101.Làmthếnàođểviệckiểmtra
bệnhđịnhkìíttốnkémnhất?
Ởmộtsốnướccónềnyhọctiêntiếnthườngcóviệckiểmtra
địnhkìmộtsốbệnhxãhội.Mộtphươngphápkiểmtrabệnhthông
thườnglàphươngphápthửmáu.Thôngquaviệcthửmáucóthểphát
hiệnsớmcácloạibệnhviêmgan,tả,nhiễmtrùngmáuvànhiềubệnh
khác,nhờđócóthểchẩnđoánvàchữatrịbệnhsớm.
Phươngphápthựchiệnkiểmtrathườnglà:Cácnhânviênytế
đếncácđiểmkiểmtragọimỗingườilấymộtítmáu,ghiphiếu,nhân
viênytếđemvềcơquankiểmtra,nghiêncứu,cuốicùngthôngbáo
kếtquảkiểmtrachotừngngườiđượckiểmtra.Phươngphápkiểm
tranàycóhiệuquả,tuynhiênquátrìnhkiểmtrakhátốncôngsức.
Liệucóphươngphápnàotiếtkiệmđượcsứclựchaykhông?Câutrả
lờilàcó.Chúngtanêulênmộtvídụđểthuyếtminhvấnđềnày.
Ởmộtthànhphốlớnnọngườitalấyđượcmộtsốlượnglớnmẫu
máutrongmộtcuộckiểmtrađịnhkì.Đểxửlísốlượngmẫumáurất
lớnnàycóthểcóhaiphươngán:Phươngánthôngthườnglàtiến
hànhnghiêncứutừngmẫumáu.Phươngánkhácchiacácmẫumáu
thànhtừngnhóm,mỗinhóm100mẫu.Sauđótừmỗinhómlấymỗi
mẫumộtlượngnhỏmáu(sốlượngmáuít)đemtrộnlẫnvớinhau,
saođótiếnhànhkiểmtrahỗnhợpmáuđãtrộn.Nếukếtquảkiểmtra
trongmẫuhỗnhợpnàylàâmtính,chứngtỏở100mẫumáuvừaxét
làkhôngcómầmbệnh.Nếukếtquảkiểmtramẫumáuhỗnhợplà
dươngtính(vídụbệnhviêmgan)thìtrongnhómmáuđãchọnmẫu
hỗnhợpítnhấtcómộtmẫumáucómầmbệnh.Đểkiểmtramẫumáu
nàocómầmbệnhtrong100mẫumáunàyphảitiếnhànhkiểmtracụ
thểtừngmẫumáutrongnhómnày.Thếdùngphươngánkiểmtra
nàothìtốthơn?
Nếudùngphươngánthứnhất,phảithựchiện100lầnkiểmtra
chomỗinhómmẫumáu;nếudùngphươngánhaithìcókhảnăngchỉ
tiếnhànhmộtlầnkiểmtra,hoặccóthểcókhảnăngphảilàm101lần

đấuchothểthứcthiđấuloạitrực
tiếp?
Giảsửởtrườngbạnđangtổchứcmộtcuộcthiđấucờtheothểlệ
đấuloạitrựctiếp,vídụsốngườighitênthiđấulà50,bạncóthểtính


