CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA

GV:NGUYỄN XUÂN TOÀN-TRƯỜNG THPT NGUYỄN DIÊU

CHỦ ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
Các nội dung kiến thức sau đây được xét trong không gian với hệ tọa độ Oxyz.
1.Tọa độ của vectơ, tọa độ của điểm.

r
r r r
r
v = xi + yj + zk ⇔ v = (x; y; z)
uuuu
r
r r r
OM = xi + yj + zk ⇔ M (x; y; z)
uuu
r
A(xA; yA; zA ) ; B(xB ; yB ; zB ) ⇒ AB = (xB − xA; yB − yA; zB − zA )




x
 I là trung điểm của AB ⇔ { x =

+ xB
y +y
z +z
; yI = A B ; zI = A B }

1− k
r
ur 1− k
2.Một số tính chất và kết quả thường dùng: Cho v = (x; y; z) ; v' = (x'; y'; z')
r ur
 v ± v' = (x ± x'; y ± y'; z ± z')
r
 kv = (kx; ky; kz)
r ur
 kv ± hv' = (kx ± hx'; ky ± hy'; kz ± hz')
r ur
 v = v' ⇔ {x = x'; y = y'; z = z'}
r
r
3.Tích vô hướng, tích có hướng. Cho : a = (x1; y1; z1) ; b = (x2; y2; z2 )
rr
 a.b = x1.x2 + y1.y2 + z1.z2
r r
 a ⊥ b ⇔ x1.x2 + y1.y2 + z1.z2 = 0
r
uuu
r
2
2
2
2
2
2
 a = x1 + y1 + z1 ; AB = ( x − x ) + ( y − y ) + ( z − z ) .
B

  y z z x x y ÷
 2 2 2 2 2 2
r r
r
r r
r
 a, b ⊥ a ;  a, b ⊥ b
 
 
2
r r
r r
r r
 a, b = a . b .sin(a, b) =  y1 z1  +  z1 x1

÷
 
÷  z x
y
z
 2 2  2 2
r r
r r
r r
r r
r r
 a, b = −  b, a ; λ a, b =  a, λ b = λ  a, b
 
 


 

My website: />
10

Email:

Mobile: 0905700948


CHUN ĐỀ ƠN THI THPT QUỐC GIA

GV:NGUYỄN XN TỒN-TRƯỜNG THPT NGUYỄN DIÊU

r
r
r r
r
a khô
ng cù
ng phương b ⇔  a, b ≠ 0
 
uuu
r uuur
r


A
,
B

r r r
a, b, c đồ
ng phẳ
ng ⇔  a, b c = 0
 
r r r
r r r
ng đồ
ng phẳ
ng ⇔  a, b c ≠ 0
 a, b, c khô
 
uuu
r uuur uuur
ng phẳ
ng ⇔  AB, AC  AD = 0
 A, B,C , D đồ


uuu
r uuur uuur
nh củ
a tứdiệ
n ⇔  AB, AC  AD ≠ 0
 A, B,C , D là4 đỉ




6.Cơng thức diện tích, thể tích.

 PTTQ của (P) qua M0(x0;y0;z0) và có VTPT n = ( A; B;C ) có dạng:
A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0
r
r
 Mặt phẳng (P) nhận a = (x1; y1; z1) ; b = (x2; y2; z2 ) làm cặp VTCP có VTPT là:


PTTQ của (P) :

r
r r y z z
n =  a, b =  1 1 ; 1
  y z z
 2 2 2


÷
÷

x y z
 Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: + + = 1
a b c


x1 x1
;
x2 x2

y1
y2


Email:

Mobile: 0905700948


CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA

GV:NGUYỄN XUÂN TOÀN-TRƯỜNG THPT NGUYỄN DIÊU

 x = x0 + at

 PTTS :  y = y0 + bt
 z = z + ct
0



PTCT:

x − x0 y − y0 z − z0
=
=
a
b
c

9.Vị trí tương đối.
a)Giữa 2 mặt phẳng :


