www.thuvienhoclieu.com
CHUYÊN ĐỀ : TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC
A. Các kiến thức thường sử dụng là:
+ Bất đẳng thức Côsi: “Cho hai số không âm a, b; ta có bất đẳng thức:

a+b
≥ ab ;
2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b”.
2
+ Bất đẳng thức: ( ac + bd ) ≤ ( a 2 + b 2 ) ( c 2 + d 2 ) (BĐT: Bunhiacopxki);
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

a b
= .
c d

+ a + b ≥ a + b ; Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ab ≥ 0.
+ Sử dụng “bình phương” để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Nếu y = a + [ f ( x)] thì min y = a khi f(x) = 0.
2

Nếu y = a − [ f ( x)] thì max y = a khi f(x) = 0.
2

+ Phương pháp “tìm miền giá trị” (cách 2 ví dụ 1 dạng 2).
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ CÁCH GIẢI
•

Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT ĐA THỨC

www.thuvienhoclieu.com
Bài toán 2: Tìm GTLN của các biểu thức:
a) A = 5 – 8x – x2
b) B = 5 – x2 + 2x – 4y2 – 4y

Giải:
a) A = 5 – 8x – x2 = -(x2 + 8x + 16) + 21 = -(x + 4)2 + 21 ≤ 21
⇒ Max A = 21 khi x = -4.

b) B = 5 – x2 + 2x – 4y2 – 4y
= -(x2 – 2x + 1) – (4y2 + 4y + 1) + 7
= -(x – 1)2 – (2y + 1)2 + 7 ≤ 7
1
⇒ Max B = 7 khi x = 1, y = − .
2

Bài toán 3: Tìm GTNN của:
a) M = x − 1 + x − 2 + x − 3 + x − 4
b) N = ( 2 x − 1) − 3 2 x − 1 + 2
2

Giải:
a) M = x − 1 + x − 2 + x − 3 + x − 4
Ta có:

x −1 + x − 4 = x −1 + 4 − x ≥ x −1+ 4 − x = 3

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 1)(4 – x) ≥ 0 hay 1 ≤ x ≤ 4
x − 2 + x −3 = x − 2 + 3− x ≥ x − 2+ 3− x =1


4

Do đó N = − khi t = ⇒ 2 x − 1 = ⇒ 
2
2
4
2 x − 1 = − 3  x = − 1

2 
4

Do đó N = t2 – 3t + 2 = (t − 32 ) 2 −

www.thuvienhoclieu.com

Trang 2


www.thuvienhoclieu.com
1
4

Vậy min N = − ⇔ x =

5
1
hay x = − .
4
4


2
2
2
1
1
1 1 1
Ta có: M ≥ ( x 2 + y 2 ) và ( x 2 + y 2 ) ≥ ⇒ M ≥ . =
2
2
2 2 4
1
1
Do đó M ≥ và dấu “=” xảy ra ⇔ x = y =
4
2
1
1
Vậy GTNN của M = ⇔ x = y =
4
2

Do đó x 2 + y 2 ≥

Bài toán 5: Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện:
(x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0.
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức x2 + y2.
Giải:
(x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0
⇔ [(x2 + 1) – y2]2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0
⇔ x4 + 2x2 + 1 + y4 – 2y2(x2 + 1) + 4x2y2 – x2 – y2 = 0

3
5
≤t− ≤
2
2 2
3− 5
3+ 5
⇔
≤t ≤
2
2
⇔−

Vì t = x2 + y2 nên :
3+ 5
2
3− 5
GTNN của x2 + y2 =
2

GTLN của x2 + y2 =

Bài toán 6: Cho 0 ≤ a, b, c ≤ 1. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:
P = a + b + c – ab – bc – ca.
Giải:
Ta có:

P = a + b + c – ab – bc – ca
= (a – ab) + (b - bc) + (c – ca)
= a(1 – b) + b(1 – c) + c(1 – a) 0 (vì 0 ≤ a, b, c ≤ 1 )

Dấu “=” xảy ra ⇔ 

 x + y = 2

⇔x= y=

2
2

- Xét x + y ≥ − 2
x = y


Dấu “=” xảy ra ⇔ 

 x + y = − 2

⇔x= y=

Vậy x + y đạt GTNN là − 2 ⇔ x = y =

− 2
2

− 2
.
2

Bài toán 8: Cho các số thực dương thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 + z2 ≤ 27.
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: x + y + z + xy + yz + zx.

