CHỦ ĐỀ
6.

PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG
TRONG MẶT PHẲNG

Bài 01
PHÉP BIẾN HÌNH
Định nghĩa
Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy
nhất M ' của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng.
Nếu ký hiệu phép biến hình là F thì ta viết F ( M ) = M ' hay M ' = F ( M ) và gọi
điểm M ' là ảnh của điểm M qua phép biến hình F .
Nếu H là một hình nào đó trong mặt phẳng thì ta kí hiệu H / = F ( H ) là tập các
điểm M ' = F ( M ) , với mọi điểm M thuộc H . Khi đó ta nói F biến hình H thành
hình H / , hay hình H / là ảnh của hình ( H ) qua phép biến hình F .
Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó được gọi là phép đồng nhất.

Bài 02
PHÉP TỊNH TIẾN
1. Định nghĩa
Trong mặt phẳng cho vectơ v . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M '
sao cho MM ' = v được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ v .
Phép tịnh tiến theo vectơ v thường được lí
hiệu là Tv , v được gọi là vectơ tịnh tiến.

v
M'

Như vậy


A'

v

O'

d'

B'

A

R'

C'
O

d

R

C

B

3. Biểu thức toạ độ
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ v = (a; b ) . Với mỗi điểm M ( x ; y ) ta có

M ' ( x '; y ') là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo v . Khi đó
x '− x = a

B. 1.

C. 2.

D. Vô số.

Lời giải. Có đúng một phép tịnh tiến. Tịnh tiến theo vectơ–không. Chọn B.
Câu 3. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến một đường thẳng cho trước thành chính nó?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. Vô số.
Lời giải. Khi tịnh tiến đường thẳng theo vectơ v có phương cùng phương với đường
thẳng thì đường thẳng biến thành chính nó.
Mà có vô số vectơ v có phương cùng phương với đường thẳng.
Vậy có vô số phép tịnh tiến biến một đường thẳng thành chính nó. Chọn D.
Câu 4. Cho hai đường thẳng d và d ' song song với nhau. Có bao nhiêu phép tịnh
tiến biến d thành d ' ?
A. 1.

B. 2.

C. 3.

Lời giải. Trên d , d ' lần lượt lấy A, A ' bất kì.
Khi đó, d ' là ảnh của d qua phép tịnh tiến vectơ AA '.

D. Vô số.



M'

Câu 6. Cho đường thẳng a cắt hai đường thằng song song b và b ' . Có bao nhiêu
phép tịnh tiến biến đường thẳng a thành chính nó và biến đường thẳng b thành
đường thẳng b ' ?
A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. Vô số.

Lời giải. Giả sử a cắt b tại M ; cắt b '

b'

b

tại M '.

a

Khi đó vectơ MM ' là một vectơ tịnh tiến
thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B.

M

M'


Lời giải. Có vô số phép tịnh tiến theo vectơ k 2π với k ∈ ℤ. Chọn D.
Câu 9. Giả sử qua phép tịnh tiến theo vectơ v ≠ 0 , đường thẳng d biến thành đường
thẳng d '. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. d trùng d ' khi v là vectơ chỉ phương của d .
B. d song song d ' khi v là vectơ chỉ phương của d .
C. d song song d ' khi v không phải là vectơ chỉ phương của d .
D. d không bao giờ cắt d '.
Lời giải. Chọn B.
Câu 10. Cho hai đường thẳng song song d và d ' . Tất cả những phép tịnh tiến biến
d thành d ' là:
A. Các phép tịnh tiến theo vectơ v , với mọi vectơ v ≠ 0 có giá không song song với
giá vetơ chỉ phương của d .
B. Các phép tịnh tiến theo vectơ v , với mọi vectơ v ≠ 0 vuông góc với vec-tơ chỉ
phương của d .
C. Các phép tịnh tiến theo AA ' , trong đó hai điểm A và A ' tùy ý lần lượt nằm
trên d và d '.


D. Các phép tịnh tiến theo vectơ v , với mọi vectơ v ≠ 0 tùy ý.
Lời giải. Chọn C.
A sai, ví dụ lấy A và A ' tùy ý lần lượt nằm trên d và d ' . Khi đó, phép tịnh tiến theo
vectơ 2 AA ' sẽ không biến d thành d '.
B thiếu những vectơ có phương không vuông góc và không cùng phương với phương
của d .
D sai, vì v có phương cùng phương với phương của d thì d ≡ d '.
Câu 11. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
B. Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng.
C. Phép tịnh tiến biến tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho.
D. Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song với đường

A'

Nếu A ≡ M ⇒ A ' ≡ M ' 
→ AM = A ' M ' = 0.

v

A ≠ M → AA ' M ' M là hình bình hành → AM = A ' M ' .
A

Vậy ta luôn có AM = A ' M '. Chọn A.