 M0 ∈ (P ) ⇒ M0 ∉ (P ')
Cho

(P):

b)Giữa 2 đường thẳng:

r
x − x0 y − y0 z − z0
đi qua M0(x0;y0;z0) có VTCP u = (a; b; c) .
=
=
a
b
c
ur
x − x'0 y − y'0 z − z'0
d’:
đi qua M’0(x’0;y’0;z’0) có VTCP u' = (a'; b'; c') .
=
=
a'
b'
c'
r ur uuuuuuur
d đồng phẳng d’⇔ u, u' .M0M '0 = 0


r ur uuuuuuur
 u,u' .M M ' = 0   r ur  uuuuuuur

r ur uuuuuuur r
d chéo d’⇔ u, u' .M0M '0 ≠ 0


Cho d:











c)Giữa đường thẳng và mặt phẳng :

r
x − x0 y − y0 z − z0
đi qua M0(x0;y0;z0) có VTCP u = (a; b; c) .
=
=
a
b
c
r
(P) : Ax + By + Cz + D = 0 có VTPT n = ( A; B;C )
r r
rr

r
r
 d ⊥ (P) ⇔ u cùng phương n ⇔ u, n = 0 ⇔ a : b : c = A : B : C .
 
10.Khoảng cách:
a)Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng :

d(M0,(P )) =

Ax0 + By0 + Cz0 + D

A2 + B2 + C 2
uuuuuur r
 M M ,u
 0 1 
b)Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng : d(M1, ∆ ) =
r
u
r ur uuuuuuur
 u,u' .M M '

 0 0
c)Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau : d(∆, ∆ ') =
r ur
 u,u'


11.Góc.

r ur

r ur =
c)Góc giữa 2 mặt phẳng :
n . n'
A2 + B2 + C 2 . A'2 + B '2 + C '2
12.Phương trình mặt cầu.Giao của mặt cầu và mặt phẳng .


(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 có tâm I(a;b;c), bán kính R.



x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 với A2 + B2 + C 2 − D > 0

A2 + B2 + C 2 − D
 Cho (S): (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 và ( ) : Ax + By + Cz + D = 0
Có tâm I(-A;-B;-C), bán kính R=

d = IH = d(I ,(P )) =

A.a + B.b + C.c + D
A2 + B2 + C 2

(H là hình chiếu ⊥ của I lên (P)

Taâ
mH

+) IH
 MF1 , MF2: hai bán kính qua tiêu của M.
2.Phương trình, các yếu tố, tiếp tuyến, điều kiện tiếp xúc.
(E)

Elip tâm O, tiêu điểm trên Ox
2

Elip tâm O, tiêu điểm trên Oy

2

x y
+
= 1 ,(a > b > 0 vaøa2 = b2 + c2 )
a2 b2

Phương trình

x2 y2
+
= 1 ,(a > b > 0 vaøa2 = b2 + c2 )
b2 a2

(Dạng chính tắc)
Tiêu điểm

F1(−c;0) , F2 (c;0)

F1(0; −c) , F2 (0; c)



r1 = MF1 = a + ey

r2 = MF2 = a − ey

Phương trình đường chuẩn

∆1 : x = −

Phương trình cạnh hình chữ
nhật cơ sở

Tiếp tuyến của (E) tại M0(x0;y0)
Điều kiện tiếp xúc với (d):
Ax+By+C=0

c
,(e
2.Phương trình, các yếu tố, tiếp tuyến, điều kiện tiếp xúc.
(H)

Hypebol tâm O, tiêu điểm trên Ox
2

Phương trình

2

x y
− 2 = 1 ,(c2 = a2 + b2 )
2
a b

Hypebol tâm O, tiêu điểm trên Oy

−

x2 y2
+ 2 = 1 ,(c2 = a2 + b2 )
2
b a

(Dạng chính tắc)
Tiêu điểm

F1(−c;0) , F2 (c;0)

F1(0; −c) , F2 (0; c)

,(e>1)

b
x
a

c
a

,(e>1)

b
x= ± y
a
10

Email:

Mobile: 0905700948


CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA

GV:NGUYỄN XUÂN TOÀN-TRƯỜNG THPT NGUYỄN DIÊU

*Nhánh phải (x ≥ a) : MF1 − MF2

Hai nhánh
Phương trình cạnh hình chữ
nhật cơ sở


r1 = MF1 = − a − ex

r2 = MF2 = a − ex

r1 = MF1 = − a − ey

r2 = MF2 = a − ey

*Công thức chung:

*Công thức chung:

r1 = a + ex
2 2
2
; r1.r2 = e x − a

r2 = a − ex
a
a
∆1 : x = − , ∆ 2 : x =
e
e
x.x0 y.y0
− 2 =1
a2
b
2 2
a A − b2B2 = C 2 ,(C ≠ 0)

 F: tiêu điểm ; ∆ :đường chuẩn.
 p=d(F,∆ ) :tham số tiêu. (p>0)
 MF: bán kính qua tiêu của M.
2.Phương trình, các yếu tố, tiếp tuyến, điều kiện tiếp xúc.
(P)
Phương trình

(P) có đỉnh O, tiêu điểm trên Ox

(P) có đỉnh O, tiêu điểm trên Oy

y = 2px (chính tắc)

y = −2px

x2 = 2py

x2 = −2py

Trục đối xứng
Tiêu điểm

Ox

Ox

Oy

Oy


e=1

e=1

e=1

e=1

2

Đường chuẩn
Tâm sai
Bán kính qua tiêu của
M(x;y) ∈ (P)
Tiếp tuyến của (P) tại
M0(x0;y0)
Điều kiện tiếp xúc với
(d): Ax+By+C=0

p
+x
2
y.y0 = p(x + x0 )

2

p
−x
2
y.y0 = − p(x + x0 )

1.Tọa độ của vectơ, tọa độ của điểm.

r

r

r

r

 v = xi + yj ⇔ v = (x; y)
My website: />
10

Email:

Mobile: 0905700948


CHUN ĐỀ ƠN THI THPT QUỐC GIA

GV:NGUYỄN XN TỒN-TRƯỜNG THPT NGUYỄN DIÊU

uuuu
r
r r
OM = xi + yj ⇔ M (x; y)
uuu
r
A(xA; yA ) ; B(xB ; yB ) ⇒ AB = (xB − xA; yB − yA )

r
 kv = (kx; ky) , k ∈ ¡
r ur
 kv ± hv' = (kx ± hx'; ky ± hy') , k , h ∈ ¡
r ur
 v = v' ⇔ {x = x'; y = y'}
r
r
3.Tích vơ hướng, độ dài véctơ, góc giữa hai véctơ. Cho : a = (x1; y1) ; b = (x2; y2 )
rr r r
r r
a
.
b
=
a
.
b
.cos
a
, b = x1.x2 + y1.y2

r r
rr
 a ⊥ b ⇔ a.b = 0 ⇔ x1.x2 + y1.y2 = 0
r
uuu
r
2
2


}

( )

4.Điều kiện cùng phương của 2 vectơ.






r
r
r
r
x y
a cù
ng phương b ⇔ ∃k ≠ 0: a = kb ⇔ 1 = 1
x2 y2
r
r
r
r
x y
a khô
ng cù
ng phương b ⇔ a ≠ kb,∀k ≠ 0 ⇔ 1 ≠ 1
x2 y2
uuu

(t:tham số)
y
=
y
+
bt
có
VTCP
u
=
a
;
b
(
)
0


 đi qua M 0 ( x0 ; y0 )
x − x0 y − y0
r
=
b)Phương trình chính tắc: Đường thẳng ∆ : 
có pt chính tắc
, ab ≠ 0 .
a
b
có
VTCP
u

VTPT
n
=
a
;
b
(
)


d)Phương trình theo đoạn chắn: Đường thẳng

∆ đi qua A ( a;0 ) và B ( 0; b ) có pt:

x y
+ = 1 , ab ≠ 0 .
a b

e)Phương trình theo hệ số góc: Dạng y = kx + b , với k là hệ số góc của đường thẳng.