đượcsốtrậnđấuđểdựavàođóbốtrílịchthiđấu,sốđấutrường.Nếu
bạnđượcgiaotổchứccuộcthiđấu,bạncótínhđượckhông?
Bởivìtrậnđấuchungkếtchỉxảyragiữahaingườicuốicùng,hai
ngườinàylạichọntừ22=4ngườitrongtrậnđấutrướcđó,màbốn
ngườinàylạiđượcchọntrựctiếptừ33=8ngườitrongcuộcđấu
trướcđó...Nếusốngườighitênđúngbằngcácluỹthừacủa2như2,
4(22),8(23),16(24),32(25)...thìchỉcầntheosốngườighitênthành
nhómtiếnhànhthiđấuchotừngnhóm,sauđóloạidầntừngbướclà
được.Giảsửsốngườighitênkhôngđúngbằngluỹthừanguyêncủa
2thìtrongthiđấucóvòngđượcmiễn.Nếutaxếp2ngườimộtthi
đấungaytừđầuthìsẽcómộtsốvòngđượcmiễnthiđấuởgiaiđoạn
giữahoặcgiaiđoạncuối,màcáctrậnđấuởgiaiđoạnnàythườngkhá
căngthẳngvìcácđấuthủngàycàngmạnh,cơhộiđượcmiễnhay
không,rõràngkhôngbìnhđẳng.Đểchocơhộitươngđốiđồngđều
khiếnthiđấungàycàngsôinổi,nóichungngườitathườngmiễnthi
đấuởvòngmột.Vì50làtrunggiangiữa32(25)và64(26)mà50-32
=18nênvòngđầucầnloại18đấuthủ,tứccầntiếnhànhthiđấu18
trậnđấuchovòngđầutứccó36ngườithamgiathiđấuvà14người
miễnthiđấu.Sauloạttrậnthiđấuởvòngmộtsẽloại18đấuthủvà
cònlại32người.Từvòngđấuthứhaisẽkhôngcòntrườnghợpmiễn
thiđấunữa.Vàởvònghaisẽcó16trậnđấu,vòngthứbacó8trận
đấu,vòngđấuthứtưcóbốntrậnđấu,vòngđấuthứnămsẽcóhai
trậnđấu.Vòngđấuthứsáusẽlàtrậnchungkếtđểgiànhchứcvôđịch.
Vậytổngcộngsốcáctrậnđấusẽlà18+16+8+4+2+1=49trậnso

103.Tínhsốtrậnthiđấutheothểthức
thiđấuvòngtrònmộtlượtnhưthế
nào?
Dùngthểthứcđấuloạitrựctiếpsốtrậnthiđấutươngđốiít,thời
gianthiđấungắn.Khisốngườighitênthiđấunhiềuthườngdùng
thểthứcnày.Thếnhưngthểthứcthiđấunàycónhượcđiểmlànếu
muốnđạtchứcvôđịchthìkhôngđượcphépcótrậnthuagiữachừng.
Vảlạinếucótrườnghợpdobốcthăm,cácđấuthủmạnhgặpnhau
trựctiếpquásớmmộtsốđộimạnhcóthểbịloạiquásớm,nênlàm
choáquânvàcácthứbậctiếpsaucókhicótrìnhđộchưaphùhợp
vớitrìnhđộthựctế.Vìvậytrongmộtsốcuộcthiđấugiảiđồngđội,số
đơnvịghitênthiđấukhôngnhiều,ngườitathườngkhôngdùngthể
thứcđấuloạitrựctiếpmàdùngthểthứcthiđấukhác:thểthứcthi


đấuvòngtròn.
Làmthếnàođểtínhsốtrậnđấutheothểthứcthiđấuvòngtròn?
Dướiđâytasẽxemmộtvídụ,vídụởmộttrườnghọccó15lớp,mỗi
lớpcómộtđộibóngthamgiathiđấu,nếucuộcthiđấuđượcthiđấu
theothểthứcthiđấuvòngtrònmộtlượt,xemxétcầntiếnhànhtổ
chứcbaonhiêutrậnđấu?
Nếudùngthểthứcthiđấuvòngtrònmộtlượt,mỗiđộisẽlầnlượt
thiđấumộttrậnvớimộtđộikhác.Nếucó15độithiđấu,mỗiđộiphải
thiđấuvới14độikhác,nênvới15độithiđấusẽcó15x14trậnđấu.
Nhưngmỗitrậncóhaiđộithiđấuvớinhaunênsốtrậnđấuchỉcòn
mộtnửanênsốtrậnđấuthựctếsẽlà(15x14)/2=105trận.
Talạixétsốtrậnđấutronggiảivôđịchbóngđáthếgiớinăm1998
ởPháp.Vòngchungkếtnàycó32độithamgia.Nếusuốttừđầuđến
cuốiđềuthiđấutheothểthứcthiđấuvòngtrònthìsốtrậnđấuphải
tổchứclà(32x31)/2=496trận.

