N G U Y ỄN MINH T IẾN – G V . T r ư ờng T H P T T ô n Đứ c T h ắ n g – Đồ n g N a i
PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG
TRONG MẶT PHẲNG
Nguyễn Minh Tiến
1/ Phép Dời Hình ………………………………………………………………………. trang 2
2/ Phép Tịnh Tiến trang 5
3/ Phép Đối Xứng Trục……………………………………………………………… trang 10
4/ Phép Đối Xứng Tâm……………………………………………………………… trang 18
5/ Phép Quay trang 22
6/ Hai hình bằng nhau………………………………………………………………… trang 30
7/ Phép Vị Tự…………………………………………………………………………. trang 32
8/ Phép Đồng Dạng…………………………………………………………………… trang 38
- 1 -
N G U Y ỄN MI N H T IẾN – G V . T r ư ờng T H P T T ơ n Đứ c T h ắ n g – Đồ n g N a i
PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG
Vần đề 1 : PHÉP DỜI HÌNH
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1/ Phép biến hình.
 ĐN: Phép biến hình là một quy tắc để với mỗi điểm
M
của mặt phẳng, xác định được một điểm
duy nhất điểm
M
′
của mặt phẳng. Điểm
M
′
gọi là ảnh của
M
qua phép biến hình đó.
 Kí hiệu:

gọi là tạo ảnh,
M
′
là ảnh.
+
f
là phép biến hình đồng nhất
( )
,f M M M H⇔ = ∀ ∈
. Điểm
M
gọi là điểm bất động,
điểm kép, bất biến.
+
1 2
,f f
là các phép biến hình thì
2 1
f fo
là phép biến hình.
 Nếu H là một hình nào đó thì tập hợp các điểm
( )
M f M
′
=
, với
M H∈
, tạo thành hình
H
′

trực tâm, trọng tâm
→
trọng tâm,…)
+ Đường tròn thành đường tròn bằng nó. (Tâm biến thành tâm:
,I I R R
′ ′
→ =
)
+ Góc thành góc bằng nó.
B . BÀI TẬP
′

−
′
→

′

− −
′
′
x = 2x 1
1 Trong mpOxy cho phép biến hình f: M(x;y) M = f(M) = .
y = y + 3
Tìm ảnh của các điểm sau : a) A(1;2) b) B( 1;2) c) C(2; 4)
Giải :
a) A = f(A) = (1;5)
b) B =
I
−

c) C = f(C) = ( 7; 7)
3 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (3x;y) . Đây có phải là phép dời
hình hay k
I
hông ?
- 2 -
N G U Y ỄN MI N H T IẾN – G V . T r ư ờng T H P T T ơ n Đứ c T h ắ n g – Đồ n g N a i
′
→
′
→
1 1 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
Giải : Lấy hai điểm bất kì M(x ;y ),N(x ;y )
Khi đó f : M(x ;y ) M = f(M) = (3x ; y ) .
f : N(x ;y ) N = f(N) = (3x ; y )
I
I
′ ′
− + − − + −
′ ′
≠ ≠
2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1
1 2
Ta có : MN = (x x ) (y y ) , M N = 9(x x ) (y y )
Nếu x x thì M N MN . Vậy : f không phải là phép dời hình .
(Vì có 1 số điểm f không bảo toàn khoảng cách) .
′ ′

6 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = ( 2x ;y 1) . Tìm ảnh của đường
thẳng ( ) : x 3y 2 = 0 qua phép biến hình f .
Giải :
Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ
I
′

−
′


−
=
′
→ ⇔
 
′
= +


′
= −

′
−
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
∈ ∆ ⇔ − − − = ⇔ + − = ⇔ ∈ ∆ + − =
∈ ∆ ≠
x
x = 2x

uuuuur
Qua M ( 4;1)
x+ 4 y 1
( ) (M N ): PTCtắc ( ) : PTTQ ( ): x 6y 2 0
6 1
VTCP : M N (6; 1)
′
→ + +
′
− →
2 2
7 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (x 3;y 1) .
a) CMR f là phép dời hình .
b) Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x + 1) + (y 2) = 4 . (C ) : (x
I
I − −
2 2
2) + (y 3) = 4
′
→ − +
∆ −
8 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (x 3;y 1) .
a) CMR f là phép dời hình .
b) Tìm ảnh của đường thẳng ( ) : x + 2y 5 = 0 .
c) Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x
I
−
2 2
+ 1) + (y 2) = 2 .
2 2

′ ′
= + = −
 
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
∈ ∆ ⇔ + + − − = ⇔ + − = ⇔ ∈
b) Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ
x = x 3 x x 3
Ta có f : M(x;y) M = f(M) =
y y 1 y y 1
Vì M(x;y) ( ) (x 3) 2(y 1) 5 0 x 2y 4 0 M (x ;y ) (
I
′
∆ + − =) : x 2y 4 0
∈ ∆ ≠
′
∈ ∆ → = =
′
∈ ∆ → = =
Cách 2: Lấy 2 điểm bất kì M,N ( ) : M N .
+ M ( ) : M(5 ;0) M f(M) (2;1)
+ N ( ) : N(3 ; 1) N f(N) (0;2)
I
I
′

− −
′ ′ ′ ′ ′
∆ ≡ → ∆ = → ∆ + − =

′ ′

= + = −
 
′ ′
∈ − ⇔ + + − = ⇔
′ ′ ′
⇔ ∈
2 2 2 2
x = x 3 x x 3
Ta có f : M(x;y) M = f(M) =
y y 1 y y 1
Vì M(x;y) (C) : (x + 1) + (y 2) = 2 (x 4) (y 3) 2
M (x ;y )
I
′
+ + − =
′
 
− − = −
′ ′
→ → + + − =
 
′
+ +
 
2 2
f
2 2
(C ) : (x 4) (y 3) 2
+ Tâm I( 1;2) + Tâm I = f[I( 1;2)] ( 4;3)
Cách 2: (C) (C ) (C ) : (x 4) (y 3) 2