để biểu thức: P = (x4 + 1)(y4 + 1) đạt GTNN. Tìm GTNN ấy.
Giải:
Ta có: P = (x4 + 1)(y4 + 1) = (x4 + y4) + (xy)4 + 1
www.thuvienhoclieu.com

Trang 5


www.thuvienhoclieu.com
Đặt t = xy thì:
x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = 10 – 2t
x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (10 – 2t)2 – 2t2 = 2t2 – 40t + 100
P = 2t2 – 40t + 100 + t4 + 1 = t4 + 2t2 – 40t + 101

Do đó:

= (t4 – 8t2 + 16) + 10(t2 – 4t + 4) + 45 = (t2 – 4)2 + 10(t – 2)2 + 45
⇒ P ≥ 45 và dấu “=” xảy ra ⇔ x + y =

10 và xy = 2.

Vậy GTNN của P = 45 ⇔ x + y = 10 và xy = 2.
Bài toán 10:
Cho x + y = 2. Tìm GTNN của biểu thức: A = x2 + y2.
Giải:
Ta có: x + y = 2 ⇒ y = 2 – x
Do đó: A = x2 + y2 = x2 + (2 – x)2
= x2 + 4 – 4x + x2
= 2x2 – 4x + 4
= 2( x2 – 2x) + 4

- Với a = -1 ta có:
y=

4x + 3
x2 + 4x + 4
( x + 2) 2
= −1 +
=
−
1
+
x +1
x2 + 1
x2 + 1

www.thuvienhoclieu.com

Trang 6


www.thuvienhoclieu.com
⇒ y ≥ −1. Dấu “=” xảy ra khi x = -2.

Vậy GTNN của y = -1 khi x = -2.
- Với a = 4 ta có:
4x + 3
-4x 2 + 4 x − 1
(2 x − 1) 2
= 4+
=

⇔ ∆ ' = 4 − y ( y − 3) ≥ 0 ⇔ ( y + 1)( y − 4) ≤ 0
 y +1 ≥ 0
 y +1 ≤ 0
⇔
hoặc 
y − 4 ≤ 0
y − 4 ≥ 0
⇔ −1 ≤ y ≤ 4

Vậy GTNN của y = -1 khi x = -2.
Vậy GTLN của y = 4 khi x =

1
.
2

Bài toán 2: Tìm GTLN và GTNN của: A =

x2 − x + 1
.
x2 + x + 1

Giải:
Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình ẩn x sau đây có nghiệm:
x2 − x + 1
a= 2
(1)
x + x +1
1
2

Với a = hoặc a = 3 thì nghiệm của (2) là x = 2(a − 1) = 2(1 − a)
3
1
Với a = thì x = 1
3

Với a = 3 thì x = -1
Kết luận: gộp cả 2 trường hợp 1 và 2, ta có:
GTNN của A =

1
khi và chỉ khi x = 1
3

GTLN của A = 3 khi và chỉ khi x = -1
Bài toán 3:
a) Cho a, b là các số dương thỏa mãn ab = 1. Tìm GTNN của biểu thức:
A = ( a + b + 1)( a 2 + b 2 ) +

4
.
a+b

b) Cho m, n là các số nguyên thỏa

1 1 1
+ = . Tìm GTLN của B = mn.
2m n 3

Giải:


Với a = b = 1 thì A = 8
Vậy GTNN của A là 8 khi a = b = 1.
b) Vì

1 1 1
+ = nên trong hai số m, n phải có ít nhất một số dương. Nếu có một trong
2m n 3

hai số là âm thì B < 0. Vì ta tìm GTLN của B = mn nên ta chỉ xét trường hợp cả hai số
m, n cùng dương.
www.thuvienhoclieu.com

Trang 8


www.thuvienhoclieu.com
Ta có:

1 1 1
+ = ⇔ 3(2m + n) = 2mn ⇔ (2m − 3)(n − 3) = 9
2m n 3

Vì m, n ∈ N* nên n – 3 ≥ -2 và 2m – 3 ≥ -1.
Ta có: 9 =1.9 = 3.3 = 9.1; Do đó xảy ra:
 2m − 3 = 1  m = 2
⇔
và B = mn = 2.12 = 24
n − 3 = 9
n = 12

x +y
x − 2 xy + y + 2 xy ( x − y ) 2 + 2 xy
=
=
x− y
x− y
x− y
2
( x − y ) + 2 xy
2
x− y
2
x− y
= x− y+
=
+
+
Do x > y và xy = 1 nên: A =
x− y
x− y
2
x− y
2

Ta có thể viết: A =

2

2


1
Bài toán 5: Tìm GTLN của hàm số: y = 2
.
x + x +1

Giải:
Ta có thể viết:

1
1
y= 2
=
2
x + x +1 
1 3
x+ ÷ +
2 4


www.thuvienhoclieu.com

Trang 9


www.thuvienhoclieu.com
2

4
1
1 3 3


Vì t > 0 nên ta có: f (t ) ≥ 1
Dấu “=” xảy ra ⇔ 2t − 1 = 0 ⇔ t =

1
2

1
2

Vậy f(t) đạt GTNN là 1 tại t = .
Bài toán 7: Tìm GTNN của biểu thức: g (t ) =

t 2 −1
.
t2 +1

Giải:
Ta có thể viết: g (t ) =

t −1
2
= 1− 2
2
t +1
t +1
2

g(t) đạt GTNN khi biểu thức


Tương tự:

y + z = a(b + c)
z + x = b(c + a)

www.thuvienhoclieu.com

Trang 10


www.thuvienhoclieu.com
⇒E=

1
1
1
1
1
1
.
+ 3.
+ 3.
3
x ( y + z ) y ( z + x) z ( x + y)

1
1
1
a2
b2

;c =
2
2
2
a
b
c
y+z−x z+x− y x+ y−z
VT =
+
+
=
+
+
b+c c+a a+b
2x
2y
2z
1 y x 1 z x 1 z y 3
3 3
=  + ÷+  + ÷+  + ÷− ≥ 1 + 1 + 1 − =
2 x y 2 x z  2 y z  2
2 2
⇒ a+b+c =

Khi đó,

Nhân hai vế (1) với a + b + c > 0. Ta có:

a ( a + b + c ) b( a + b + c ) c ( a + b + c ) 3

2

Bài toán 9: Cho x, y là các số thực thỏa mãn: 4x2 + y2 = 1
2x + 3y
Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: a = 2 x + y + 2 .
2x + 3y

Từ a = 2 x + y + 2

(*).

Giải:
⇒ a(2x+y+z) = 2x+3y
⇔ 2ax + ay + 2a – 2x +3y = 0
⇔ 2(a – 1)x + (a – 3)y = -2a (1)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số (2x; y) và (a – 1; a – 3)
Ta có: 4a2 = [2x(a-1)+y(a-3)]2 ≤ (4x2+y2).[(a-1)2+(a-3)2]
=>

4a 2 = (a − 1) 2 + ( a − 3) 2 (vì 4x2+y2 = 1)

Do đó ta có: 4a 2 ≤ (a − 1)2 + (a − 3) 2 = a 2 − 2a + 1 + a 2 − 6a + 9
⇒ 2a 2 + 8a − 10 ≤ 0 ⇔ a 2 + 4a − 5 ≤ 0

www.thuvienhoclieu.com

Trang 11



10
5
 10 5 

Vậy GTLN của a là 1 khi x = 0; y = 1.
GTNN của a là -5 khi x = −

3
4
;y=− .
10
5

Bài toán 10:
Giả sử x, y là hai số dương thỏa mãn điều kiện: x + y = 1.
Hãy tìm gái trị nhỏ nhất cảu biểu thức:
2

2

1 
1

M = x+ ÷ + y+ ÷
x 
y


Giải:
2


Vì x, y > 0 nên ta có thể viết:

(

x− y

)

2

≥ 0 <=> x + y ≥ 2 xy
1

1

Mà x + y = 1 nên 1 ≥ 2 xy <=> xy ≥ 2 <=> x 2 y 2 ≥ 16 (1)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y =

