol nào trong
các parabol sau là ảnh của ( P ) qua phép đối xứng trục Ox ?
A. x 2 = 4 y .

B. x 2 = −4 y .
C. y 2 = 4 x .
D. y 2 = −4 x .
Lời giải
Gọi M ′ ( x ′; y ′) là ảnh của điểm M ( x; y ) qua phép đối xứng trục Oy ta có:
 x′ = x
 x = x′
⇒
.

 y′ = − y  y = − y′

( P′) : x′2 = −4 y ′


 y′ = y
 y′ = 5
Vậy A′ ( −3;5) .
Chọn B.
Câu 14: Cho 3 đường tròn có bán kính bằng nhau và đôi một tiếp xúc ngoài với nhau tạo thành
hình ( H ) . Hỏi ( H ) có mấy trục đối xứng?
A. 0 .

B. 1 .

C. 2 .

D. 3 .

Lời giải

www.Thuvienhoclieu.Com

17


www.Thuvienhoclieu.Com
Gọi I , J , K lần lượt là tâm của 3 đường tròn có bán kính bằng nhau và đôi một tiếp xúc
ngoài với nhau tạo thành hình ( H ) .
Trục đối xứng của hình ( H ) là các đường cao của tam giác đều IJK .
Chọn D.
Câu 15: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
B. Phép đối xứng trục biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoăc

B. Sai, phép đối xứng trục AC biến điểm A thành chính nó.
C. Đúng.
D. Hình vuông có 4 trục đối xứng.
Câu 18: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho phép đối xứng trục Ox . Với bất kì, gọi M ′
là ảnh của M qua phép đối xứng trục Ox . Khi đó tọa độ điểm M ′ là:
A. M ' ( x; y ) .
B. M ′ ( − x, y )
C. M ′ ( − x, − y )
D. M ′ ( x, − y )
Lời giải:
Ox
Hai điểm đối xứng nhau qua trục
có hoành độ bằng nhau và tung độ đối nhau.
Câu 19: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy . Cho phép đối xứng trục Oy , với M ( x, y ) gọi

M ′ là ảnh của M qua phép đối xứng trục Oy . Khi đó tọa độ điểm M ′ là:

www.Thuvienhoclieu.Com

18


www.Thuvienhoclieu.Com
A. M ′ ( x, y )

B. M ′ ( − x, y )
C. M ′ ( − x, − y )
D. M ′ ( x, − y )
Lời giải:
Hai điểm đối xứng nhau qua trục Oy có tung độ bằng nhau và hoành độ đối nhau.

y
M
x
;
y
( ) là ảnh của ( ) qua phép đối xứng trục Ox . Khi đó:
Gọi
 x′ = x
 x = x′
⇔

 y′ = − y
 y = − y′
M ∈ d ⇔ x + y − 2 = 0 ⇔ x ′ + ( − y ′) − 2 = 0 ⇔ x ′ − y ′ − 2 = 0

Vậy M ′ thuộc đường thẳng d ′ có phương trình x − y − 2 = 0
Câu 24: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy . Phép đối xứng trục Ox biến đường tròn

( C ) : ( x − 1)

2

+ ( y + 2 ) = 4 thành đường tròn ( C ′) có phương trình là:
2

A. ( x + 1) + ( y + 2 ) = 4

B. ( x − 1) + ( y + 2 ) = 4

C. ( x − 1) + ( y − 2 ) = 4


M ∈ ( C ) ⇔ ( x − 1) + ( y + 2 ) = 4 ⇔ ( x′ − 1) + ( − y ′ + 2 ) = 4
2

2

2

2

Vậy M ′ thuộc đường tròn ( C ′) có phương trình ( x − 1) + ( y − 2 ) = 4
2

2

Câu 25: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho phép đối xứng trục d : y − x = 0 . Phép đối
xứng trục d biến đường tròn ( C ) : ( x + 1) + ( y − 4 ) = 1 thành đường tròn ( C ′) có phương trình là:
2