M

Câu 14. Cho hình bình hành ABCD , M là một điểm thay đổi trên cạnh AB . Phép
tịnh tiến theo vectơ BC biến điểm M thành M ' . Mệnh nào sau đây đúng?
A. Điểm M ' trùng với điểm M .

B. Điểm M ' nằm trên cạnh BC .

C. Điểm M ' là trung điểm cạnh CD . D. Điểm M ' nằm trên cạnh DC .
Lời giải. Ta có TBC ( M ) = M ' ⇔ MM ' = BC 
→ M ' ∈ CD . Chọn D.
Câu 15. Một phép tịnh tiến biến điểm A thành điểm B và biến điểm C thành điểm
D. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. ABCD là hình bình hành.
B. AC = BD.
C. Trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.
D. AB = CD.
Lời giải. Chọn A. Phát biểu lại cho đúng là '' ABDC là hình bình hành '' .

Lời giải. Ta có 

→ u + v = MM 1 + M 1 M 2 = MM 2 .

T ( M ) = M ⇔ M M = v
1
2
1
2
 v
Đẳng thức MM 2 = u + v chứng tỏ phép tịnh tiến Tu +v biến M thành M 2 . Chọn D.
Câu 18. Cho hai điểm P , Q cố định. Phép tịnh tiến T biến điểm M bất kỳ thành

M ' sao cho MM ' = 2 PQ. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. T là phép tịnh tiến theo vectơ PQ.
B. T là phép tịnh tiến theo vectơ MM '.
C. T là phép tịnh tiến theo vectơ 2 PQ.
1
D. T là phép tịnh tiến theo vectơ PQ.
2
Lời giải. Đẳng thức MM ' = 2 PQ chứng tỏ phép tịnh tiến T2 PQ biến M thành M '.
Chọn C.
Câu 19. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho véctơ v = (a; b ). Giả sử phép tịnh tiến theo

v biến điểm M ( x ; y ) thành M ' ( x '; y ') . Ta có biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến theo
vectơ v là:
 x ' = x + a
A. 
.


Câu 20. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép biến hình f xác định như sau: Với
mỗi M ( x ; y ), ta có M ' = f ( M ) sao cho M ' ( x '; y ') thỏa mãn x ' = x + 2; y ' = y − 3.
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. f là phép tịnh tiến theo vectơ v = (2;3).
B. f là phép tịnh tiến theo vectơ v = (−2;3).
C. f là phép tịnh tiến theo vectơ v = (−2; −3).
D. f là phép tịnh tiến theo vectơ v = (2; −3).

 x ' = x + 2
Lời giải. Theo giả thiết, ta có 

→ v = (2; −3). Chọn D.
 y ' = y − 3
Câu 21. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A (2;5). Phép tịnh tiến theo vectơ
v = (1;2 ) biến A thành điểm A ' có tọa độ là:
A. A ' (3;1).

B. A ' (1;6 ).

C. A ' (3;7 ).

D. A ' (4;7).

→ AA ' = ( x − 2; y − 5).
Lời giải. Gọi A ' ( x ; y ) 
 x − 2 = 1  x = 3
Ta có Tv ( A ) = A ' ⇔ AA ' = v 
→ 
⇔
. Chọn C.


Lời giải. Giả sử M ( x ; y ) là điểm có ảnh là điểm A qua phép tịnh tiến theo vectơ

v = (1;2 ) 
→ MA = (2 − x ;5 − y ).
2 − x = 1  x = 1
Ta có Tv ( M ) = A ⇔ MA = v 
→ 
⇔
. Chọn A.
5 − y = 2  y = 3
Câu 24. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm M (−10;1) và M ' (3;8). Phép tịnh
tiến theo vectơ v biến điểm M thành M ' . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. v = (−13;7).

B. v = (13; −7).

C. v = (13;7).

D. v = (−13; −7 ).

Lời giải. Gọi v = (a; b ) .

3 − (−10 ) = a a = 13
→ 
⇔ 
Theo giả thiết: Tv ( M ) = M ' ⇔ MM ' = v 
. Chọn C.
8 −1 = b
b = 7

D. Bốn điểm A, B, C , D thẳng hàng.

Lời giải. Ta có đường thẳng CD là ảnh của đường thẳng AB qua phép tịnh tiến
vectơ v = (1;5).
Mà AB = (−2; −10 ) cùng phương v = (1;5)

→ AB ≡ CD 
→ Bốn điểm A, B, C , D thẳng hàng. Chọn D.