đấucủacuộcthiđấuvôđịchbóngbànvới26độinamvà15độinữ
thamgia.Nếudùngthểthứcthiđấuvòngtrònmộtlượt.Nếuchia
thànhbabảng.Cácđộinamchiathànhhaibảngmỗibảngchínđộivà
mộtbảngtámđội,cácđộinữchiathànhhaibảngmỗibảngsáuđộivà
mộtbảngbảyđội.
Thựctếnhiềutrậnđấuđãkếthợphaithểthứcthiđấu.
Vòngchungkếtbóngđáthếgiớinăm1998,32độithiđấuđược
chiathànhtámbảng,trongmỗibảngdùngthểthứcthiđấuvòngtròn
mộtlượtvàtiếnhành48trậnthiđấu.Mỗibảnglạichọnmộtđộiđầu
bảngvàđộithứhaitấtcảcó16đội.Dùngthểthứcđấuloạitrựctiếp
đểchọntámđộimạnh.Sauđólạichọnthểthứcđấuloạitrựctiếptiến
hànhbốntrậnđấuchọnrabốnđộivào,lạidùngthểthứcđấuloại
trựctiếptiếnhànhhaitrậnđấuđểchọnhaiđộimạnhnhấtvàochung
kết:độivôđịchvàđộiáquân.Ngoàirangườitacònchothiđấumột
trậnđểchọnđội3và4.Nhưvậytổngsốcáctrậnđấusẽlà48+8+4
+2+1+1=64trậnđấu.
Từkhoá:Thểthứcđấuloạitrựctiếp;Thểthứcthiđấuvòng
trònmộtlượt.


104.Sắpxếplịchthiđấutheothểthức
thiđấuvòngtrònnhưthếnào?
Chúngtađãbiếtcáchtínhsốtrậnđấutheothểthứcthiđấuvòng
tròn.Thếnhưngviệcsắpxếplịchthiđấuthếnàođểcácđấuthủcó
thểgặpcácđấuthủkhácnhautrongcácvòngđấu?Taxemxétvídụ
vềcácđộinữtrongcuộcthiđấubóngbàntrongđócóhaibảng:một
bảngcósáuđội,mộtbảngbảyđội.Tathửsắpxếplịchthiđấucho
bảngcósáuđội,sáuđộinàythiđấutheothểthứcđấuvòngtrònmột
lượt.Kíhiệuxlàsốphiênhiệucácđộix∈{1,2,...,6},rkíhiệuxvòng
thiđấur∈{1,2,...,5}nhưvậymỗiđộiphảitiếnhànhnămvòngđấu.

gặptrởngạigì.

Ởvòngđấuthứba(r=3;x+y=8),khix=1,y=7vìkhôngcó
độibóngcóphiênhiệunày,nêntrongtrườnghợpnàytachọnx+y=
rthìx=1,y=2;x=2,y=1.Sauđólạiquayvềx+y=8thìx=3,y=
5;khix=4thìy=4nênbâygiờykhôngthểbằng4màlấybằng6.
Bằngcáchtươngtựngườitacóthểlậplịchthiđấuchothểthức


thiđấuvòngtròncủamộtbảngcó6đội.
Nhưvậynếusốcácđộighitênthiđấulàsốchẵn,thìmỗiđội
trongmộtvòngđấuđềucóđấuthủkhácnhau.Tuynhiênđâykhông
phảilàlịchđấuduynhất.Nếusốđộithamgiathiđấulàsốlẻ,thìcách
xếplịchthiđấunhưvừatrìnhbàysẽkhôngthíchhợp.
Từkhoá:Kháiniệmđồngdư.

