Sử dụng hằng đẳng thức & hệ thức VI-ÉT đảo , rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai .
SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC & HỆ THỨC VI-ÉT ĐẢO
RÚT GỌN BIỂU THỨC CÓ CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI

- GV : VÕ QUANG HẢI
- Đơn vị : Trường THCS Nguyễn Trường Tộ . Thành Phố Rạch Giá . Tỉnh
Kiên Giang
A . ĐẶT VẤN ĐỀ :
I./ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Qua những năm giảng dạy ở trường THCS . Tôi nhận thấy rằng các
em học sinh , nhất là lớp 9 phải chịu nhiều áp lực trong việc thi cử vào các
trường chuyên , trường công để định hướng cho tương lai cuả mình sau
này . Mà ở các kỳ thi đó , nội dung đề thi thường rơi vào kiến thức cơ bản
không thể thiếu đó là chương căn thức bậc hai cho dưới dạng rút gọn biểu
thức và thực hiện phép tính căn . Phần lớn các em không làm được bài , bởi
vì các em chưa nhận thấy được các biểu thức đã cho có liên quan đến một
kiến thức rất quan trọng là hằng đẳng thức ( hệ thức VI-ÉT đảo) mà các em
đã được học ở lớp 8 , 9 . Xuất phát từ tình hình đó , qua những năm giảng
dạy và học hỏi ở đồng nghiệp , tôi rút ra được một số kinh nghiệm cho bản
thân để có thể truyền dạy cho các em những kiến thức cơ bản để có thể giải
quyết được vấn đề khó khăn ở trên . Chính vì vậy tôi mới chọn đề tài "Sử
dụng hằng đẳng thức & hệ thức VI-ÉT đảo , rút gọn biểu thức chứa căn thức
bậc hai "
II./ PHẠM VI THỰC HIỆN ĐỀ TÀI VÀ PHƯƠNG
PHÁP THỰC HIỆN :
Đề tài được áp dụng cho học sinh lớp 9 và các học sinh khá , giỏi môn
toán và được thực hiện trong các giờ luyện tập , ôn tập , ôn thi vào lớp 10 và
các trường chuyên về giải bài tập rút gọn biểu thức có chứa căn thức và thực
hiện phép tính có chứa căn .
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Trang GV: VÕ QUANG H
Ả

2
- 2ab + b
2
3) Hiệu hai bình phương : a
2
– b
2
= ( a + b ).( a – b )
4) Lập phương một tổng : ( a + b )
3
= a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
5) Lập phương một hiệu : ( a - b )
3
= a
3
- 3a
2
b + 3ab
2
- b
3
6) Tổng hai lập phương : a
3

2
2 2
3 3
3
3
1) 2
2) 2 1 1
3) .
4) ( ).
5)1 1 (1 ). 1
6) ( )
7) ( 1)
a ab b a b
a a a
a b a b a b a b
a a b b a b a b a ab b
a a a a a a
a b b a ab a b
a a a a
+ + = +
− + = −
− = − = + −
+ = + = + − +
− = − = − + +
+ = +
+ = +
Chú ý :
+ a ; b > 0
+ Hằng đẳng thức số 4 ; 5 ở lớp 8 ít được sử dụng ở lớp 9 , nên tôi không
đưa vào phần ghi nhớ ở lớp 9.

3
3
2
2
1 1 1 . 1
1 1 1 . 1
a a a a a a
a a a a
− = − = − + +
− = − = − +

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Trang GV: VÕ QUANG H
Ả
I
3
Sử dụng hằng đẳng thức & hệ thức VI-ÉT đảo , rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai .
tương tự hđt (hằng đẳng thức) số 3 ; 5 lớp 9 . Áp dụng vào bài toán , ta biến
đổi vế trái :
Giải
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2
2
1 1
1
1
1 . 1
1

   
−
+ −
   
 
= + +
 ÷
+
 
Đến đây ta lại thấy xuất hiện hđt :
( ) ( )
2
1 2 1a a a+ + = +
tương tự hđt số 2
lớp 9 . Tiếp tục biến đổi ta được kết quả :
( )
( )
2
2
1
1 . 1
1
VT a VP ðpcm
a
= + = =
+
2 4
2 2 2
)
2

ab
b a
a b a b
a VP ðpcm Vi a b
a b a b
b b
+ +
= =
+ +
+
+ +
= = = = + >
+ +
Bài 65 /34 sgk : Rút gọn rồi so sánh giá trị của M với 1 , biết :
1 1 1
: 0 1
1 2 1
a
M Voi a va a
a a a a a
 
+
= + > ≠
 ÷
− − − +
 
#
Nhận xét :
( )
2

1
1 1
1
1 1
1 1 0
a a
M
a a a a a a
a a
a
a
a a a
M
a
a a a a
a
a
M Vi a
a a
 
 
+ +
 ÷
= + = +
 ÷
 ÷
− − − + −
−
 
−

+ − = − ≥ ≠
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+ −
   
#
Nhận xét : Hai câu trên gồm có các hđt số 6 & 7 lớp 9 :
( )
( )
1
a b b a ab a b
a a a a
+ = +
± = ±
Áp dụng vào bài toán , ta biến đổi vế trái còn gặp thêm dạng hđt số 3 lớp 8 :
Giải :
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2
2
1
) : .
1 1
) 1 . 1 1 . 1
1 1 1 1
1 . 1 1 1
ab a b

