SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT YÊN LẠC 2

ĐỀ KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 11
MÔN: TOÁN – NĂM HỌC 2017-2018
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Đề thi gồm: 01 trang

Câu 1 (2,0 điểm).
cos x
có tập xác định là ¡ .
3sin 5 x − 4cos 5 x − 2m + 3
sin x − 1
.
b. Giải phương trình 2(1 + cos x)(1 + cot 2 x) =
sin x + cos x
Câu 2 (1,0 điểm). Một tứ giác có bốn góc tạo thành một cấp số nhân và số đo góc lớn nhất gấp 8
lần số đo góc nhỏ nhất. Tính số đo các góc của tứ giác trên.
Câu 3 (1,0 điểm). Cho n là số nguyên dương thỏa mãn Cnn++41 − Cnn+3 = 4(n + 2) . Tìm hệ số của x 5
a. Tìm m để hàm số y =

trong khai triển nhị thức Niu – tơn của P = x(1 − 2 x) n + x 2 (1 + 3 x) 2 n .
Câu 4 (1,0 điểm). Cho hình đa giác đều H có 24 đỉnh, chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của hình H . Tính
xác suất để 4 đỉnh chọn được tạo thành một hình chữ nhật không phải là hình vuông?
3 6 f ( x) + 5 − 5
f ( x) − 20
= 10 .Tính A = lim
.
x →2
x →2
x−2

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT YÊN LẠC 2

ĐÁP ÁN KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI
11
MÔN: TOÁN – NĂM HỌC 2017-2018
Đáp án gồm: 05 trang

I. LƯU Ý CHUNG:
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh
làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó.
II. ĐÁP ÁN:
Câu
Nội dung trình bày
Điểm
1
(2,0 điểm)
a.(1,0 điểm).
Hàm số có tập xác định là ¡ khi và chỉ khi
0,25
f ( x) = 3sin 5 x − 4cos5 x − 2m + 3 > 0, ∀x ∈ ¡ .
3
4
2m − 3
, ∀x ∈ ¡ .
Ta có: f ( x) > 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ sin 5 x − cos5 x >
0,25
5

π
sin x + cos x ≠ 0
 x ≠ − 4 + kπ
0,25
1
sin x − 1
Pt ⇔ 2(1 + cos x). 2 =
sin x sin x + cos x
2
sin x − 1
⇔
=
⇔ sin x + cos x + sin x.cos x + 1 = 0
1 − cos x sin x + cos x
0,25
Đặt t = sin x + cos x = 2 sin( x +

π
), − 2 ≤ t ≤ 2, Phương trình trở thành:
4

t2 −1
t+
+ 1 = 0 ⇔ t = −1.
2

2

π
 π

0,25


Giả sử 4 góc A, B, C , D (với A < B < C < D) theo thứ tự đó tạo thành cấp số nhân
thỏa mãn yêu cầu với công bội q . Ta có: B = qA, C = q 2 A, D = q 3 A.
2
3
q = 2
 A + B + C + D = 360
 A(1 + q + q + q ) = 360
⇔ 3
⇔
.
Theo gt, ta có : 
0
 Aq = 8 A
 µA = 24
D = 8 A

3

µ = 480 , C
µ = 960 , D
µ = 1920.
Suy ra B
(1,0 điểm)
(n + 4)! ( n + 3)!
( n + 4)( n + 3) ( n + 3)( n + 1)
−
= 4(n + 2) ⇔

0,5
10

2
10
2
k
m
Xét khai triển: x (1 + 3 x) = x ∑ C10 (3x) , suy ra hệ số chứa x 5 ứng với m = 3 và
m =0

ta có a5 = C .3 = 3240.
Vậy hệ số của x5 trong khai triển là: a5 = 80 + 3240 = 3320.
(1,0 điểm)
4
Số phần tử của không gian mẫu là Ω = C24 = 10626.
Đa giác đều 24 đỉnh có 12 đường chéo qua tâm. Cứ 2 đường chéo qua tâm tương ứng
cho ta một hình chữ nhật hoặc hình vuông. Số hình chữ nhật và hình vuông được tạo
thành là C122 .
Giả sử A1 , A2 ,..., A24 là 24 đỉnh của hình H . Vì H là đa giác đều nên 24 đỉnh nằm
trên 1 đường tròn tâm O.
3600
·
= 150 với i = 1, 2,..., 23
Góc AOA
i
i +1 =
24
Ta thấy: ·A1OA7 = ·A7OA14 = ·A14OA21 = 900 , do đó A1 A7 A14 A21 là một hình vuông, xoay
hình vuông này 150 ta được hình vuông A2 A8 A15 A22 , cứ như vậy ta được 6 hình

10

4

5

3

0,25

0,25

0,5

0,25

0,25
0,25
0,5


= lim
x →2

6.g ( x)
( x + 3)( 3 (6 f ( x) + 5) + 5 3 6 f ( x) + 5 + 25)
2

=


 BC + AB = 3 10 + 5 2 − AC = 10 + 5 2
 AB = 10
2
2 1
5 2
AG = . AJ = . .BC =
.
3
3 3
3
a = 4
5 2
2
⇔ 3a − 22a + 40 = 0 ⇔ 
.
Gọi A(3a − 11, a ) ∈ AB . Ta có AG =
 a = 10
3
3

Với a = 4 ⇒ A(1;4)
10
10
Với a = ⇒ A(−1; ) (l ).
3
3
uuur 2 uur
uuu
r
uuur

4a 2
13a
CN = BN + CB =
+ a2 =
.
9
3
2

2

0,5

0,25

0,25

0,25
0,25


4a 2 7 a 2 13a 2
+
−
MN + MC − CN
9
9
9 =− 7.
=
Có cos CMN =

r 1 uuu
r
MH = CH − CM = xCD − ( CS + CB )
3
3
uuur uuuu
r uuur
ME = MH + HE
CD
Để
u
uur ME
uuur vuông góc
uuuu
r uđiều
uur ukiện
uur là: uuuu
r uuur
ME.CD = 0 ⇔ ( MH + HE ).CD = 0 ⇔ MH .CD = 0 do HE ⊥ CD.
r 1 uuu
r  uuur
uuur 2 2 uuu
r uuur
 uuur 2 uuu
⇔  xCD − ( CS + CB )  .CD = 0 ⇔ xCD − CS .CD = 0 do CB ⊥ CD
3
3
3



Theo viet ta có: 
b
x x + x x + x x = > 0
2 3
1 3
 1 2
a
1
Đặt t = (t > 0). Ta có:
a

0,25

0,25

0,25
0,25

0,25

0,25

0,25


x1 + x2 + x3 = x1 x2 x3 ≤ (

x1 + x2 + x3 3
t3
) (áp dụng BĐT Côsi) ⇒ t ≤


a =
3 3 thay vào thỏa mãn phương trình đã cho. Vậy min P = 27 − 30 3.
Với 
b = 3

Khi đó P =

0,25

0,25

0,25