 đi qua M 0 ( x0 ; y0 )
∆:
có pt : y = k ( x − x0 ) + y0 .
cóhsg k
r
b
-Nếu đường thẳng ∆ có một VTCP u = ( a; b ) , a ≠ 0 thì đường thẳng ∆ có hệ số góc k = .
a
Đường thẳng


r ur
a.a '+ b.b '
0
· , ∆ ' = cos n, n ' = r ur =
· , ∆ ' ≤ 900 .
đó cos ∆
. Lưu ý 0 ≤ ∆
2
2
2
2
n . n'
a +b . a' +b'
Cho hai đường thẳng

(

-Nếu ∆ :

)

(

(

)

(

)



)

∆ cắt ∆ ' ⇔

∆': a'x +b' y + c' = 0 .
VỊTRÍ TƯƠNG ĐỐ
I CỦ
A HAI ĐƯỜ
NG TRÒ
N
(C')

(C)

(C)

R

r

R

A
B

r

A


R

A
B

A

r

R

r

A
B

AB>R+r
R-r >AB

r

B

R

R-r >AB =0

k = k'


Cho hai đường thẳng ∆ : ax + by + c = 0 và ∆ ' : a ' x + b ' y + c ' = 0 .
Hai đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng ∆ và ∆ ' có phương trình:

ax + by + c
a +b
2

2

=±

a'x +b' y + c'
a '2 + b '2

11.Phương trình chùm đường thẳng.
Chùm đường thẳng đi qua giao điểm hai đường thẳng

∆ : ax + by + c = 0 và ∆ ' : a ' x + b ' y + c ' = 0 có phương trình:
α ( ax + by + c ) + β ( a ' x + b ' y + c ' ) = 0 , trong đó α , β ∈ ¡ và α 2 + β 2 ≠ 0 .

12.Phương trình đường tròn.
a)Phương trình chính tắc: Đường tròn

( C)

tâm

I ( x0 ; y0 ) , bán kính R có phương trình chính tắc:

( x − x0 )


M
d

d < R ⇔ điểm M nằm trong đường tròn ( C ) .

14.Vị trí tương đối của một đường thẳng và một đường tròn.
Cho đường tròn



R

C ( I , R ) và đường thẳng ∆ : ax + by + c = 0 . Đặt d = d ( I , ∆ ) . Khi đó, ta có:

H

d > R ⇔ đường thẳng ∆ không có điểm chung với đường tròn ( C ) .

d = R ⇔ đường thẳng ∆ tiếp xúc với đường tròn ( C ) . (*Đây cũng là đk tiếp xúc giữa ∆ và ( C ) )

d < R ⇔ đường thẳng ∆ cắt đường tròn ( C ) tại hai điểm phân biệt M , N .
-Để tìm tọa độ giao điểm M , N trong trường hợp trên, ta sử dung phương pháp thế giải hệ 2 phương trình gồm phương trình đường


thẳng và phương trình đường tròn.
15. Đường elip.
a) Định nghĩa: Cho 2 điểm cố định

F1 và F2 , với F1 F2 = 2c , c > 0 . Đường elip là tập hợp các điểm M sao cho

+ A1 A2

My website: />
10

Email:

Mobile: 0905700948


CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA
16. Đường hypebol.
a) Định nghĩa: Cho 2 điểm cố định

GV:NGUYỄN XUÂN TOÀN-TRƯỜNG THPT NGUYỄN DIÊU

F1 và F2 , với F1 F2 = 2c , c > 0 . Đường hypebol là tập hợp các điểm M sao cho

MF1 − MF2 = 2a , trong đó 0 < a < c .
b) Phương trình chính tắc của hypebol (H):

x2 y2
− 2 = 1 , với a > 0, b > 0 và c 2 = a 2 + b 2 .
2
a
b

c) Các yếu tố của hypebol:
+ F1 ( −c, 0 ) và


c) Các yếu tố của parabol:

F .Tập hợp các điểm M cách đều F và ∆ được gọi

p 
, 0 ÷: tiêu điểm; ∆ : đường chuẩn; d ( F , ∆ ) = FP = p : tham số tiêu.
2 
+Gốc tọa độ O được gọi là đỉnh của ( P ) , Ox : trục đối xứng.
p
+Phương trình đường chuẩn: x = − .
2
+F

18. Đường cônic.
a) Định nghĩa: Cho điểm

F cố định và đường thẳng ∆ cố định không đi qua F .Tập hợp các điểm M sao cho tỉ số
MF
= e được gọi là đường cônic. ( e là một số dương cho trước)
d ( M , ∆)

b) Các yếu tố của cônic:
+ F : tiêu điểm; ∆ : đường chuẩn; e : tâm sai của cônic.
* Như vậy Elip, Hypebol, Parabol là các cônic lần lượt có tâm sai

e < 1, e > 1, e = 1 .

My website: />
10