−
− − + −
2 2
2
2 2 2
= 0.
c) Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x + 3) + (y 1) = 2 .
d) Tìm ảnh của parabol (P) : y = 4x .
ĐS : b) x 2y 2 = 0 c) (x + 2) + (y 1) = 2 d) (y + 2) = 4(x 1)
′
→ −10 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = ( x ;y) . Khẳng đònh nào sau đây
sai ?
I
∈
A. f là 1 phép dời hình B. Nếu A(0 ; a) thì f(A) = A
C. M và f(M) đối xứng nhau qua trục hoành D. f[M(2;3)] đường thẳng 2x + y + 1 = 0
- 4 -
N G U Y ỄN MI N H T IẾN – G V . T r ư ờng T H P T T ơ n Đứ c T h ắ n g – Đồ n g N a i
→ ĐS : Chọn C . Vì M và f(M) đối xứng nhau qua trục tung C sai .
′ ′
→ − → − −
−
1 1 2 2
1 2
12 Trong mpOxy cho 2 phép biến hình :
f : M(x;y) M = f (M) = (x + 2 ; y 4) ; f : M(x;y) M = f (M) = ( x ; y) .
Tìm toạ độ ảnh của A(4; 1) qua f rồi f , nghóa là tì
I I
′ ′′
− → − → −

M
′
sao cho
uMM
′
=
uuuuur
r
.
′ ′
= ⇔ =
uuuuur
r
r r
g
Kí hiệu : T hay T .Khi đó : T (M) M MM u
u u
Phép tònh tiến hoàn toàn được xác đònh khi biết vectơ tònh tiến của nó .
= ∀
r r
g Nếu T (M) M , M thì T là phép đồng nhất .
o o

2/ Biểu thức tọa độ: Cho
r
u = (a;b)
và phép tịnh tiến
r
T
u

 PHƯƠNG PHÁP TÌM ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM
′

′ ′ ′
→ =

′

r
x = x + a
M(x;y) M =T (M) (x ;y ) thì
u
y = y + b
I
 PHƯƠNG PHÁP TÌM ẢNH CỦA MỘT HÌNH (H) .
Cách 1: Dùng tính chất (cùng phương của đường thẳng, bán kính đường tròn: khơng đổi)
1/ Lấy
′ ′
∈ → ∈M (H) M (H )I
2/
′
≡ → ≡g (H) đường thẳng (H ) đường thẳng cùng phương
- 5 -
N G U Y ỄN MI N H T IẾN – G V . T r ư ờng T H P T T ơ n Đứ c T h ắ n g – Đồ n g N a i
′
 
+ +
′ ′ ′
≡ → ≡
 

Giải
x 3 2 x 5
Theo đònh nghóa ta có : M = T (M) MM u (x 3;y 2) (2;1)
u
y 2 1 y 1

′
⇒ −
−
r
r
M (5; 1)
2 Tìm ảnh các điểm chỉ ra qua phép tònh tiến theo vectơ u :
a) A( 1;1) , u = (3;1)
′
⇒
−
r
A (2;3)
b) B(2;1) , u = ( 3;2)
′
⇒ −
′
− − ⇒
r
B ( 1;3)
c) C(3; 2) , u = ( 1;3) C (2;1)
′ ′
′ ′
′ ′

r r r r r r r
r
u .
2
Nếu : M T (M) MM v v MM MM M M u + u .Vậy : v u + u
2 v 2 2 1 1 2 1 2 1 2
′
∆ − ∆
∆ −
r
5 Đường thẳng cắt Ox tại A( 1;0) , cắt Oy tại B(0;2) . Hãy viết phương trình đường thẳng là ảnh
của qua phép tònh tiến theo vectơ u = (2; 1) .
′ ′
= = − = =
′

−

= +
′ ′ ′ ′ ′ ′
∆ = ∆ ⇒ ∆ ∆ ⇒ ∆
 
= − +
′ ′


r r
g
r
uuuuur

 
= − +
′ ′
−


r
g
r
uuuuur
g
B T (B) ( 1;1) .
u
qua A (0; 2)
x t
Mặt khác : T ( ) đi qua A ,B . Do đó : ptts :
u
y 2 3t
VTCP : A B = ( 1;3)
′
∆ − − ⇒ ∆ − + =
∆ + − − −
r
r
7 Tương tự : a) : x 2y 4 = 0 , u = (0 ; 3) : x 2y 2 0
b) : 3x y 3 = 0 , u = ( 1 ; 2)
′
⇒ ∆ + + = : 3x y 2 0
- 6 -
N G U Y ỄN MI N H T IẾN – G V . T r ư ờng T H P T T ơ n Đứ c T h ắ n g – Đồ n g N a i

9 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (x 1;y 2) .
a) CMR f là phép dời hình .
b) Tìm ảnh của đường thẳng ( ) : x 2y 3
I
−
− − + −
2 2
2
2 2 2
= 0.
c) Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x + 3) + (y 1) = 2 .
d) Tìm ảnh của parabol (P) : y = 4x .
ĐS : b) x 2y 2 = 0 c) (x + 2) + (y 1) = 2 d) (y + 2) = 4(x
′
→ −
1)
10 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = ( x ;y) . Khẳng đònh nào sau đây
sai ?
A. f là 1 phép dời hình B.
I
∈
Nếu A(0 ; a) thì f(A) = A
C. M và f(M) đối xứng nhau qua trục hoành D. f[M(2;3)] đường thẳng 2x + y + 1 = 0
ĐS : Chọn C . Vì M và f(M) đối xứng nhau qua t →rục tung C sai .
− + + = −
′ ′
 
−
⇔
 

: x y 2x 2y 7 0
− −
g
10 Trong hệ trục toạ độ Oxy , xác đònh toạ độ các đỉnh C và D của hình bình hành ABCD biết đỉnh
A( 2;0), đỉnh B( 1;0) và giao điểm các đường chéo là I(1;2) .
Giải
Gọi C(x;y) .Ta = − − = = −
 