105.Vìsaotrongcácbuổithiđấu,khi
tínhđiểmtrungbìnhngườitaphải
loạibỏcácđiểmsốquácaohoặcquá
thấp?
Trongmộtcuộcthihát,uỷviênchấmthithườngtuyênbốđiểm
số9,00,9,50,9,55,9,6,9,75,9,90.Nhưngkhitínhđiểmbìnhquân
ngườitađãbỏcácđiểmsốquábévàquálớnvàtínhđiểmbìnhquân
nhưsau:

Vìsaongườitalạibỏđicácđiểmquácaovàquáthấp?Đólàđể
loạibỏcácđiểmkhácthường.Điểmkhácthườnglànhữngsốquálớn
hoặcquábésovớisốbìnhquân.
Thôngthườngcácđiểmkhácthườnglàdotrọngtàisơývàcác
yếutốtâmlíhoặcquáphẫnnộhoặcquáphấnchấngâynên.Đểgiảm

bìnhquânkhôngphảnánhđúngmứcđộtrungbình.Thếnhưngnếu
loạibỏđiểmhỏngthìlấyđiểmbìnhquâncủatámsốcònlạiliệucó
đượckhông?Đươngnhiênkhôngđược.Bâygiờchỉlấyđiểmtrungvị
làthíchhợp.Điểmtrungvịlàtrungbìnhgiữađiểmsốthứnămvà
điểmsốthứsáu,tức70+72/2=71.
Sốđiểmlớnhơn71làtrêntrungbình,nhỏhơn71làdướitrung
bình.Nhưvậyđiểmtrungvịmớiphảnánhđúngmứctrungbình.


Đươngnhiênsốtrungbìnhcũngcóưuđiểmriêngtứclàcầnphải
chúýđếntấtcảcácsố.Việcloạibỏcácđiểmquálớnvàquábélàđã
kếthợpđượcưuđiểmcủahaiphươngpháp:vừaloạibỏgiátrịdị
thườngvừapháthuyđượctácdụngcủapheđasốtronghộiđồng
chấmthinênđólàphươngpháphợplí.
Từkhoá:Sốbìnhquân;Điểmtrungvị.

106.Vìsaothànhtíchchạy400mtiếp
sứclạicaohơnkhichạycựly100m?
Tháng10năm1968,tạiOlimpicmùahèMexico,namvậnđộng
viênMỹHayenxơđãchạy100méthết9,9”,lầnđầutiênđãchạy100
mdưới10”,đâylàmộtmốcquantrọngtronglịchsửđiềnkinh.Cũng
tạithếvậnhộinày,độichạytiếpsức400mnamcủaMỹvớithành
tích38”2,trungbìnhchạy100mhết9”6.


Điềurõrànglàcuộcchạytiếpsức400mlàdobốnngườikhác
nhauthựchiệnchạycựly100mkếtiếpnhau.Nếubốnvậnđộngviên
thựchiệncùngvớithànhtíchcủaHayenxơ,tứcthànhtíchchạy100
mhết9,9”thìbốnngườinàyphảichạyvớithờigian39,6”.Tạisao
vậy?Đểgiảiđápcâuhỏinày,ngườitaphảinhờcácnhàtoánhọc.

107.Làmthếnàotìmconđườngngắn
nhất?
Trongcuộcsốnghằngngàychúngtathườnggặpvấnđềsauđây:
CầntìmconđườngngắnnhấtđitừđiểmAđếnđiểmEnhưởhìnhvẽ.
Trênhìnhvẽcácđiểmcuốimỗiđoạnđườnglàmộtđịađiểm,đoạn
thẳngchỉconđườngnốigiữahaiđiểm,consốtrênmỗiđoạnthẳng
chỉcựlycủađoạnđường.
Trướchếtxindẫnraphươngphápthôngthường.Xemxéttấtcả
cáctuyếnđườngcóthểđi,tínhtoántổngcáccựly,từđóchọnđược
tuyếnđườngngắnnhất.TừAđếnEcó3.3.3.1đoạnđườngcóthểđi,
mỗituyếnđicầnthựchiệnbalầnphépcộng,cầnphảithựchiện81
phépcộng.Ngoàiracònphảitiếnhành26lầnphépsosánh,cuối
cùngsẽtìmđượctuyếnđườngngắnnhấtlàA→B2→C2→D3→E.
Cựlytươngứngbằng15.
Tadễdàngnhậnthấythựchiệnnhưphươngphápthôngthường
quảlàđơngiảnnhưngđểthựchiệnlạikhôngdễvìphảiquanhiềuđịa
điểm,thựchiệnquánhiềuphéptính.
Vậyliệucóphươngphápnàokháckhông?


