-46-
Chơng 4
Trọng tâm của vật rắn
4.1. Tâm của hệ lực song song
Hệ lực song song (
F
r
1
,
2
F
r
, ...
n
F
r
) luôn có hợp lực
R
r
song song với các lực
đã cho. Theo lý thuyết về hệ lực, hợp lực
R
r
đợc xác định bởi biểu thức:
R
r
=
F
r
1
+

C
y
C
x
C
R
r
'
R
r

4
r
r
r
r
'
4
A
4
3
r
r
r
r
'
3
A
3
2

n
1i
m
y
(F
n
i
);
Hình 4.1
R.X
c
=

=
n
1i
F
i
x
i
;
hay X
c
=
R
xF
n
1i
ii


n
1i
ii

=
; (4-2)
Z
c
=
R
zF
n
1i
ii

=
.
Nh vậy có thể xác định hợp lực của hệ lực song song nhờ các biểu thức
(4-1) và (4-2)
4.2. Trọng tâm của vật rắn
Coi vật rắn là tập hợp của n phần tử có trọng lợng
P
r
1
,
P
r
2
...
P

; (4-3)
-48-
Z
c
=
P
zP
n
1i
ii

=
.
Trong đó
P
r
i
và là trọng lợng của phần tử thứ i trong vật, và trọng lợng
của cả vật, còn x
P
r
i
, y
i
, z
i
là toạ độ của phần tử thứ i.
Nh vậy trọng tâm của vật là một điểm C trên vật mà tổng hợp trọng
lợng của cả vật đi qua khi ta xoay vật đó ở bất kỳ chiều nào trong không gian.
4.3. Trọng tâm của một số vật đồng chất

; z
c
=
v
zv
n
1i
ii

=
.
4.3.2. Vật rắn là một tấm mỏng đồng chất
Gọi trọng lợng riêng của vật rắn là ( trọng lợng của một đơn vị diện
tích) ta sẽ có P
i
= .S
i
và P = .S ở đây S
i
và S là diện tích của phần tử thứ i của
vật và diện tích toàn vật. Toạ độ trọng tâm của vật trong hệ toạ độ oxy chứa vật
xác định theo biểu thức sau:
x
c
=
S
xS
n
1i
ii

n
1i
ii

=
; y
c
=
L
yL
n
1i
ii

=
; z
c
=
L
zL
n
1i
ii

=
.
4.3.4. Vật rắn đồng chất có một tâm, một trục hay một mặt phẳng đối xứng
Ta có nhận xét rằng trên vật bao giờ cũng tìm đợc hai phần tử đối xứng
có trọng lợng P
1


C
3

y
Hình 4.2
Bảng 4.1
C
1
C
2
C
3
x
i
y
i
S
i
-1
1
4
1
5
20
5
9
12
x
Sau đây ta vận dụng những kết quả trên

=
S
SxSxSx
332211
++
=
36
60204
++
= 2
9
1
cm
y
c
=
S
SySySy
332211
++
=
36
1081004
++
= 5
9
8
cm
Trọng tâm C của vật hoàn toàn đợc xác định.
Thí dụ 4.2. Tìm toạ độ trọng tâm của tấm phẳng giới hạn bởi hai đờng

2
.Diện tích cả vật là :
R
C
2

C
1
C
r
a
y
S = S
1
+ S
2
= (R
2
- r
2
)
Hình 4.3