Câu 27. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng ∆ có phương trình

4 x − y + 3 = 0. Ảnh của đường thẳng ∆ qua phép tịnh tiến T theo vectơ v = (2; −1)
có phương trình là:
A. 4 x − y + 5 = 0. B. 4 x − y + 10 = 0.

C. 4 x − y − 6 = 0.

D. x − 4 y − 6 = 0.

Lời giải. Gọi ∆ ' là ảnh của ∆ qua phép Tv . Khi đó ∆ ' song song hoặc trùng với ∆
nên ∆ ' có phương trình dạng 4 x − y + c = 0.
Chọn điểm A (0;3) ∈ ∆ . Ta có Tv ( A ) = A ' ( x ; y ) ∈ ∆ '

x − 0 = 2
 x = 2
⇔ AA ' = v ⇔ 
⇔ 
⇒ A ' (2;2 ).
 y − 3 = −1  y = 2
Vì A ' ∈ ∆ ' nên 4.2 − 2 + c = 0 ⇔ c = −6 

→ ∆ ' : x − 2 = 0. Chọn B.


Câu 29. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy nếu phép tịnh tiến biến điểm A (2; −1) thành
điểm A ' (1;2 ) thì nó biến đường thẳng d có phương trình 2 x − y + 1 = 0 thành đường
thẳng d ' có phương trình nào sau đây?
A. d ' : 2 x − y = 0. B. d ' : 2 x − y + 1 = 0. C. d ' : 2 x − y + 6 = 0. D. d ' : 2 x − y −1 = 0.
Lời giải. Gọi v là vectơ thỏa mãn Tv ( A ) = A ' 
→ v = AA ' = (−1;3).
Ta có Tv (d ) = d ' 
→ d ' song song hoặc trùng với d . Suy ra d ' : 2 x − y + c = 0.

 x − 0 = −1  x = −1
Chọn M (0;1) ∈ d . Gọi M ' ( x ; y ) = Tv ( M )←
→ MM ' = v ⇔ 
⇔
 y −1 = 3
 y = 4

→ M ' (−1;4 ) ∈ d ' nên 2.(−1) − 4 + c = 0 ⇔ c = 6 
→ d ' : 2 x − y + 6 = 0. Chọn C.
Câu 30. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy nếu phép tịnh tiến biến điểm A (2; −1) thành
điểm A ' (2018;2015) thì nó biến đường thẳng nào sau đây thành chính nó?
A. x + y −1 = 0.

B. x − y −100 = 0.

C. 2 x + y − 4 = 0.

D. 2 x − y −1 = 0.

A. u = (0;2 ).

B. u = (−3;0 ).

C. u = (3;4 ).

D. u = (−1;1).

Lời giải. Gọi u = (α; β ) là vectơ tịnh tiến biến đường a thành a '.

 x '− x = α x = x '− α
Lấy M ( x ; y ) ∈ a. Gọi M ' ( x '; y ') = Tu ( M )←
→ MM ' = u ⇔ 
⇒
 y '− y = β  y = y '− β

→ M ' ( x '− α; y '− β ) . Thay tọa độ của M ' vào a , ta được 2 ( x − α ) − 3 ( y − β ) −1 = 0
hay 2 x − 3 y − 2α + 3β −1 = 0 . Muốn đường này trùng với a '
−2α + 3β − 1 = 5 .

khi và chỉ khi

(* )

Nhận thấy đáp án D không thỏa mãn (*) . Chọn D.
Câu 33. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng song song a và b lần lượt
có phương trình 2 x − y + 4 = 0 và 2 x − y −1 = 0 . Tìm giá trị thực của tham số m để
phép tịnh tiến T theo vectơ u = (m; −3) biến đường thẳng a thành đường thẳng b .



Lời giải. Từ giả thiết suy ra d là ảnh của ∆ qua phép tịnh tiến theo vectơ a = u + v .
Ta có a = u + v = (2;3) .

 x = x '− 2
Biểu thức tọa độ của phép Ta là 
thay vào ∆ ta được y '− 3 = −3 ( x '− 2) + 2
 y = y '− 3
←
→ y ' = −3 x '+ 11 . Chọn D.
Câu 35. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng ∆ có phương trình

5 x − y + 1 = 0 . Thực hiện phép tịnh tiến theo phương của trục hoành về phía trái 2
đơn vị, sau đó tiếp tục thực hiện phép tịnh tiến theo phương của trục tung về phía
trên 3 đơn vị, đường thẳng ∆ biến thành đường thẳng ∆ ′ có phương trình là
A. 5 x − y + 14 = 0.