A. ( x + 1) + ( y − 4 ) = 1

B. ( x − 4 ) + ( y + 1) = 1

C. ( x + 4 ) + ( y − 1) = 1

D. ( x + 4 ) + ( y + 1) = 1

2

2

 H ∈ d
x = y
3
r uu
r
⇔
⇔x= y=
 uuu
2
 IH .ud = 0  x + 1 + y − 4 = 0
Do đó I ′ ( 4; −1) .
Phép đối xứng trục biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính nên ảnh của
2
2
(C ) là : ( C ′) : ( x + 4 ) + ( y + 1) = 1

3. Phép đối xứng tâm
Nhận biết
Câu 1: Cho hai điểm I ( 1;2 ) và M ( 3; −1) . Hỏi điểm M ′ có tọa độ nào sau đây là ảnh của M qua
phép đối xứng tâm I ?
A. ( 2;1)
B. ( −1;5)
C. ( −1;3)
D. ( 5; −4 )
Lời giải:
I là trung điểm của MM ′ nên ta chọn câu B.
Câu 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình x = 2 . Trong các đường thẳng
sau đường thẳng nào là ảnh của d qua phép đối xứng tâm O ?
A. x = −2
B. y = 2

www.Thuvienhoclieu.Com

20


www.Thuvienhoclieu.Com
Đáp án B.
Hình gồm hai đường tròn phân biệt có cùng bán kính
có một tâm đối xứng, tâm đối xứng đó chính là trung
điểm của đoạn nối tâm.
Thật vậy, giả sử hai đường tròn là:

( C1 ) : ( x − x1 ) + ( y − y1 ) = R 2 ;
2
2
( C 2 ) : ( x − x2 ) + ( y − y 2 ) = R 2
2

2

Trung điểm đoạn nối tâm có tọa độ

 x + x y + y2 
C 1 2 ; 1
÷
2 
 2
Lấy một điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C1 ) ⇒ ( x0 − x1 ) + ( y0 − y1 ) = R 2
2



 x = 2 x′ − a
D. 
.
 y = 2 y′ − b

Đáp án B.
Phép đối xứng tâm I biến điểm M ( x; y ) thành M ′ ( x ′; y ′) thì I là trung điểm của

MM ′
 x + x′
 2 = a
 x ′ = 2a − x
⇒
⇒
.
 y + y ′ = b  y ′ = 2b − y
 2
Câu 7: Trong mặt phẳng Oxy , cho phép đối xứng tâm I ( 1;2 ) biến điểm M ( x; y ) thành M ′ ( x ′; y ′)
. Khi đó:
 x′ = − x + 2
A. 
.
 y′ = − y − 2

 x′ = − x + 2
B. 
.
C.
 y′ = − y + 4

 2
Câu 8: Một hình ( H ) có tâm đối xứng nếu và chỉ nếu:
A. Tồn tại phép đối xứng tâm biến hình ( H ) thành chính nó.
B. Tồn tại phép đối xứng trục biến hình ( H ) thành chính nó.
C. Hình ( H ) là hình bình hành.
D. Tồn tại phép dời hình biến hình ( H ) thành chính nó.
Lời giải
Đáp án A.
Câu 9: Hình nào sau đây không có tâm đối xứng?
A. Hình vuông.
B. Hình tròn.
Lời giải.
Chọn C.
Hình tam giác đều không có tâm đối xứng.

C. Hình tam giác đều. D. Hình thoi.

Câu 10: Trong mặt phẳng ( Oxy ) , tìm ảnh của điểm A ( 5;3) qua phép đối xứng tâm I ( 4;1) .
A. ( 5;3) .

B. ( −5; −3) .

9 
D.  ;2 ÷ .
2 

C. ( 3; −1) .

Lời giải.
Chọn C.