− = =
⇔ = ⇔ ⇔ ⇒
 
− = =
 
⇔ =
uur uur uur
g
uur uur
uur
g
uur
uur
có : IC (x 1;y 2),AI (3;2),BI (2; 1)
Vì I là trung điểm của AC nên :
x 1 3 x 4
C = T (I) IC AI C(4;4)
AI
y 2 2 y 4
Vì I là trung điểm của AC nên :
D = T (I) ID
BI

u+ v
r r
N G U Y ỄN MI N H T IẾN – G V . T r ư ờng T H P T T ơ n Đứ c T h ắ n g – Đồ n g N a i
′ ′
∈ ∈
′ ′
∈ ⇔ =
′ ′ ′ ′ ′
⇒ = ⇒ ⇒ ∈ ⇒
uuuuur uuur
uuur
uuuur uuuur
uuur
Giải : Chọn 2 điểm cố đònh A d , A d
Lấy điểm tuỳ ý M d . Gỉa sử : M = T (M) MM AB
AB
MA M B M B/ /MA M d d = T (d)
AB
Nhận xét : Có vô số phép tònh
′
′ ′ ′ ′
′ ′
⇔
′
uur
tiến biến d thành d .
12 Cho 2 đường tròn (I,R) và (I ,R ) .Hãy chỉ ra một phép tònh tiến biến (I,R) thành (I ,R ) .
Giải : Lấy điểm M tuỳ ý trên (I,R) . Gỉa sử : M = T (M) M
II
′

 
− −
′
⇔ ⇔
 
′ ′
− −
 
′ ′ ′
∈ = ⇔ − − ⇔
r
uuuuur uuuuur
r
g
uuuuur
r
u
(P ) .
Giải :
T
M(x;y) M (x ;y ) , ta có : MM = u , với MM = (x x ; y y)
x x = m x = x m
Vì MM = u
y y = n y = y n
2 2
Mà : M(x;y) (P): y ax y n = a(x m) y =
I
′ ′ ′ ′ ′
− + ⇔ ∈ − +
′

− → → −
r r
u v
T T
A( 5;2) B C( 1;0)I I
.
Ta có : AB u,BC v AC AB BC u v (4; 2)= = ⇒ = + = + = −
uuur uuur uuur uuur uuur
r r r r

− − −
→  →
r r
r r
r r
u v
17 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho 3 điểm K(1;2) , M(3; 1),N(2; 3) và 2 vectơ u = (2;3) ,v = ( 1;2) .
Tìm ảnh của K,M,N qua phép tònh tiến T rồi T .
u v
T T
HD: Gỉa sử : A(x;y) BI I
′ ′
 = = ⇒ = + = + =
′ ′
 
− = =
′ ′ ′
⇔ = ⇔ ⇔ ⇒
 
+

′ ′
= − = = ⇔ ⇔ ⇒ −
 
′ ′
− = =
 
′
− + + =
r r
uuur uuuur
r r
u u
Giải
T T
A(3;0) G( 1;3) G (x ;y )
x 1 4 x 5
Vì AG ( 4;3) u . Theo đề : GG u G ( 5;6).
y 3 3 y 6
2 2
19 Trong mặt phẳng Oxy , cho 2 đường tròn (C) : (x 1) (y 3) 2,(
I I
+ − + + =
′
′ ′ ′
− −
′
r
2 2
C ): x y 10x 4y 25 0.
Có hay không phép tònh tiến vectơ u biến (C) thành (C ) .

u
Vì OABC là hình bình hành nên : BC AO (2; 1) C T (B) với u = (2; 1)
u
T
x x 2 x x 2
B(x;y) C(x ;y ) . Do : BC u
y y 1 y y 1
B(x;y) 2x y 5 = 0 2x y 10 = 0 C(x ;
I
′
∈∆ − −
∆
y ) : 2x y 10 = 0
21 Cho ABC . Gọi A ,B ,C lần lượt là trung điểm các cạnh BC,CA,AB. Gọi O ,O ,O và I ,I ,I
1 1 1 1 2 3 1 2 3
tương ứng là các tâm đường tròn ngoại tiếp và các tâm đường trò
∆ = ∆
→ → →
⇒ ∆ →∆
uuur
uuur
1
AB
2
n nội tiếp của ba tam giác AB C ,
1 1
BC A , và CA B . Chứng minh rằng : O O O I I I .
1 1 1 1 1 2 3 1 2 3
HD :
Xét phép tònh tiến : T biến A C,C B,B A .

2 3 2 3 3 1 3
I I
w
⇒ = = ⇒ ∆ = ∆
uuuur
I O O I I ,O O I I O O O I I I (c.c.c).
1 2 3 2 3 3 1 3 1 1 2 3 1 2 3
µ
µ
µ
·
= = = =
→ ⇔ = =
uuur
o o o
uuuur uuur
BC
22 Trong tứ giác ABCD có AB = 6 3cm ,CD 12cm , A 60 ,B 150 và D 90 .
Tính độ dài các cạnh BC và DA .
HD :
T
Xét : A M AM BC.Ta có : ABCM là hình bình hành và BCM 3Iw
µ
=
o o
0 (vì B 150 )
·
·
= − + + = ⇒ =
∆

⊥ ⇒ ⇒ = ⇒ =
o
6 3
Dựng MK AD K là trung điểm của AD KD=MDcos30 cm AD 6 3cm
2
Tóm lại : BC = AM = MD = 6cm , AD = AB = 6 3cm
Vấn đề 3 : PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC
A . KIẾN THỨC CƠ BẢN
1/ ĐN1:Điểm
M
′
gọi là đối xứng với điểm
M
qua đường thẳng a nếu a là đường trung trực của đoạn
MM
′
Phép đối xứng qua đường thẳng còn gọi là phép đối xứng trục . Đường thẳng a gọi là trục đối xứng.
ĐN2 : Phép đối xứng qua đường thẳng a là phép biến hình biến mo
′
′ ′
= ⇔ = −
uuuuuur uuuuuur
a o o o
ãi điểm M thành điểm M đối xứng
với M qua đường thẳng a .
Kí hiệu : Đ (M) M M M M M , với M là hình chiếu của M trên đường thẳng a .
Khi đó :