B. 5 x − y − 7 = 0.

C. 5 x − y + 5 = 0.

D. 5 x − y −12 = 0.

Lời giải. Tịnh tiến theo phương trục hoành về phía trái 2 đơn vị tức là tịnh tiến theo
vectơ u = (−2;0 ) . Tịnh tiến theo phương của trục tung về phía trên 3 đơn vị tức là
tịnh tiến theo vectơ v = (0;3) . Thực hiện liên tiếp hai phép tịnh tiến này chính là ta
thực hiện phép tịnh tiến theo vectơ a = u + v = (−2;3).
Biểu

thức


đường thẳng a thành đường thẳng a ′ . Khi đó, độ dài bé nhất của vectơ u bằng bao
nhiêu?
A. 5.
B. 4.
C. 2.
D. 1.
Lời giải. Độ dài bé nhất của vectơ u bằng khoảng cách giữa hai đường a và a ′ .
Chọn D.
Câu 37. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ảnh của đường tròn (C ) : ( x + 1) + ( y − 3) = 4
2

qua phép tịnh tiến theo vectơ v = (3;2) là đường tròn có phương trình:
A. ( x + 2 ) + ( y + 5) = 4.

B. ( x − 2 ) + ( y − 5) = 4.

C. ( x −1) + ( y + 3) = 4.

D. ( x + 4 ) + ( y −1) = 4.

2

2

2

2

2



sau đây đúng?
A. (C ') : ( x + 3) + ( y + 1) = 1.

B. (C ') : ( x − 3) + ( y + 1) = 1.

C. (C ') : ( x + 3) + ( y + 1) = 4.

D. (C ') : ( x − 3) + ( y −1) = 4.

2

2

2

2

2

2

2

2

Lời giải. Đường tròn (C ) có tâm I (0;1), bán kính R = 1.
Gọi I ' ( x ; y ) là ảnh của I (0;1) qua phép tịnh tiến vectơ v = (−3; −2 ) .

x − 0 = −3  x = −3

D. u = (8; −10).

Lời giải. Đường tròn (C1 ) có tâm I 1 (1; −2) . Đường tròn (C 2 ) có tâm I 2 (−3;4 ) .
Vì Tu (C1 ) = (C 2 ) 
→Tu ( I 1 ) = ( I 2 ) ⇔ I 1 I 2 = u 
→ u (−4;6 ). Chọn A.
Câu 40. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C ) có phương trình

x 2 + y 2 + 4 x − 6 y − 5 = 0. Thực hiện liên tiếp hai phép tịnh tiến theo các vectơ

u = (1; −2 ) và v = (1; −1) thì đường tròn (C ) biến thành đường tròn (C ') có phương
trình là:
A. x 2 + y 2 −18 = 0.
C. x 2 + y 2 + x − 6 y − 5 = 0.

B. x 2 + y 2 − x + 8 y + 2 = 0.
D. x 2 + y 2 − 4 y − 4 = 0.

Lời giải. Từ giả thiết suy ra (C ') là ảnh của (C ) qua phép tịnh tiến theo a = u + v .
Ta có a = u + v = (2; −3) .

 x = x '− 2
Biểu thức tọa độ của phép Ta là 
thay vào (C ) ta được
 y = y '+ 3

( x '− 2) + ( y '+ 3) + 4 ( x − 2)− 6 ( y '+ 3) − 5 = 0 ←→ x '2 + y '2 −18 = 0. Chọn A.
2

2

J

I

ABC nên suy ra 2 IJ = BC .
Chọn D.

C

B

Câu 43. Cho hình bình hành ABCD có cạnh AB cố định. Điểm C di động trên đường
thẳng d cho trước. Quỹ tích điểm D là:
A. ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến TBA .
B. ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến TBC .
C. ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến TAD .
D. ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến TAC .
Lời giải. Do ABCD là hình bình hành nên ta có CD = BA . Đẳng thức này chứng tỏ
phép tịnh tiến theo vectơ BA biến điểm C thành điểm D .
Mà C ∈ d 
→ D ∈ d ' với d ' là ảnh của d qua phép tịnh tiến TBA . Chọn A.
Câu 44. Cho hình bình hành ABCD có cạnh AB cố định. Nếu ACB = 90 o thì quỹ
tích điểm D là:
A. ảnh của đường tròn tâm A bán kính AB qua phép tịnh tiến TAB .
B. ảnh của đường tròn tâm B bán kính AB qua phép tịnh tiến TAB .
C. ảnh của đường tròn đường kính AB qua phép tịnh tiến TBA .
D. ảnh của đường tròn đường kính BC qua phép tịnh tiến TBA .
Lời giải. Ta có ACB = 90 o nên C di động trên
đường tròn đường kính AB.
Do ABCD là hình bình hành nên ta có

Mà M thuộc (O , R ) , suy ra N thuộc đường tròn

(O ') là ảnh của (O ) qua phép tịnh tiến TAB .
Chọn B.

