ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

VŨ NGỌC BẢO

MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN
CÁC SỐ CHÍNH PHƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

VŨ NGỌC BẢO

MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN
CÁC SỐ CHÍNH PHƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số 60 46 01 13

Người hướng dẫn khoa học
GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU

THÁI NGUYÊN - NĂM 2015


.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.

2 Các dạng toán về số chính phương
2.1 Định nghĩa số chính phương . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Một số tính chất của số chính phương . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Tổng các ước của một số tự nhiên . . . . . . . . . .
2.2.2 Một số bài toán chọn lọc về hàm d(n), σ(n) và ϕ(n)
2.3 Tổng các bình phương của các số nguyên . . . . . . . . . .
2.3.1 Tổng của hai bình phương . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Tổng của ba bình phương . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Tổng của bốn bình phương . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Bài toán về tổng của năm bình phương . . . . . . .
2.4 Một số biểu diễn khác qua tổng các bình phương . . . . . .
2.4.1 Tổng của ba bình phương có hai bình phương bằng
nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Tổng của bốn bình phương có ba bình phương bằng
nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Bài tập tương tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5
5
5
5
6
6
7
7
7
7

3.4.1 Ứng dụng vào giải bài toán về số chính phương . . .
3.4.2 Tìm dấu hiệu chia hết . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Tìm chữ số tận cùng . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.4 Chứng minh sự chia hết . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Bài tập tương tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38
38
38
39
44
46
48
51
52
54
54
55
60
61
62

Tài liệu tham khảo

67


Mở đầu

3

3.2. Phạm vi nghiên cứu:
Nghiên cứu các tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi, kỷ yếu hội thảo các
chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi cấp tỉnh, cấp quốc gia, thi Olympic; tủ
sách chuyên Toán.


4

4. Phương pháp nghiên cứu:
Tham khảo các tài liệu bồi dưỡng cho giáo viên, bồi dưỡng học sinh
giỏi
Tham gia các buổi seminar: Các chuyên đề toán phổ thông, Các trường
hè bồi dưỡng nâng cao kiến thức chuyên môn để trao đổi các kết quả đang
nghiên cứu.

5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài:
Luận văn là một chuyên đề hướng tới bồi dưỡng học sinh giỏi bậc Trung
học cơ sở, Trung học phổ thông. Tạo được một đề tài phù hợp cho việc
giảng dạy, bồi dưỡng học sinh Trung học cơ sở, Trung học phổ thông.
Đề tài đóng góp thiết thực cho việc học và dạy các chuyên đề toán trong
trường Trung học cơ sở, Trung học phổ thông, đem lại niềm đam mê sáng
tạo trong việc dạy và học toán.

6. Cấu trúc của luận văn:
6. Cấu trúc của luận văn:
Ngoài phần Mở đầu và Kết luận, luận văn được chia thành ba chương
đề cập đến các vấn đề sau đây:
Chương 1 Đồng dư và đồng dư bậc hai.
Chương 2 Các dạng toán về số chính phương.
Chương 3 Một số dạng toán liên quan đến tổng và tích các lũy thừa.

Hệ thức (1.1) gọi là đồng dư thức.

1.1.2

Các tính chất của đồng dư thức

Tính chất 1.1.
a. Với mọi số nguyên ta có a ≡ a (mod m).
b. Nếu a ≡ b (mod m) thì b ≡ a (mod m).
c. Nếu a ≡ b (mod m) và b ≡ c (mod m) thì a ≡ c (mod m).
Tính chất 1.2. Nếu a ≡ b (mod m) và c là một số nguyên tùy ý thì

a ± c ≡ b ± c (mod m).
Tính chất 1.3.
a. Nếu a1 ≡ a2 (mod m); b1 ≡ b2 (mod m) thì

(a1 ± b1 ) ≡ (a2 ± b2 )

(mod m).

b. Nếu a1 ≡ a2 (mod m); b1 ≡ b2 (mod m) thì

(a1 × b1 ) ≡ (a2 × b2

(mod m).


6

Tính chất 1.4.

Các lớp thặng dư

1.2.1

Hệ thống thặng dư

Xét m là số nguyên dương lớn hơn 1. Ta đã biết mỗi số nguyên a đều
viết duy nhất dưới dạng: a = qm + r. (0
r
m − 1). Với mỗi r
(0 r m − 1); tập hợp Ar gồm tất cả các số nguyên khi chia cho m có
cùng số dư r được gọi là lớp thặng dư mod m và mỗi phần tử của Ar được
gọi là một thặng dư mod m.
Vì mỗi số nguyên a có duy nhất q và r (0
r
m − 1) sao cho
a = qm + r, nên a chỉ thuộc và chỉ thuộc duy nhất một lớp thặng dư mod
m là Ar . Hơn nữa tập hợp các lớp thặng dư mod m chính là tập hợp Z
các số nguyên. Nghĩa là:
m

Ar = Z; Ai ∩ Aj = φ
r=0

với mọi i = j (0 ≤ i, j ≤ m − 1)


7

Trong mỗi lớp thặng dư mod m lấy một thặng dư đại diện. Tập hợp m


Định lý Euler và định lý Fermat

Trong mục này ta trình bày hai định lý quan trọng của lý thuyết số
liên quan đến hai định lý đó là hàm số Euler ϕ(n). Bởi vậy trước hết ta
nhắc lại định nghĩa hàm số Euler và công thức tính nó.

1.3.1

Hàm số Euler ϕ(n)

Định nghĩa 1.2. Cho số tự nhiên n ≥ 1. Ta ký hiệu ϕ(n) là số các số tự
nhiên bé hơn n và nguyên tố với n. Quy ước ϕ(1) = 1.


8

Định lý 1.1. Hàm ϕ(n) có tính chất nhân tính theo nghĩa: Nếu a, b là
hai số nguyên tố cùng nhau thì

ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b).
Chứng minh.
Rõ ràng ta có thể giải thiết a > 1, b > 1.
vượt quá ab được liệt kê như sau:
2
1
a+1
a+2
..................
2a + 2

chính là các số nguyên tố với ab. Nói cách khác ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b).
Từ định lý này ta suy ra công thức tính ϕ(n) như sau.
Định lý 1.2. Giả sử n = pα1 1 . . . pαk k là phân tích tiêu chuẩn của n > 1.
Khi đó
1
1
1
ϕ(n) = n 1 −
1−
... 1 −
.
p1
p2
pk


Luận văn đầy đủ ở file: Luận văn full