∈ =g
a

 
−
≡ ≡
 
′ ′
−
 
x = x x = x
ª d Ox : ª d Oy :
y = y y = y
3/ ĐL: Phép đối xứng trục là một phép dời hình.
g
1.Phép đối xứng trục biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự của các
điểm tương ứng .
2. Đường thẳng thành đường thẳng .
3.
HQ :→ →
Tia thành tia .
4. Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó .
5. Tam giác thành tam giác bằng nó . (Trực tâm trực tâm , trọng tâm trọng tâm )
6. Đường tròn thành đường
I I
′ ′
→tròn bằng nó . (Tâm biến thành tâm : I I , R = R )
7. Góc thành góc bằng nó .
I
a

′
∆ ≡
a
TH2 : // a
1. Tìm K = a
2. Lấy P : P K .Tìm Q = Đ (P)
3. (KQ)
w

ª
PP :
∈ ∆
min
Tìm M ( ) : (MA + MB) .
∈ ∆
∆
′
∆
′ ′
∀ ∈ ∆ = ≥
′ ′
⇔ ∩ ∆
min
min
Tìm M ( ) : (MA+ MB)
Loại 1 : A, B nằm cùng phía đối với ( ) :
1) gọi A là đối xứng của A qua ( )
2) M ( ), thì MA + MB MA + MB A B
Do đó: (MA+MB) = A B M = (A B) ( )
w

a b
Đ Đ
a b
ng qua Ox .
HD : M(a;b) M ( a;b) M ( a; b)
3 Cho 2 đường thẳng (a) : x 2 = 0 , (b) : y + 1 = 0 và điểm M( 1;2) . Tìm : M M M .
HD : M( 1;2) M (5;2)
I I
I I
I I −
−
′′ ′ ′ ′ ′′ ′′ ′′
→ →
′

= −
′
→

′
=

Đ Đ
a b
Đ Đ
a b
tđ(m;y) tđ(
M (5; 4) [ vẽ hình ] .
4 Cho 2 đường thẳng (a) : x m = 0 (m > 0) , (b) : y + n = 0 (n > 0).
Tìm M : M(x;y) M (x ;y ) M (x ;y ).

≠g
a
a
1) và đường thẳng (a) : x + y = 0 . M = Đ (M) ( 1;4)
7 Cho 2 đường thẳng ( ) : 4x y + 9 = 0 , (a) : x y + 3 = 0 . Tìm ảnh = Đ ( ) .
HD :
4 1
Vì
1
⇒ ∆ → = ∆∩ → −
−
′ ′
− ∈∆ → ∋ ⊥ → + − = → → = =
′ ′
∆ ≡ −
g
g
a
cắt a K a K( 2;1)
1
M( 1;5) d M, a d :x y 4 0 H(1/ 2;7/ 2):tđiểm của MM M Đ (M) (2;2)
KM : x 4y + 6 = 0
∩ −
′
≡ ∈ − −
′
≡ +
g
g
g

+ a
3 9 3 9
E = a E( ; ) là trung điểm OQ Q( ; ) .
10 10 5 5
b KQ : 3x + 4y 9 = 0 .
1
−
∩ →
∈ ⇒ −
g
g
Ox
Ox
0 Tìm b = Đ (a) với đường thẳng (a) : x + 3y 3 = 0 .
Giải :
Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ (rất hay)
Cách 2 : K= a Ox K(3;0)
P(0;1) a Q = Đ (P) = (0; 1)

≡ − −
g b KQ : x 3y 3 = 0 .
′
∆ − − − ∆ ∆
∆
′ ′ ′ ′ ′ ′
∈∆ → ∈∆ ⇒ ∆ ≡
′ ′ ′ ′ ′
∈∆ → ∈∆ ⇒ ∆ ∆ ∆ ∋
a
11 Cho 2 đường thẳng ( ) : x 2y + 2 = 0 , (a) : x 2y 3 = 0 . Tìm ảnh = Đ ( ) .

HD : Chọn D
− ∆ − + + =
∆ −
′
2 2
14 Trong mpOxy cho điểm M( 3;2), đường thẳng ( ) : x + 3y 8 = 0, đường tròn (C) : (x+3) (y 2) 4.
Tìm ảnh của M, ( ) và (C) qua phép đối xứng trục (a) : x 2y + 2 = 0 .
Giải : Gọi M ,
′ ′
∆ ∆

−
′

⊥

⊥ → + ∋ − ⇒ ⇒ +
g
g
( ) và (C ) là ảnh của M, ( ) và (C) qua phép đối xứng trục a .
Qua M( 3;2)
a) Tìm ảnh M : Gọi đường thẳng (d) :
a
+ (d) (a) (d) : 2x y + m = 0 . Vì (d) M( 3;2) m = 4 (d):2x y
+
4 = 0
′
′
′
′

H M M
M
M
M
M
1
x (x x )
2
+ H = (d) (a) H( 2;0) H là trung điểm của M,M H
1
y (y y )
2
1
2 ( 3 x )
x 1
2
M ( 1; 2)
1 y 2
0 (2 y )
2
b) Tìm ảnh ( ) :
1 3
Vì ( ) cắt (a
1 2
⇒ ∆ ∩

−
⇒ ⇔

−

= + = +
 
 
E P Q Q
E P Q Q
+ (b) (a) (b) : 2x y + m = 0 . Vì (b) P( 1;3) m = 1 (b): 2x y 1 = 0
+ E = (b) (a) E(0;1) E là trung điểm của P,Q
1 1
x (x x ) 0 ( 1 x )
x
2 2
E
1 1
y (y y ) 1 (3 y )
2 2

=

⇒ −

= −



− −
′ ′
∆ ≡ ⇒ ∆ = ⇔ − − =

= − − = −


+ Tâm I( 3;2)
Vậy : (C)
BK :
I I
{


′
− − = −
′
→


′
+

′
→ + + − =
Đ
a
a
2 2
2 2
+ Tâm I = Đ [I( 3; 2)] ( ; )
(C )
5 5
R = 2
BK : R = R = 2
2 2
(C ) : (x ) (y ) 4

2 2
a
9 8 9 8
I ( ; ) , R = R = 3 (C ) : (x + ) (y ) 9
5 5 5 5
I
− ∆ − + − + + =
∆
′