GiảsửtachọnđượcconđườngngắnnhấtlàA→B2→C2→D3
→Ethìđoạnđườngnhỏtrongđóđitừhaiđiểmcủatuyếnđường
cũngphảilàngắnnhất,vídụC2→D3→Ecũngphảilàconđường
ngắnnhấttừC2đếnE.Nếukhông,khidùngphảnchứngtaphảitìm
đượcmộttuyếnđườngkhácngắnhơnvàđiềuđótráivớigiảthiết.
Tuyếnđườngngắnnhấtnhưmôtảởtrên,chúngtacóthểbắtđầutừ
cuốituyếnđườngtruydầntừngbướctasẽtìmđượctuyếnđường
ngắnnhấttừAđếnE.
Bướcthứnhất:TìmđoạnđườngngắnnhấttừDđếnE.
TừD1,D2,D3đếnEcócáctuyếnf(D1)=5,f(D2)=8,f(D3)=1.

ngànhkĩthuậtcôngtrình,quảnlíkinhtế,trongsảnxuấtcôngnghiệp
vàkĩthuậtquânsựvàngàycàngđượccoitrọng,thậmchícònđược
dùngtrongviệcchọnphạmvitrongmáytính.Bởivìnếudùng
phươngphápthôngthườngthìđếncảmáytínhcũngkhóthựchiện
hếtđượccácphéptính.
Từkhoá:Phươngpháptrậttựthường;Quytắcđộngthái.

108.Vìsaocálạihaynổilênlặnxuống
khibơitrongnước?
Nếuchúýquansátđàncábơilộitrongbểcábạnsẽthấychúng
luônlúcnổilênlúclặnxuống.Đóchínhlàcáchcáthựchiệnviệctiết
kiệmnănglượng.Thếtạisaocáchbơilộinàylạitiếtkiệmđượcnăng
lượng?
Giảsửcábơivớitốcđộkhôngđổiv.ChoDlàlựccảnmàcáphải
chịukhilặnvớitốcđộđó.ChoWlàkhốilượngtĩnhcủacá,αlàgóc
lặnxuốngcủacásovớiđườngnằmngang,βlàgóckhicánổilên.
Theocơhọckhicálặnsẽchịulựccảnthẳngđứnghướnglênbằng
phânlựccủakhốilượngtĩnhWkhichuyểnđộng.
D=Wsinα
KhicálặnlựccảnsẽbằngklầnlựcđẩytứclàbằngkD.Khicánổi
lênsẽcầnmộtlựcbằngtổngcủalựcnổivàphânlựccủalựccản
hướnglêndolựcđẩyKvớikhốilượngtĩnhW,tức
KD+Wsinβ=W(Ksinα+sinβ)


Khicálộitheophươngnằmngang,phânlựcdochuyểnđộng
hướnglênbằng0,lựccầnthiếtsẽlà
KD=WKsinα