M
N
O

O'


Bài 03
PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC
1. Định nghĩa
Cho đường thẳng d . Phép biến hình biến mỗi
điểm M thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm
M khơng thuộc d thành M ' sao cho d là đường
trung trực của đoạn thẳng MM ' được gọi là phép
đối xứng qua đường thẳng d hay phép đối xứng
trục d .

M
d

M0
M'

Đường thẳng d được gọi là trục của phép đối xứng hoặc đơn giản gọi là trục đối xứng.
Phép đối xứng trục d thường được kí hiệu là Đd .

3. Tính chất
Tính chất 1
Phép đối xứng trục bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
Tính chất 2
Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành
đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành
đường tròn có cùng bán kính.
A
O

a
B

C

B'

C'

a'

R

R
O'

A'


4. Trục đối xứng của một hình

Chọn B.

D. Hình bình hành.

Câu 4. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Tam giác có trục đối xứng.
B. Tứ giác có trục đối xứng.
C. Hình thang có trục đối xứng.
D. Hình thang cân có trục đối xứng.
Lời giải. Hình thang cân có trục đối xứng
(đường thẳng đi qua trung điểm của hai cạnh
đáy).
Chọn D.
Câu 5. Trong các hình dưới đây, hình nào có nhiều trục đối xứng nhất?
A. Đoạn thẳng. B. Đường tròn.
C. Tam giác đều.
D. Hình vuông.
Lời giải. Đoạn thẳng có 1 trục đối xứng là đường trung trực của đoạn thẳng.
Đường tròn có vô số trục đối xứng là các đường thẳng đi qua tâm.
Tam giác đều có 3 trục đối xứng là các đường thẳng đi qua đỉnh và trung điểm cạnh
đối diện.
Hình vuông có 4 trục đối xứng.
Vậy hình tròn có nhiều trục đối xứng nhất. Chọn B.
Câu 6. Xem các chữ cái in hoa A, B, C, D, X, Y như những hình. Khẳng định nào sau
đây đúng?
A. Hình có một trục đối xứng là: A, Y. Các hình khác không có trục đối xứng.


B. Hình có một trục đối xứng: A, B, C, D, Y. Hình có hai trục đối xứng: X.
C. Hình có một trục đối xứng: A, B. Hình có hai trục đối xứng: D, X.

Câu 10. Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến một đường thẳng d cho trước thành
chính nó?
A. Không có phép nào.
B. Có một phép duy nhất.
C. Chỉ có hai phép.
D. Có vô số phép.
Lời giải. Gọi ∆ là đường thẳng vuông góc với đường thẳng d .
Khi đó, phép đối xứng trục ∆ biến d thành chính nó.
Có vô số đường thẳng ∆ vuông góc với d . Chọn D.
Câu 11. Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d ' . Có bao nhiêu phép đối xứng trục
biến d thành d ' ?
A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. Vô số.

Lời giải. Hai đường thẳng cắt nhau tạo ra 4 góc (2 cặp góc đối đỉnh bằng nhau).
Đường phân giác của 2 cặp góc đối đỉnh chính là 2 trục đối xứng biến d thành d '.
Chọn C.


Câu 12. Cho hai đường thẳng vuông góc với nhau a và b . Có bao nhiêu phép đối
xứng trục biến a thành a và biến b thành b ?
A. 0.

B. 1.


TH1: Trục đối xứng trùng với a , mà a tạo với b góc 60 0 
→ a không là trục đối
xứng để biến b thành b .
TH2: Trục đối xứng vuông góc với a , mà a tạo với b góc 60 0 
→ đường thẳng đó
không là trục đối xứng để biến b thành b.
Chọn A.
Câu 15. Cho hai đường thẳng song song d và d ' . Có bao nhiêu phép đối xứng trục
biến mỗi đường thẳng thành chính nó ?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. Vô số.
Lời giải. Đường thẳng ∆ vuông góc với d và d ' sẽ biến d và d ' thành chính nó.
Có vô số đường thẳng ∆ vuông góc với d và d ' . Chọn D.
Câu 16. Cho hai đường thẳng song song d và d ' . Có bao nhiêu phép đối xứng trục
biến đường thẳng d thành đường thẳng d '?
A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. Vô số.