=
′
→

′
= −

2 2
Đ
Ox
16 Cho điểm M(2; 3), đường thẳng ( ) : 2x + y 4 = 0, đường tròn (C) : x y 2x 4y 2 0.
Tìm ảnh của M, ( ) và (C) qua phép đối xứng qua Ox .
x x
HD : Ta có : M(x;y) M (
y y
′

=
⇒


→ ⇒
 
′ ′
= − = −
 
′ ′ ′ ′ ′
∈ − ⇔ − − ⇔ + ⇔
Ox
Đ
Ox
17 Trong mpOxy cho đường thẳng (a) : 2x y+3 = 0 . Tìm ảnh của a qua Đ .
x x x x
Giải : Ta có : M(x;y) M
y y y y
Vì M(x;y) (a) : 2x y+3 = 0 2(x ) ( y )+3 = 0 2x y +3 = 0 M (
I
′ ′ ′
∈ +
′
→ +
Đ
Oy
x ;y ) (a ) : 2x y + 3 = 0
Vậy : (a) (a ) : 2x y + 3 = 0 I
- 13 -
N G U Y ỄN MI N H T IẾN – G V . T r ư ờng T H P T T ơ n Đứ c T h ắ n g – Đồ n g N a i
+ − −
′ ′
 
= − = −

M (x ;y ) (C ) : x y 4y 5 = 0
Vậy : (C) (C ) : x y 4y 5 = 0I
− − ∆ − + + − − +
−
2 2
a
a
19 Trong mpOxy cho đthẳng (a) : 2x y 3 = 0 , ( ) : x 3y 11 = 0 , (C) : x y 10x 4y 27 = 0 .
a) Viết biểu thức giải tích của phép đối xứng trục Đ .
b) Tìm ảnh của điểm M(4; 1) qua Đ .
′ ′
∆ ∆ =
+ ≠
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
→ = − − ⇒ =
′
⇒
uuuuur uuuuur
r r
a a
2 2
Đ
a
c) Tìm ảnh : ( ) = Đ ( ),(C ) Đ (C) .
Giải
a) Tổng quát (a) : Ax + By + C=0 , A B 0
Gọi M(x;y) M (x ;y ) , ta có : MM (x x;y y) cùng phương VTPT n = (A;B) MM tn
x

I

′ ′
⇒ = − = −


 + +
 
− −
′ ′
= − = − + +
 
 
⇔
 
− −
 
′ ′
= + = + −
 
 
′
− → −
2 2
2 2 2 2
Đ
a
B
2A(Ax + By + C) 2B(Ax + By + C)
x x ;y y
A B A B
4(2x y 3) 3 4 12

∆ ∆
Giải
1 5
Vì ( ) và ( ) cắt nhau . Do đó trục đối xứng (a) của phép đối xứng biến ( ) thành ( ) chính
5 1
là đường phân giác của góc tạo bởi ( ) và ( ) .
−
′ ′
≠ ⇒ ∆ ∆ ∆ ∆
−
′
∆ ∆
1
2
1 2
x y 5 0 (a )
| x 5y 7 | | 5x y 13|
Từ đó suy ra (a) :
x y 1 0 (a )
1 25 25 + 1
Vậy có 2 phép đối xứng qua các trục ( ) : x y 5 0 , ( ): x y 1 0

+ − =
− + − −
= ⇔

− − =
+

∆ + − = ∆ − − =

24 Xét các hình vuông , ngũ giác đều và lục giác đều . Cho biết số trục đối xứng tương ứng của mỗi
loại đa giác đều đó và chỉ ra cách vẽ các trục đối xứng đó .
g
g
ĐS :
Hình vuông có 4 trục đối xứng , đó là các đường thẳng đi qua 2 đỉnh đối diện và các đường thẳng
đi qua trung điểm của các cặp cạnh đối diện .
Ngũ giác đều co
g
ù 5 trục đối xứng ,đó là các đường thẳng đi qua đỉnh đối diện và tâm của ngũ giác đều .
Lục giác đều có 6 trục đối xứng , đó là các đường thẳng đi qua 2 đỉnh đối diện và các đường thẳng đi
qua trung điểm của các cặp cạnh đối diện .
′
∆
′
d
25 Gọi d là phân giác trong tại A của ABC , B là ảnh của B qua phép đối xứng trục Đ . Khẳng đònh
nào sau đây sai ?
A. Nếu AB < AC thì B ở trên cạnh AC .
′
′
≡
′
′ ′
∈
d

B. B là trung điểm cạnh AC .
C. Nếu AB = AC thì B C .
D. Nếu B là trung điểm cạnh AC thì AC = 2AB .

D. ABC vuông ở B
⇒
⇒ ⇒ ⇒ ∈
g
g
1 2
HD : A. Không sai . Vì d là trung trực của AB OA = OB , d là trung trực
của BC OB = OC OA = OB = OC A,B,C đường tròn (O, R = OC) .
Các câu B,C,D có thể sai .
∆
∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆
27 Cho ABC có hai trục đối xứng . Khẳng đònh nào sau đây đúng ?
A. ABC là vuông B. ABC là vuông cân C. ABC là đều D. ABC là cân .

∆

⇒ ⇒ = = ⇒ ∆


HD : Gỉa sử ABC có 2trục đối xứng là AC và BC
AB = AC
AB AB BC ABC đều .
BC = BA
- 15 -
N G U Y ỄN MI N H T IẾN – G V . T r ư ờng T H P T T ơ n Đứ c T h ắ n g – Đồ n g N a i
µ
µ
µ
µ
µ

= = = =

29 Trong các hình sau , hình nào có nhiều trục đối xứng nhất ?
A. Hình chữ nhật B. Hình vuông C. Hình thoi D. Hình thang cân .
ĐS : Chọn B. Vì : Hình vuông có 4 trục đối xứng .
30 Trong các hình sau , hình nào có ít trục đối xứng nhất ?
A. Hình chữ nhật B. Hình vuông C. Hình thoi D. Hình thang cân .
ĐS : Chọn D. Vì : Hình thang cân có 1 trục đối xứng .
∆ ∆
31 Trong các hình sau , hình nào có 3 trục đối xứng ?
A. Hình thoi B. Hình vuông C. đều D. vuông cân .