1
2

Ngoài ra ta cũng có:
( x − y ) 2 ≥ 0 ⇔ x 2 + y 2 ≥ 2 xy ⇔ 2( x 2 + y 2 ) ≥ 2 xy + x 2 + y 2

www.thuvienhoclieu.com

Trang 12




1
2

Vậy GTNN của M =

25
1
khi và chỉ khi x = y = .
2
2

* Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO CÓ CHỨA CĂN THỨC.
Bài toán 1: Tìm GTLN của hàm số: y = x − 2 + 4 − x .
Giải:
* Cách 1:
x − 2 ≥ 0
⇔ 2 ≤ x ≤ 4(*)
4 − x ≥ 0

Điều kiện: 

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2)
a b
= .
c d

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

Chọn a = x − 2; c = 1; b = 4 − x ; d = 1 với 2 ≤ x ≤ 4

Vậy GTLN của y là 2 tại x = 3.
* Cách 2:
Ta có: y = x − 2 + 4 − x
www.thuvienhoclieu.com

Trang 13


www.thuvienhoclieu.com
x − 2 ≥ 0
⇔2≤ x≤4
4 − x ≥ 0

Điều kiện: 

Vì y > 0 nên y đạt GTLN khi và chỉ khi y2 đạt GTLN.
Ta có: y 2 = x − 2 + 4 − x + 2 ( x − 2)(4 − x) ⇔ y 2 = 2 + 2 ( x − 2)(4 − x)
x − 2 ≥ 0
nên áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số không âm
4 − x ≥ 0

Do 2 ≤ x ≤ 4 ⇒ 

cho ta: 2 ( x − 2)(4 − x) ≤ ( x − 2) + (4 − x) = 2
Do đó y 2 ≤ 2 + 2 = 4
Dấu “=” xảy ra ⇔ x − 2 = 4 − x ⇔ x = 3 (thỏa mãn điều kiện).
Vậy GTLN của hàm số y là 2 tại x = 3.
Bài toán 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số: y = 3 x − 1 + 4 5 − x (1 ≤ x ≤ 5) .
Giải:
a) GTLN:

3
4

61
(thỏa mãn điều kiện)
25
61
Vậy GTLN của y là10 khi x =
25

=> x =

* b) Gía trị nhỏ nhất:
Ta có: y = 3 x − 1 + 4 5 − x = 3 x − 1 + 3 5 − x + 5 − x
= 3( x −1 + 5 − x ) + 5 − x
Đặt: A = x − 1 + 5 − x thì t2 = 4 + 2 ( x − 1) ( 5 − x )

≥ 4

=> A ≥ 2 và dấu “=” xảy ra khi x = 1 hoặc x = 5
Vậy y ≥ 3 . 2 + 0 = 6
Dấu “=” xảy ra khi x = 5
www.thuvienhoclieu.com

Trang 14


www.thuvienhoclieu.com
Do đó GTNN của y là 6 khi x = 5
Bài toán 3: GTNN của y là 6 khi x = 5

16
2
×a
+ ( 1− a)

÷
3
16
2
5
5 × ×a + 5
×( 1 − a ) ≤ 5 × 
+ 5 ×25
5
25
2
2
2
2
 9 + 25a + 41 − 25a 
=> B ≤ 5 ×
÷= 5
2 ×25



=> Do đó B ≤ 5 và dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi.
3

 a = 5


2

<=> -(x-1)2 + 8 ≥ 0 <=> ( x − 1) ≤ 8
2

<=> −2 2 ≤ x − 1 ≤ 2 2
<=> 1 − 2 2 ≤ x ≤ 2 2 + 1

Với điều kiện này ta viết:
2 x − x 2 + 7 = − ( x − 1) + 8 ≤ 8 => 2 x − x 2 + 7 ≤ 8 = 2 2
2

2
=> 2 + 2 x − x + 7 ≤ 2 + 2 2 = 2 ( 2 + 1)

Do đó:
1
2 + 2x − x2 + 7

Vậy A ≥ 3 ×

≥

2

1

(



Giải:
Điều kiện: 1 – x2 > 0 <=> x2 < 1 <=> - 1 < x < 1
=> A > 0 => GTNN của A  A2 đạt GTNN.
Ta có: A2 =

(

( 5 − 3x )
1 − x2

2

)