Lời giải. Chọn A. Trục đối xứng là đường thẳng song song và cách đều d và d '.
Câu 17. Cho hai đường thẳng song song a và b , một đường thẳng c vuông góc với
chúng. Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến mỗi đường thẳng đó thành chính nó?
A. 0.
B. 1.

Chọn B.
Câu 19. Đồ thị của hàm số y = cos x có bao nhiêu trục đối xứng?
A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. Vô số.

Lời giải. Hàm số y = cos x là hàm số chẵn nên đồ thị nhận đường thẳng x = 0 (trục
tung) làm trục đối xứng.
Lại có các đường thẳng cách trục tung một đoạn bằng một số nguyên lần π cũng là
trục đối xứng của đồ thị. Chọn D.
Câu 20. Phép đối xứng trục Ñ∆ biến hình vuông ABCD thành chính nó khi và chỉ
khi
A. Một đường chéo của hình vuông nằm trên ∆.
B. Một cạnh của hình vuông nằm trên ∆.
C. ∆ đi qua trung điểm của 2 cạnh đối của hình vuông.
D. A và C đều đúng.
Lời giải. Chọn D. (xem lại Câu 2)
Câu 21. Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I . Khẳng
định nào sau đây là đúng về phép đối xứng trục?
A. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua trục CD.
B. Phép đối xứng trục AC biến D thành C .
C. Phép đối xứng trục AC biến D thành B.
D. Cả A, B, C đều đúng .
Lời giải. Chọn C.
Câu 22. Phép đối xứng trục Ñ∆ biến một tam giác thành chính nó khi và chỉ khi
A. Tam giác đó là tam giác cân.

 x ' = 2
Gọi M ' ( x '; y ') = ÑOx  M ( x; y) thì 
⇔ 
. Chọn B.



 y ' = − y  y ' = −3
Câu 25. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy qua phép đối xứng trục Oy , điểm A (3;5) biến
thành điểm nào trong các điểm sau?
A. A1/ (3;5).
B. A2/ (−3;5).

C. A3/ (3; −5).

D. A4/ (−3; −5).

Lời giải. Biểu thức tọa độ qua phép đối xứng trục Oy :
 x ' = −x
x ' = −3
⇔ 
Gọi A ' ( x '; y ') = ÑOy  A ( x; y) thì 
. Chọn B.



 y ' = y
 y ' = 5
Câu 26. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A (1;5), B (−1;2 ),





 y ' = y
 y ' = 1
Câu 27. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi a là đường thẳng có phương trình
x + 2 = 0. Phép đối xứng trục Đa biến điểm M (4; −3) thành M ' có tọa độ là:
A. (−6; −3).

B. (−8; −3).

C. (8;3).

D. (6;3).

Lời giải. Đường thẳng b qua M và vuông góc với a có phương trình b : y + 3 = 0.
 x + 2 = 0
Gọi H = a ∩ b, tọa độ điểm H là nghiệm của hệ 
⇒ H (−2; −3).
a

 y + 3 = 0
Theo giả thiết: Đa ( M ) = M ' ( x '; y ') → H là trung điểm của MM '

 x ' = 2 x H − x M
 x ' = −8
⇔ 
⇒ 

→ M ' (−8; −3). Chọn B.

 y ' = x
 y ' = 2
Câu 29. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng ∆ có phương trình

2 x − y + 1 = 0 và điểm A (3;2 ). Trong các điểm dưới đây, điểm nào là điểm đối xứng
của A qua đường thẳng ∆ ?
A. A1/ (−1;4 ).

B. A2/ (−2;5).

Lời giải. Đường thẳng d
d : x + 2 y −7 = 0

qua

C. A3/ (6; −3).

A

D. A4/ (1;6).

và vuông góc với ∆

có phương trình

 x = 1
2 x − y + 1 = 0
Gọi H = d ∩ ∆, tọa độ điểm H là nghiệm của hệ 
⇔ 
⇒ H (1;3).



 y ' = −x
 y ' = −5
Câu 31. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A (0; 4 ), B (−2;3),

C (6; −4 ). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và a là đường phân giác của góc phần
tư thứ nhất. Phép đối xứng trục Đa biến G thành G ' có tọa độ là:
4 
 4 
 4
A.  ;1.
B. − ;1.
C. 1; .
D.
 3 
 3 
 3 
4 
Lời giải. Tọa độ trọng tâm G  ;1.
 3 



−1; − 4 .