+ ( y + 1) = 9 qua phép đối xứng tâm O ( 0;0) .
2

A. ( x − 3) + ( y + 1) = 9 .
2

2

B. ( x + 3) + ( y + 1) = 9 .

www.Thuvienhoclieu.Com

2

2

22


www.Thuvienhoclieu.Com
C. ( x − 3) + ( y − 1) = 9 .
2

D. ( x + 3) + ( y − 1) = 9 .

2

2


A. 
.
 y ' = 2 y0 − y
 x = 2 x0 + x '
C. 
.
 y = 2 y0 + y '
Lời giải.
Chọn A.
Vì I là trung điểm của MM ′ .

 x ' = 2 x0 + x
B. 
.
 y ' = 2 y0 + y
 x = x0 − x '
D. 
.
 y = y0 − y '

Vận dụng

Câu 15: Trong mặt phẳng ( Oxy ) , tìm phương trình đường tròn

( C) :

( C ′)

là ảnh của đường tròn



23


www.Thuvienhoclieu.Com
Câu 16: Trong mặt phẳng ( Oxy ) , cho đường tròn ( C ) :

( x − 1)

2

+ ( y − 3) = 16 . Giả sử qua phép
2

đối xứng tâm I điểm A ( 1;3) biến thành điểm B ( a; b ) . Tìm phương trình của đường tròn ( C ′) là
ảnh của đường tròn ( C ) qua phép đối xứng tâm I .
A. ( x − a ) + ( y − b ) = 1
2

2

B.

( x − a ) + ( y − b) = 4 .
2
2
C. ( x − a ) + ( y − b ) = 9 .
2

2


A. M ′ ( −4;2 ) .
M ′ ( 2;3) .

B. M ′ ( −2; −3) .

C. M ′ ( 2; −3) .

D.

Lời giải.
Chọn C.
 xM ′ = 2.0 − ( −2 ) = 2
⇒ M ′ ( 2; −3) .
Ta có: 
 y M ′ = 2.0 − 3 = −3
Câu 18: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ ( Oxy ) . Cho phép đối xứng tâm I ( 1; −2 ) biến điểm
M ( 2;4 ) thành M ′ có tọa độ là:

A. M ( −4;2 ) .
B. M ′ ( −4;8) .
C. M ( 0;8) .
Lời giải.
Chọn D.
 xM ′ = 2. x I − xM = 2.1 − 2 = 0
⇒ M ′ ( 0; −8) .
Ta có: 
y
=
2.

Chọn C.
Lấy M ( x; y ) ∈ d . Gọi M ′ ( x ′; y ′) là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I ( 1;1) .
 x′ = 2.1 − x = 2 − x
 x = 2 − x′
⇒
Ta có: 
.
 y ′ = 2.1 − y = 2 − y  y = 2 − y ′

www.Thuvienhoclieu.Com

24


www.Thuvienhoclieu.Com
Do M ( x; y ) ∈ d nên ta có: x + y + 2 = 0 ⇔ 2 − x ′ + 2 − y ′ + 2 = 0 ⇔ x′ + y ′ − 6 = 0 .
Mà M ′ ( x ′; y ′) ∈ d ′ nên phương trình d ′ là: x + y − 6 = 0 .

1 
Câu 20: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ ( Oxy ) . Cho phép đối xứng tâm I  ;2 ÷ biến đường
2 
tròn ( C ) : ( x + 1) + ( y − 2 ) = 4 thành đường tròn ( C ′) có phương trình là:
2

2

A. ( x + 1) + ( y − 2 ) = 4 .

B. ( x − 1) + ( y − 2 ) = 4 .


2 
1
 ′
 x = 2 × − ( −1) = 2
⇒ J ′ ( 2;2 ) .
2


 y ′ = 2.2 − 2 = 2
2
2
Vậy phương trình ( C ′) là ( x − 2 ) + ( y − 2 ) = 4 .
Câu 21: Hình nào sau đây có tâm đối xứng:
A. Hình thang.
B. Hình tròn.
C. Parabol.
kì.
Lời giải.
Chọn B.
Tâm đối xứng của đường tròn chính là tâm của đường tròn.
Câu 22: Hình nào sau đây có tâm đối xứng (một hình là một chữ cái in hoa):
A. Q .
B. P .
C. N .
Lời giải.
Chọn C.
Chữ N có tâm đối xứng chính là trung điểm nét chéo của nó.

D. Tam giác bất