∆
ĐS : Chọn C. Vì : đều có 3 trục đối xứng .
32 Trong các hình sau , hình nào có nhiều hơn 4 trục đối xứng ?
A. Hình vuông B. Hình thoi C. Hình tròn D. Hình thang cân .
ĐS : Chọn C. Vì : Hình tròn có vô số trục đối xứng .
33 Trong các hình sau , hình nào không có trục đối xứng ?
A. Hình bình hà
∆ ∆
nh B. đều C. cân D. Hình thoi .
ĐS : Chọn A. Vì : Hình bình hành không có trục đối xứng .
34 Cho hai hình vuô
′ ′ ′
′ ′ ′
′ ′
∩
ng ABCD và AB C D có cạnh đều bằng a và có đỉnh A chung .
Chứng minh : Có thể thực hiện một phép đối xứng trục biến hình vuông ABCD thànhø AB C D .
HD : Gỉa sử : BC B C = E .

′
′ ′
= = −
′ ′ ′ ′
⇒ → ⇒ →
o
Đ
AE
Đ Đ
A AE
EC = EC
Mặt khác : C C
AC = AC = a 2
BAB
Ngoài ra : AD = AD và D AE DAE 90
2
D D ABCD AB C D
I
I I35 Gọi H là trực tâm ABC . CMR : Bốn tam giác ABC , HBC , HAC , HAC có
đường tròn ngoại tiếp bằng nhau .
∆

¶
¶
»
¶
¶ ¶

36 Cho ABC và đường thẳng a đi qua đỉnh A nhưng không đi qua B,C .
a) Tìm ảnh ABC qua phép đối xứng Đ .
b) Gọi G là trọng tâm ABC , Xác đònh G là ảnh của G qua phép đối xứng Đ
a
.
a
a
a
a
Giải
a) Vì a là trục của phép đối xứng Đ nên :
A a A Đ (A) .
B,C a nên Đ : B B ,C C sao cho a là trung trực của BB ,CC
b) Vì G a nên Đ :G G sao cho a là trung trực
∈ ⇒ =
′ ′ ′ ′
∉ → →
′
∉ →
g
g I I
I của GG .
′
′
→
′
∀ ∈
37 Cho đường thẳng a và hai điểm A,B nằm cùng phía đối với a . Tìm trên đường
thẳng a điểm M sao cho MA+MB ngắn nhất .
Giải : Xét phép đối xứng Đ :A A .

∆
n tâm I, bán kính R .
Giải
a) Vì : C = Đ (B) , mà B nên C với = Đ ( )
AH AH
Vậy : Tập hợp các điểm C là đường thẳng
b) Tương tự : Tập hợp các điểm C là đường tròn tâm J , bán kính R là ảnh của
đường tròn (I) qua Đ .
AH
Vấn đề 4 : PHÉP ĐỐI XỨNG TẤM
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
′
1 ĐN : Phép đối xứng tâm I là một phép dời hình biến mỗi điểm M thành điểm M đối xứng với M qua I.
Phép đối xứng qua một điểm còn gọi là phép đối tâm .
Điểm I gọi là tâm của của phép đối xứng hay đơn giản là tâm đối xứng .

Kí hiệu : Đ (M) M IM IM .
I
′ ′
= ⇔ = −
uuur uuur

′
≡ ≡
′ ′
≠ = ⇔
⇔ =
g
g
g

1. Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách giư
I
õa hai điểm bất kì .
2. Biến một tia thành tia .
3. Bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự của các điểm tương ứng . 4. Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó .
5. Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho .
6. Biến một góc thành góc có
→ →

số đo bằng nó .
7. Biến tam giác thành tam giác bằng nó . ( Trực tâm trực tâm , trọng tâm trọng tâm )

′ ′
→ 8. Đường tròn thành đường tròn bằng nó . ( Tâm biến thành tâm : I I , R = R )I
B . BÀI TẬP
′
− ⇒
1 Tìm ảnh của các điểm sau qua phép đối xứng tâm I :
1) A( 2;3) , I(1;2) A (4;1)
′
− ⇒ − 2) B(3;1) , I( 1;2) B( 5;3)
3) C(2;4) , I(3;1)
′
⇒ − C (4; 2)
{ {
Giải :
x 1 3 x 4

PP : Có 3 cách
Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ
Cách 2 : Xác đònh dạng // , rồi dùng công thức tính khoảng cách d( ; ) .
Cách 3: Lấy bất kỳ A,B , rồi tìm ảnh A ,B
′ ′
∆ ≡
′ ′
 
= − = −
′
→ ⇒
 
′ ′
= − − = − −
 
I
A B
Đ
x 4 x x 4 x
1) Cách 1: Ta có : M(x;y) M
y 2 y y 2 y
I
′ ′ ′ ′
∈∆ ⇔ + + = ⇔ − + − − + = ⇔ + − =
′ ′ ′ ′
⇔ ∈∆ + − =
′
∆ → ∆ + − =
′ ′
∆ ∆ ⇒ ∆ ∆

( ): x 2y 5 0
Cách 3: Lấy : A( 5;0),B( 1; 2) A (9; 2),B (5;0) A B : x 2y 5 0
- 18 -
N G U Y ỄN MI N H T IẾN – G V . T r ư ờng T H P T T ơ n Đứ c T h ắ n g – Đồ n g N a i
′
+ − = ⇒ − + =
3 Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép đối xứng tâm I :
2 2 2 2
1) (C): x (y 2) 1,E(2;1) (C ):(x 4) y 1
2
2) (C): x
′
+ + + = ⇒ + − − + =
− + →
2 2 2
y 4x 2y 0,F(1;0) (C ): x y 8x 2y 12 0
đ / nghiã hay biểu thức toạ độ
2
3) (P) : y = 2x x 3 , tâm O(0;0) .
′
− − −
′ ′
→ = =
E
2
(P ): y = 2x x 3
HD:1) Co ù 2 cách giải :
Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ .
Đ
Cách 2: Tìm tâm I I ,R R (đa õ cho) .