3

Đường phân giác a của góc phần tư thứ nhất có phương trình x − y = 0 hay y = x .

Ta có AA ' = (0;4 ) = 4.(0;1).
Đường thẳng a qua điểm H và có một VTPT n = AA ' = (0;4 ) nên có phương trình

a : y = 3. Chọn A.
Câu 33. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , nếu phép đối xứng trục biến điểm M (2;3)
thành M ' (3;2) thì nó biến điểm C (1; −6 ) thành điểm:
A. C ' (4;16 ).

B. C ' (1;6 ).

C. C ' (−6;−1).

D. C ' (−6;1).

Lời giải. Gọi Đa ( M ) = M ' → a là đường trung trực của đoạn thẳng MM '.

5 5
→ I  ; .
Gọi I là trung điểm đoạn thẳng MM ' 
 2 2 
Đường thẳng a qua điểm I và có một vtpt n = MM ' = (1; −1) nên có phương trình

a : x − y = 0 hay a : y = x (đường phân giác góc phần tư thứ nhất).
Suy ra C ' (−6;1). Chọn D.
Câu 34. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng a và b lần lượt có
phương trình x = 2 và x = 5. Thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng trục Đa , Đb (theo
thứ tự). Điểm M (−2;6) biến thành điểm N có tọa độ là
A. (−4;6 ).
Lời giải.



C. −x + y − 2 = 0.

D. x − y + 2 = 0.

Lời giải. Trục Ox có phương trình y = 0.

 x + y − 2 = 0
Tọa độ giao điểm A của d và Ox thỏa mãn hệ 
⇒ A (2;0 ).

 y = 0
Vì A ∈ Ox nên qua phép đối xứng trục Ox biến thành chính nó, tức A ' ≡ A (2;0 ).
ĐOx
Chọn điểm B (1;1) ∈ d →
B ' (1; −1).


Vậy đường thẳng d ' là ảnh của d qua phép đối xứng trục Ox đi qua hai điểm

A ' (2;0) và B ' (1; −1) nên có phương trình x − y − 2 = 0. Chọn A.
 x ' = x
 x = x '
Cách 2. Biểu thức tọa độ qua phép đối xứng trục Ox là 
⇒ 
. Thay

 y ' = − y  y = − y '
vào d , ta được x '− y '− 2 = 0.
Câu 36. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng ∆ có phương trình

Câu 38. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d

có phương trình

3 x + y −1 = 0 . Xét phép đối xứng trục ∆ : 2 x − y + 1 = 0 , đường thẳng d biến thành
đường thẳng d ' có phương trình là:
A. 3 x − y + 1 = 0. B. x + 3 y − 3 = 0.

C. x − 3 y + 3 = 0.
D. x + 3 y + 1 = 0.
3 x + y −1 = 0
Lời giải. Tọa độ giao điểm A của d và ∆ thỏa mãn hệ 
⇒ A (0;1).

2 x − y + 1 = 0
Vì A ∈ ∆ nên qua phép đối xứng trục ∆ biến thành chính nó, tức A ' ≡ A (0;1).
----------------------------------------------------------------------------------------Chọn điểm B (1; −2 ) ∈ d .
Đường thẳng đi qua điểm B và vuông góc với ∆ có phương trình ℓ : x + 2 y + 3 = 0 .
2 x − y + 1 = 0
Gọi H = ∆ ∩ ℓ , suy ra tọa độ điểm H thỏa hệ 
⇒ H (−1; −1).

 x + 2 y + 3 = 0
Gọi B ' ( x '; y ') là điểm đối xứng của B qua ∆ → H là trung điểm của BB '

 x ' = −3
 x ' = 2 x H − x B
⇔ 
⇒ 
⇒ B ' (−3;0 ).

2

Lời giải. Đường tròn (C ) có tâm I (1; −2 ) và bán kính R = 2.
ĐOx
ĐOx
Ta có I (1; −2) →
I ' (1;2) và R = 2 →
R ' = R = 2.