25 − 30 x + 9 x 2 ( 3 − 5 x )
=
=
+ 16 ≥ 16
1 − x2
1 − x2
2

2

Vậy GTNN của A = 4 khi x =

3
5


x − 1996 + 1998 − x

Giải:
Biểu thức có nghĩa khi 1996 ≤ x ≤ 1998
Vì y ≥ 0 với mọi x thỏa mãn điều kiện 1996 ≤ x ≤ 1998
Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:
2 ( x − 1996 ) ( 1998 − x ) ≤ ( x − 1996) + (1998 − x) = 2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x – 1996 = 1998 – x
<=> x = 1997
Do đó y2 ≤ 4 => y ≤ 2
Vậy GTLN của y là 2 khi x = 1997
Bài toán 9:
Cho 0 ≤ x ≤ 1 . Tìm GTLN của biểu thức y = x + 2 ( 1 − x )
Giải:
1
Ta có: y = x + 2 ( 1 − x ) = x + 2 × ( 1 − x )
2

Vì 0 ≤ x ≤ 1 nên 1 – x ≥ 0
Áp dụng bất đẳng thức Cô si đối với 2 số:

1
và (1 – x) cho ta:
2

1
1
3
( 1− x) ≤ x + + ( 1− x) =
2

a −1 − 2

)

2

+

(

a −1 − 4

)

2

Điều kiện để M xác định là a – 1 ≥ 0 <=> a ≥ 1
Ta có: M = a − 1 − 2 + a − 1 − 4
Đặt x = a − 1 điều kiện x ≥ 0
Do đó: M = x − 2 + x − 4
Ta xét ba trường hợp sau:
1) Khi x ≤ 2 thì x − 2 = − ( x − 2 ) = 2 − x
Và x − 4 = − ( x − 4 ) = 4 − x
=> M = 2 – x + 4 – x = 6 – 2x ≥ 6 − 2.2 = 2
Vậy x < 2 thì M ≥ 2
2) Khi x ≥ 4 thì x − 2 = x − 2 và

x-4 =x-4

=> M = x − 2 + x − 4 = 2 x − 6 ≥ 2 ×4 − 6 = 2

Gọi x1; x2 là các nghiệm của phương trình:
x2 – (2m – 1) x + (m – 2) = 0
Tìm các giá trị của m để x12 + x22 có giá trị nhỏ nhất
Gợi ý:
∆ = 4(m - 1 )2 + 5 > 0. Phương trình đã cho có nghiệm với mọi m theo hệ thức Vi-ét,

ta có:
x12 + x22 = ( x1 + x2 ) 2 − 2 x1 x2 = (2m − 1) 2 − 2( m − 2) = 4m 2 − 6m + 5
2

3  11 11

=  2m − ÷ + ≥
2
4 4

11
3
=> Min ( ( x12 + x22 ) = với m =
4
4

Bài toán 3:
Cho x, y là hai số thỏa mãn: x + 2y = 3. Tìm GTNN của E = x2 + 2y2
Gợi ý:
Rút x theo y và thế vào E
Bài toán 4:
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: A = x2 + y2
Biết rằng x và y là các số thực thỏa mãn: x2 + y2 – xy = 4
Gợi ý:

5
;y=
2
2 2
5
5
Min M = -5 2 khi x = ;y=2
2 2

Vậy Max M = 50 khi x =

Bài tóan 6:
Cho x, y là hai số dương thỏa mãn điều kiện: xy = 1. Tìm GTLN của biểu thức:
x

y

A = x4 + y 2 + x2 + y 4
Gợi ý:
Từ (x2 – y)2 ≥ 0 => x 4 + y 2 ≥ 2 x 2 y
x

x

1

=> x 4 + y 2 ≤ 2 x 2 y = 2
Tương tự:

y

a+b+c 
2
2
2
Biểu diễn B = 3.  x −
÷ +( a +b +c ) −
3
3


2

a + b + c)
=> GTNN của B = (a2 + b2 + c2) - (

2

2

3

Bài toán 9: Tìm GTNN của biểu thức:
P = x2 – 2xy + 6y2 – 12x + 3y + 45
Gợi ý:
Biểu diễn P = (x – 6 – y)2 + 5(y – 1)2 + 4
Vậy Min P = 4 khi y = 1 ; x = 7
Bài toán 10: Tìm GTLN của biểu thức:
E = – x2 + 2xy – 4y2 + 2x + 10y – 3
Gợi ý:
Biểu diễn E = 10 – (x – y – 1)2 – 3 (y – 2)2