Gọi I là trung điểm của AB . Ta có : IA IB
Từ (1) MM MI
′
+ + + ⇒ =
′ ′
⇔ = ⇔ =
uu uur uuur uur uuuuur uuur
uuur uuur
IA MI IB MM 2MI
MI IM M Đ (M) .
I
5 Cho ba đường tròn bằng nhau (I ;R),(I ;R),(I ;R) từng đôi tiếp
1 2 3
xúc nhau tại A,B,C . Gỉa sử M là một điểm trên
→ → → →
I
C
A B 1
(I ;R) , ngoài ra :
1
Đ
Đ
Đ Đ
M N ; N P ; P Q . CMR : M Q .I I I I
•
→ → ⇒ → ⇔ = −
uuuur uuuur
A A A
HD :
Do (I ;R) tiếp xúc với (I ;R) tại A , nên :

QI PI QI (3)
1 3 1
Từ (1),(2),(3) suy ra : MI QI M Đ (Q) .
1 1 I
5 Cho ABC là tam giác vuông tại A . Kẻ đường cao AH . Vẽ phía { }
ngoài tam giác hai hình vuông ABDE và ACFG .
a) Chứng minh tập hợp 6 điểm B,C,F,G,E,D co ù một trục đối xứng .
b) Gọi K là trung điểm của EG . Chứng minh K ở trên đường thẳn
∩
⊥ ⊥
g AH .
c) Gọi P = DE FG . Chứng minh P ở trên đường thẳng AH .
d) Chứng minh : CD BP, BF CP .
e) Chứng minh : AH,CD,BF đồng qui .
- 19 -
N G U Y ỄN MI N H T IẾN – G V . T r ư ờng T H P T T ơ n Đứ c T h ắ n g – Đồ n g N a i
·
·
= =
• → → → →
→
o o
DF DF DF DF
DF
HD :
a) Do : BAD 45 và CAF 45 nên ba điểm D,A,F thẳng hàng .
Đ Đ Đ Đ

• ⇒ ∆ = ∆ ⇒ = ⇒ =



⊥ ⇒ ⊥
d) Do EDC = DBP nên DC = BP .
DC = BP
Ta có : DB = AB BDC ABP CD BP BCD APB nhưng hai góc này có cặp
BC = AP
cạnh : BC AP cặp cạnh còn lại : DC BP.
Lý lua ⊥
∆ ∆
än tương tự , ta có : BF CP.
e) Ta có : BCP . Các đường thẳng AH, CD và BF chính là ba đường cao của BCP nên đồng qui .

=
uuur
o
o
2AB
6 Cho hai điểm A và B và gọi Đ và Đ lần lượt là hai phép đối xứng tâm A và B .
A B
a) CMR : Đ Đ T .
B A
b) Xác đònh Đ Đ .
A B
HD : a) Gọi M là một điểm bất kỳ , ta có :
M
w
′ ′

Đ Đ
Ta chứng minh : M M :
Biết : MM MM M M
Mà : MM 2MA và M M 2M B
Vậy : MM 2MA 2M B 2MA 2M A 2AB
Vì :MA
Iw
′ ′ ′′ ′′
+ = = ⇔ = ∀
uuur
uuuur uuuur uuuur uuuuur uuur
r
2AB
AM nên MA M A 0 . Suy ra : MM 2AB M T (M), M (2)

=
=
uuur
uuur
o
o
2AB
2BA
Từ (1) và (2) , suy ra : Đ Đ T .
B A
b) Chứng minh tương tự : Đ Đ T .
A B
7 Chứng minh rằng nếu hình (H) có hai trục đối xứng vuông góc với nhau thì
(H) có tâm đối xứng .
HD : Dùng hình thoi

hay MOM 2 90 180
1
Vậy : O la
= ∀ ∈ ∈ ⇔
ø trung điểm của M và M .
2
Do đó : M Đ (M), M (H),M (H) O là tâm đối xứng của (H) .
2 O 2
·
·
·
·
·
·
∆ = ∆
= = = =
→
o
o o
N
8 Cho ABC có AM và CN là các trung tuyến . CMR : Nếu BAM BCN = 30 thì ABC đều .
HD :
Tứ giác ACMN có NAM NCM 30 nên nội tiếp đtròn tâm O, bkính R=AC và MON 2NAM 60 .
Đ
Xét : A I
·
⇒ → ∈ ∈
→ ⇒ → ∈ ∈

= =

Suy ra : ABC OO O (Vì cùng đồng dạng với BMN) .
1 2
Vì OO O là tam giác đều nên ABC là tam giác đều .
1 2

Vấn đề 5 : PHÉP QUAY
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
ϕ
′ ′ ′
ϕ
1 ĐN : Trong mặt phẳng cho một điểm O cố đònh và góc lượng giác . Phép biến hình biến mỗi điểm
M thành điểm M sao cho OM = OM và (OM;OM ) = được gọi là phép quay tâm O với
ϕ
ϕ
g
g
Phép quay hoàn toàn xác đònh khi biết tâm và góc quay
Kí hiệu : Q .
O
góc quay .
≡
π
≡ ∀ ∈
π
≡ ∀ ∈
g ¢
g ¢
g
Chú ý : Chiều dương của phép quay chiều dương của đường tròn lựơng giác .
2k

N G U Y ỄN MI N H T IẾN – G V . T r ư ờng T H P T T ơ n Đứ c T h ắ n g – Đồ n g N a i
ϕ
ϕ

α
α

α

′ ′
→
(O ; )
/
1 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(x;y) . Tìm M = Q (M) .
(O; )
HD :
x = rcos
Gọi M(x;y) . Đặt : OM = r , góc lượng giác (Ox;OM) = thì M
y = rsin
Q
/ /
Vì : M M . Gọi M (x ;y ) thì đoI α ϕ
′
α ϕ α ϕ− α ϕ = ϕ − ϕ
′
α ϕ α ϕ+ α ϕ = ϕ+ ϕ
′
ϕ− ϕ
′
ϕ+ ϕ

− − ϕ+ − ϕ


 →
(O ; )
(I; )
o o
(I; )
o o
Đặc biệt :
Q
x = x cos ysin
//
M M
y = xsin ycos
Q
x x = (x x )cos (y y )sin
/
o o o
M M
y y = (x x )sin (y y )cos
I(x ;y )
o o o
Q
M
I(x ;y )
I
I
I
w