Do đó (C ') có phương trình ( x −1) + ( y − 2 ) = 4. Chọn C.
2

2

 x ' = x
 x = x '
Cách 2. Biểu thức tọa độ qua phép đối xứng trục Ox là 
. Thay
⇒ 

 y ' = − y  y = − y '
vào (C ) , ta được ( x '−1) + (− y '+ 2 ) = 4 hay ( x '−1) + ( y '− 2) = 4.
2

2

2

2


2

Lời giải. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục d : y − x = 0 (đường phân giác
 x ' = y
2
2
góc phần tư thứ nhất) là 
. Thay vào (C ) , ta được ( y '+ 1) + ( x '− 4 ) = 1 hay

 y ' = x

( x − 4 ) + ( y + 1) = 1. Chọn B.
2

2

Câu 41. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường tròn (C ) : ( x −1) + ( y − 2 ) = 4 và
2

2

(C ′) : ( x − 3)

2

+ y 2 = 4. Viết phương trình trục đối xứng của (C ) và (C ′).

A. y = x + 1.

B. y = x −1.


D. y = − x 2 + 4 x − 3.
 x = x '
Lời giải. Biểu thức tọa độ qua phép đối xứng trục Ox là 
. Thay vào ( P ) , ta

 y = − y '
được − y ' = x '2 − 2 x '+ 3 hay y ' = −x '2 + 2 x '− 3. Chọn C.
Câu 44. Cho góc nhọn xOy và điểm A thuộc miền trong của góc đó, điểm B thuộc
cạnh Ox ( B khác O ). Tìm C thuộc Oy sao cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhất?
A. C là hình chiếu của A trên Oy.


B. C là hình chiếu của B trên Oy.
C. C là hình chiếu trung điểm I của AB trên Oy.
D. C là giao điểm của BA '; A ' đối xứng với A qua Oy.
Lời giải. Gọi M là điểm đối xứng với A qua Ox . Vì B ∈ Ox nên suy ra BA = BM .
Gọi N là điểm đối xứng với A qua Oy Vì C ∈ Oy nên suy ra CA = CN .
Chu vi tam giác: P∆ABC = AB + BC + CA = BM + BC + CN .

(* )

Theo bất đẳng thức tam giác mở rộng, ta có
MB + BC ≥ MC và MC + CN ≥ MN .

M

Kết hợp với (∗) , suy ra

x

A
C'

BB ′ ⊥ AC
Ta có 
⇒ AC ′H = AB ′H = 90 0

CC ′ ⊥ AB
⇒ tứ giác AB ′HC ′ là tứ giác nội tiếp.
Suy ra B ′AC ′ + B ′HC ′ = 180 0.

B'

(1)
B

(2 )

H
C
A'
H'

Từ (1) và (2 ) , suy ra BH ′C + BAC = 180 0. Vậy tứ giác ABH ′C là tứ giác nội tiếp.
Chọn B.


Baứi 04
PHEP ẹOI XệNG TAM
1. nh ngha

Vi I (a; b ) , ta cú M '( x '; y ') = ẹI M ( x; y ) thỡ
.



y ' = 2b y

3. Tớnh cht
Tớnh cht 1
Nu ẹI ( M ) = M ' v ẹI ( N ) = N ' thỡ M ' N ' = MN , t ú suy ra M ' N ' = MN .
M

N
I
M'
N'

Tớnh cht 2
Phộp i xng tõm bin ng thng thnh ng thng song song hoc trựng
vi nú, bin on thng thnh on thng bng nú, bin tam giỏc thnh tam giỏc
bng nú, bin ng trũn thnh ng trũn cựng bỏn kớnh.
A
A
B
A
C
O
B
I
I

A. Hình vuông.
B. Hình tròn.
C. Hình tam giác đều.
D. Hình thoi.
Lời giải. Chọn C. (Hình vuông và hình thoi có tâm đối xứng là giao điểm của hai
đường chéo).
Câu 4. Trong các hình sau đây, hình nào không có tâm đối xứng?
A. Hình gồm một đường tròn và một hình chữ nhật nội tiếp.
B. Hình gồm một đường tròn và một tam giác đều nội tiếp.
C. Hình lục giác đều.
D. Hình gồm một hình vuông và đường tròn nội tiếp.
Lời giải. Chọn B. Vì tam giác đều không có tâm đối xứng.
Câu 5. Trong các hình dưới đây hình nào không có tâm đối xứng ?
A. Đường elip.
B. Đường hypebol.
C. Đường parabol.
D. Đồ thị hàm số y = sin x .
Lời giải. Chọn C.
Câu 6. Hình gồm hai đường tròn phân biệt có cùng bán kính có bao nhiêu tâm đối
xứng ?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. Vô số.
Lời giải. Chọn B. Có một tâm đối xứng chính là trung điểm của đoạn thẳng nối hai
tâm của hai đường tròn.
Câu 7. Có bao nhiêu phép đối xứng tâm biến một đường thẳng a cho trước thành
chính nó?
A. 0.
B. 1.