Q voi a b
a b a b a a b
 
= − + > >
 ÷
− − − −
 
a) Rút gọn Q
b) Xác định giá trị của Q khi a = 3b
Nhận xét : Bài toán cho có dạng hđt số 3 lớp 8 . Áp dụng vào bài toán ta rút
gọn câu a :
Giải :
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Trang GV: VÕ QUANG H
Ả
I
5
Sử dụng hằng đẳng thức & hệ thức VI-ÉT đảo , rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai .
(
)
( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2
2
2 2 2 2 2 2

 
 
− + − −
= −
 ÷
 ÷
− −
 
− −
− +
= − = −
− − − −
−
− −
= − = = =
+ − +
− − −
=
− −
= = = =
+ + 2
Bài 85 / 16 sbt : Cho biểu thức :
1 2 2 5
0; 4
4
2 2
x x x
P voi x x
x
x x

2
x x x x x x
a P
x x
x x x x
x x x x x
P
x
x x x x x x
P
x
x x
x x x
P
x
x x x
x
b P x x x x
x
+ + + +
= + + = + −
− −
− + − +
+ + + − − +
=
−
+ + + + − − −
=
−
−

Nhận xét : Sau khi quy đồng mẫu thức , ta thấy xuất hiện dạng hđt số 3 lớp 8
Giải :
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
1 1 1 2
) :
1 2 1
1 1 1 2 2
:
1 2 1
2 1 2
1 4
1 1
: .
3
3
1 2 1 1
2
) 0 0 3 0( 0) 2 0 2 4
3
a a
a Q
a a a a

− − −
 ÷  ÷  ÷  ÷
= = =
 ÷  ÷  ÷  ÷
− − − −
       
−
> ⇔ > ⇔ > > ⇒ − > ⇔ > ⇔ >
Bài 105 / 20 sbt :Chứng minh các đẳng thức ( với a,b không âm và
a b≠
)
2
2 2
)
2 2 2 2
) 1
a b a b b b
a
b a
a b a b a b
a a b b a b
b ab
a b
a b
+ −
− − =
−
− + −
  
+ +

a ab b a ab b b
a b a b
b a b
ab b b
VP ðpcm
a b
a b a b a b
+ − + −
= − − = − +
− −
− + − +
+ − − +
+ + − − + +
= =
− −
+
+
= = = =
−
+ − −
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Trang GV: VÕ QUANG H
Ả
I
7
Sử dụng hằng đẳng thức & hệ thức VI-ÉT đảo , rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai .
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2

 ÷ ÷
= −
 ÷ ÷
+
+ −
  
 
= − + = − = =
 ÷
−
 
−
Bài 106 / 20 sbt : Cho biểu thức :
( )
2
4a b ab
a b b a
A
a b ab
+ −
+
= −
−
a) Tìm điều kiện để A có nghĩa
b) Khi A có nghĩa . Chứng tỏ giá trị của A không phụ thuộc vào a
Nhận xét : Bài toán cho dưới dạng hằng đẳng thức sau :
( )
2
2
( )

a b ab a b ab
a b
a ab b
A a b a b
a b a b
A a b a b a b a b b
+ −
+
= −
−
> ≠
+ − +
+ + + −
= − = −
− −
−
− +
= − + = − +
− −
= − − + = − − − = −
Biểu thức A không phụ thuộc vào a .
Bài 107 / 20 sbt : Cho biểu thức :
3
3
2 1 1
0 ; 1
1 1
1
x x x
B x voi x x

I
8
Sử dụng hằng đẳng thức & hệ thức VI-ÉT đảo , rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai .
Giải :
3
3
2 1 1
)
1 1
1
x x x
a B x
x x x
x
 
 
+ +
= − −
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
+ + +
−
 
 
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )

B x x
x x x
x x
B x x
x x x
b B x x x
  
+ − +
+
 ÷ ÷
= − −
 ÷ ÷
+ + +
− + +
  
 
+ − −
 ÷
= − + −
 ÷
− + +
 
 
+ − +
 ÷
= − +
 ÷
− + +
 
 

3 3
x x x
x x x x
− = − +
− = −
Áp dụng vào bài toán ta có :
Giải :
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
9 3 1 1
) :
9
3 3
9 3 1 1
:
3
3 3 3
3 9 3 1 3
3 9 3 1 3
: :
3 3 3 3 3 3
3 3
2
:
3 3

+ − −
   
       
− + + + − −
− + + + − +
 ÷  ÷  ÷  ÷
= =
 ÷  ÷  ÷  ÷
+ − − + − −
       
 
+
+
 ÷
=
 ÷
+ −
 
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
3
4 3
.
3 3 2 2
3
3 3

( )
( )
( )
3 2 2
3 3
) 1 1 1 0 0
2 2 2 2 2 2
4
0 2 2 0 ( 0) : 4 0 16
2 2
x x
x x
b C
x x x
x
Vi x x nên x x
x
− + +
− −
< − ⇔ < − ⇔ + < ⇔ <
+ + +
−
⇔ < + > > − < ⇔ >
+
Bài 5 / 148 sbt : Rút gọn :
( )
2
2 2
0 ; 0 ; 0
x x y y

1 1 1 1
: 0 ; 1
1 2 1
a a
voi a a
a a a a a a
 
+ −
+ = > ≠
 ÷
− − − +
 
Nhận xét : bài toán cho gồm có hđt sau :
( )
( )
2
1
2 1 1
a a a a
a a a
− = −
− + = −
Áp dụng vào bài toán , ta biến đổi vế trái :
Giải :
( )
( )
( )
( )
( )
( )

 ÷
 ÷
− − − + −
−
 
−
 
   
−
+ + + −
 ÷  ÷
= = = =
 ÷  ÷
+
− −
−
   
Bài 7/148 sbt : Rút gọn biểu thức :
( )
2
1
2 2
.
1 2
2 1
x
x x
P
x
x x