Bài toán 12:
Tìm GTNN của biểu thức sau:
x2 + 1
x+2
−8
b) B = 2
3x + 2
x2 −1
c) C = 2
x +1

a) A =

Với x ≥ 0
Với mọi x
Với mọi x

www.thuvienhoclieu.com

Trang 21


www.thuvienhoclieu.com
Gợi ý:
a) Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ta:
5
−4≥ 2 5−4
x+2
−8

=
2000 x 2
2000 2000
1999
Vậy Min A =
Khi x = 2000
2000

A=

Bài toán 14:
Tìm GTNN của biểu thức:
4 x 4 + 16 x 3 + 56 x 2 + 80 x + 356
P=
x2 + 2 x + 5

Gợi ý:
Biểu diễn P = 4 ×( x 2 + 2 x + 5) +

256
≥ 64 (áp dụng BĐT Côsi)
x + 2x + 5
2

=> Min P = 64 khi x = 1 hoặc x = -3
Bài toán 15:
x2 + 4 x + 4
Tìm GTNN của A =
x
2

2
+
2 x −1

với x > 1

Gợi ý:
4
x

4
x

A = x+ + 4 ≥ 2 x × + 4 = 8 (vì x > 0)
=> Min A = 8 khi x = 2
B=

x2 −1 + 1
1
= 2 + ( x − 1) +
≥ 2 + 2 = 4 (vì x > 1)
x −1
x −1

=> Min B = 4 <=> x = 2
( x 2 + x + 1) + 1

2 × x2 + x + 1

≥

x −1
2
1
x −1 2
1
+
=
+
+ ≥2
×
+
F=
2
x −1
2
x −1 2
2 x −1 2
1
3
3
= +2=
=> Min F = khi x = 3.
2
2
2

E=

Bài 16: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:
P=

Bài 18: Tìm GTNN của biểu thức:
www.thuvienhoclieu.com

Trang 23


www.thuvienhoclieu.com
E = x2 + x + 1 + x2 − x + 1
Gợi ý:
Ta có E > 0 với mọi x
Xét E2 = 2 (x2 + 1 + x 4 + x 2 + 1) ≥ 4
=> Min E = 2 khi x = 0
Bài 19: Cho a và b là hai số thỏa mãn: a ≥ 3 ; a + b ≥ 5
Tìm GTNN của biểu thức S = a2 + b2
Gợi ý:
a+ b ≥ 5 => 2a + 2b ≥ 10 => 3a + 2b ≥ 13 (vì a ≥ 3)
2
2
2
=> 132 ≤ ( 3a + 2b ) ≤ 13 ( a + b )
=> Min S = 13
Bài 20:
Cho phương trình: x2 - 2mx – 3m2 + 4m – 2 = 0
Tìm m để cho x1 − x2 đạt GTNN.
Gợi ý:
∆ ' = (2m − 1) 2 + 1 > 0 => phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x 1; x2.

Theo

định lý vi-ét ta có:

www.thuvienhoclieu.com
x − 998 + x − 1999 nhỏ nhất bằng 1 khi x ∈ [ 999;1000]

Vậy y đạt GTNN bằng 1 + 3 + …+ 1997
Số các số hạng của 1 + 3 + … + 1997 là (1997 – 1) : 2 + 1 = 999
Vậy Min y = 9992 khi 999 ≤ x ≤ 1000
Bài 22:
Cho biểu thức: M = x2 + y2 + 2z2 + t2
Với x, y, z, t là các số nguyên không âm , tìm gia strị nhỏ nhất của M và các giá trị
tương ứng của x, y, z, t. Biết rằng:
 x 2 − y 2 + t 2 = 21
 2
2
2
 x + 3 y + 4 z = 101

(1)
(2)

Gợi ý:
Theo giả thiết:

x2 – y2 + t2 = 21
x2 + 3y2 + 4z2 = 101
=> 2x2 + 2y2 + 4z2 + t2 = 122
=> 2M = 122 + t2

Do đó 2M ≥ 122 <=> M ≥ 61
Vậy Min M = 61 khi t = 0
Từ (1) => x > y ≥ 0 => x + y ≥ x − y ≥ 0