Cònkhicálặnkhôngcầnlực.DođókhicábơitheođườngtừA

Vìsaongườitalạidùngloạiparabonbậcbay=kx3làmđoạn
trunggian?Đólàđặcđiểmvềđộcongcủacácloạiđườngcong.Thế
nàolàđộcongcủacácđườngcong?Nhưởhìnhvẽhaiđoạnđường
congC1vàC2cócùngđộdàilàA1B1vàA2B2,rõrànglàđộcongở
A1B1lớnhơnởA2B2nhiều.
Tavẽhaitiếptuyếntạicácđiểmđầuvàcuốicủacácđườngcong.
Cáctiếptuyếntạicácđiểmđầuvàcuốicủacácđườngcongtạothành


cácgócα1vàα2tươngứng.Rõrànglàα1>α2cónghĩalà,nếuđộ
congcủađườngcongcànglớnthìgóccủacáctiếptuyếnởđiểmđầu
vàđiểmcuốicủacácđườngcongcànglớn.Vậytacóthểdùnggóccủa
cáctiếptuyếntạiđiểmđầuvàđiểmcuốicủađườngcongđểđođộ
cong.
Vídụvớicácđườngthẳngthìđườngtiếptuyếntạicácmútcủa
đườngthẳngđềutrùngnhaunêngóccáctiếptuyếnbằng0,nênđộ
congcủađườngthẳngbằng0.
VớiđườngtrònbánkínhR,tiếptuyếntạihaimútcủacungtròn
bằngvớigócαcủahaibánkínhOPvàOQ.Nếuαđobằngđơnvị
rađianthì

=Rα

nênđộcongcủacung

là:

.



Trongđó,vlàbiếnsố,Slàcácđạilượngphụthuộcv.Sauđâyta
sẽxétcáctrườnghợpkhiv
Khôngchỉvềtínhtrạngchiềucaomànhiềuloạitínhtrạngditruyềnở
loàingườicũngcóxuhướnghồiquy,docótácdụngđiềutiếttrong
cácditruyềntínhtrạng,màlàmchocácloạitínhtrạngditruyềnở


loàingườiđượcổnđịnhquanhiềuthếhệ.
Từkhoá:Đườngthẳnghồiquy;Hiệuứnghồiquy;Độlệch
bìnhphương.

Trongcáckhudâncư,ngườitathườngbốtrícácbồnhoa,thảm
cỏlàmchokhudâncưđượcđẹpđẽ,vuimắt.Thếcácbạncóbiếtcách
thiếtkếcáckiểubồnhoanàykhông?
Tháng7-1993,mộtthầygiáodạytoánlớpbađãrachohọcsinh
mộtđềtoánnhưsau:Cómộtkhuđấthìnhchữnhậtdài4m,rộng3
m,cầnbốtrítrênkhuđấtmộtsốbồnhoanàođểchodiệntíchcác
bồnhoachiếmnửadiệntíchkhuđất?Bạnhãyđưaracácphươngán.
Cácbạntrẻđãpháthuyhếtkhảnăngvàthiếtkế,nhiềuđồán
khôngchỉtrôngrấtđẹpmàcòncóthểtínhđượcdiệntíchcácbồn
hoa.Cáchìnhvẽởbêntrìnhbàytámloạiđồán.Bạncóthểthiếtkế
cácbồnhoađẹphơnkhông?

Đốivớitámđồánnêutrên,đềucóthểdễdàngtínhđượcdiện
tíchcácbồnhoa,khixâydựngcóthểchọnđượcchỗđấtvàbốtrítrên
mặtbằng.Vídụnhưởhình6cấutạotừmộthìnhtrònvàbốnquạt
tròn,mỗiquạttrònđúngbằng1/4diệntíchhìnhtròn,cácquạttrònvà


hìnhtròncóbánkínhbằngnhauvàbằngR.Tadễdàngtínhđượcbán
kínhcủahìnhtrònnày.Theoyêucầucủađồántacóphươngtrình:
2(πR)2=1/2.4.3,πR2=3,

4

8

6

Tabiếtrằngdiệntíchhìnhtamgiácbằngmộtnửatíchsốcủađáy
nhânvớichiềucao.Nếucáchìnhtamgiáccóchiềucaobằngnhauthì
diệntíchtamgiácsẽtỉlệvớiđộdàicủađáytamgiác.Giảsửcó2hình
tamgiácAvàBnếucạnhđáycủaAgấpđôicạnhđáycủaBthìdiện
tíchcủaAgấpđôidiệntíchcủaB.