′
 α = α − α = −

′

α = α + α = +

o o o o o
o o o o o
=
x = rcos( +45 ) rcos .cos45 rsin .sin45 x.cos45 y.sin45
/
Thì M
y = rsin( +45 ) rsin .cos45 rcos .sin45 y.cos45 x.sin45

′
−


⇒


′
+


2 2
x = x y
/

a) A(2;2) A (0 ;2 2)
Q
/
Tâm I(1;0)
Tâm I ?
b) Vì (C) : (C ) :
Bk : R = 2
Bk : R = R = 2
Q
2 2 2 2
/ 2 2
I(1;0) I ( ; ) . Vậy : (C ) : (x ) + (y ) =
2 2 2 2
I
I 4

′
−




′
+


1 3
x = x y
2 2
3 Trong mpOxy cho phép biến hình f : . Hỏi f là phép gì ?

4 Trong mpOxy cho đường thẳng ( ) : 2x y+1= 0 . Tìm ảnh của đường thẳng qua :
a) Phép đối xứng tâm I(1; 2). b) Phép quay Q .
(O;90 )
Giải
a) Ta có : M (x ;y ) = Đ (M) thì biểu thức
I
∆ −
−
′ ′ ′
o
x 2 x x 2 x
tọa độ M
y 4 y y 4 y
Vì M(x;y) ( ) : 2x y+1= 0 2(2 x ) ( 4 y ) 1 0 2x y 9 0
M (x ;y ) ( ): 2x y 9 0

′ ′
 
= − = −
′
⇔
 
′ ′
= − − = − −
 
′ ′ ′ ′
∈ ∆ − ⇔ − − − − + = ⇔ − + + =
′ ′ ′ ′
⇔ ∈ ∆ − − =
I


′ ′

 
= α + = − α = − =
′
→ ⇒
  
′
α = −
 
′
= α + = α =


′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
∈ ∆ − − ⇔ + ⇔ ∈ ∆ + + =
∆
o
o
o
I
I
O;90 )
( ):x 2y 1 0
′
→ ∆ + + =
o
′ ′
• ∈ ∆ → − ∈ ∆


′ ′
• ∆ ⇒ ∆

−


o
o
g
g
(O;90 )
(O;90 )
Q
1
Cách 3 : Vì ( ) ( ) ( ) ( ) mà hệ số góc : k 2 k
2
Q
M(0;1) ( ) M (1;0) ( )
Qua M (1;0)
( ) : ( )
1
hsg ; k =
2
I
I
+ + = : x 2y 1 0
′
5 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho A(3;4) . Hãy tìm toạ độ điểm A là ảnh
o

(
o
(A) .
O ; 90 )
⇒ = ⇒ ⇔ ⇔ −
= ⇒ + = + =
o
o
uuuur uuur
o
7 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điểm M(4;1) . Tìm N = Q (M) .
(O ; 90 )
HD :
Vì N = Q (M) (OM;ON) 90 OM.ON = 0 4x+y = 0 y= 4x (1)
(O ; 90 )
2 2
Do : OM ON x y 16 1 17 (2) .
Giải (1) và
− −
= −
o
(2) , ta có : N(1; 4) hay N( 1;4) .
Thử lại : Điều kiện (OM;ON) 90 ta thấy N( 1;4) thoả mãn .w
−
∈ ∈ =
−

= >
+ = ⇒


′
− + − =
o
o
2 2
9 Cho đường tròn (C) : (x 3) (y 2) 4 . Tìm (C ) = Q (C) .
(O ; 90 )
2 2
HD : Tìm ảnh của tâm I : Q (I) I ( 2;3) (C ):(x 2) (y 3) 4 .
(O ; 90 )
2 2
10 Cho đường tròn (C) : (x 2) (y 2 3) 5 . Tìm (C ) =
′ ′
= − ⇒ + + − =
o
o
Q (C) .
(O ; 60 )
2 2
HD : Tìm ảnh của tâm I : Q (I) I ( 2;2 3) (C ):(x 2) (y 2 3) 5 .
(O ; 60 )
′
− + − =
′ ′
= − + ⇒ − + + − − =
o
o
2 2
11 Cho đường tròn (C) : (x 2) (y 2) 3 . Tìm (C ) = Q (C) .
(O ; 45 )

= ⇔ − + =1 x y 2 0
- 24 -
N G U Y ỄN MI N H T IẾN – G V . T r ư ờng T H P T T ơ n Đứ c T h ắ n g – Đồ n g N a i
− − ∆ ⇒ ∆ + − =
+ − ∆
′ ′
∩ ∩ → −
⇒ ∆ −
o
o
13 Cho (d) : x 3y 1 = 0 . Tìm = Q (d) . ( ) : 3x y 1 0
(O ; 90 )
14 Cho (d) : 2x y 2 = 0 . Tìm = Q (d) .
(O ; 60 )
1 3
ảnh
HD : d Ox = A(1;0) , d Oy = B(0;2) A ( ; ),B ( 3;1)
2 2
( ) : ( 3 2
− + + =
)x (2 3 1)y 4 0
∆
o
o
15 Cho tam giác đều ABC có tâm O và phép quay Q .
(O;120 )
a) Xác đònh ảnh của các đỉnh A,B,C .
b) Tìm ảnh của ABC qua phép quay Q
(O;120 )
·

o o o
o
∆
′
= =
o
o o
17 Cho hình vuông ABCD tâm O . M là trung điểm của AB , N là trung điểm
của OA . Tìm ảnh của AMN qua phép quay Q .
(O;90 )
HD : Q (A) D , Q (M) M là trung điểm của A
(O;90 ) (O;90 )
w
′ ′ ′
= ∆ = ∆
o o
D .
Q (N) N là trung điểm của OD . Do đó : Q ( AMN) DM N
(O;90 ) (O;90 )
∆
18 [ CB-1.15 ] Cho hình lục giác đều ABCDEF , O là tâm đường tròn ngoại tiếp của nó . Tìm ảnh của
OAB qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O
= = =
= = =
uuur
uuur
o
o o o
uuur uuur uuur
o