– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 1

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
I. Các công thức lượng giác
1. Các hằng đẳng thức:
* sin2   cos2   1
với mọi 
* tan .cot   1

k
với mọi  �
2

1
với mọi  �k2
cos2 
1
* 1 cot2  
với mọi  �k
sin2 
2. Hệ thức các cung đặc biệt
A.Hai cung đối nhau:  và 
* 1 tan2  

cos()  cos 

sin( )   sin 

tan()   tan 


cot(   )   cot 

d) Hai cung hơn kém nhau  :  và   
sin(  )   sin 
cos(   )   cos
tan(  )  tan 

cot(  )  cot 

3. Các công thức lượng giác
A. Công thức cộng
cos(a�b)  cos a.cos bmsin a.sin b
tan(a�b) 

sin(a�b)  sin a.cos b �cos a.sin b

tan a�tan b
1mtan a.tan b

b) Công thức nhân
sin2a  2sin acos a
cos2a  cos2 a sin2 a  1 2sin2 a  2cos2 a 1
sin 3a  3sin a 4sin3 a
C. Công thức hạ bậc
sin2 a 

1 cos2a
2

cos3a  4cos3 a 3cos a


e. Công thức biến đổi tổng thành tích
cos a  cos b  2cos
sin a sin b  2sin
tan a tan b 
tan a tan b 

a b
2

a b
2

.cos

.cos

a b
2

a b
2

cos a cos b  2sin
sin a- sin b  2cos

a b
2

a b


�Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (  k2;  k2) , nghịch biến trên mỗi
2
2

3
khoảng (  k2;  k2) .
2
2
�Hàm số y  sin x là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm
đối xứng.
�Hàm số y  sin x là hàm số tuần hoàn với chu kì T  2 .
�Đồ thị hàm số y  sin x .


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 3

2. Hàm số y  cos x
�Tập xác định: D  R
�Tập giác trị: [  1;1] , tức là 1�cos x �1 x�R
�Hàm số y  cos x nghịch biến trên mỗi khoảng (k2;   k2) , đồng biến trên
mỗi khoảng (  k2; k2) .
�Hàm số y  cos x là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối
xứng.
�Hàm số y  cos x là hàm số tuần hoàn với chu kì T  2 .
�Đồ thị hàm số y  cos x .
Đồ thị hàm số y  cos x bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y  sin x
r

theo véc tơ v  ( ;0) .

�Là hàm số lẻ
�Là hàm số tuần hoàn với chu kì T  

�Hàm nghịch biến trên mỗi khoảng  k;   k 
�Đồ thị nhận mỗi đường thẳng x  k, k�� làm một đường tiệm cận.
�Đồ thị

B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
Vấn đề 1. Tập xác định và tập giá trị của hàm số
Phương pháp .
�Hàm số y 

f (x) có nghĩa ۳ f (x) 0 và f (x) tồn tại

�Hàm số y 

1
có nghĩa ۹ f (x) 0 và f (x) tồn tại.
f (x)

� sin u(x) �
�
0 u(x) k , k �
� cosu(x) �۹
0 �
u(x)


k , k �.
2

x

2
k
3

�2
�
TXĐ: D  �\ �  k, k���.
�3
2. Điều kiện: sin(

2
2
��
3x) 0
�۹ 3x k
3
3

x

2

k
9
3

�2


sin(3x  ) �0 �
�
x � 
6
�
18 3
�
�
 n
�
  k2,  
; k,n���
Vậy TXĐ: D  �\ �
18 3
�2
�
�
2. Ta có: sin 4x  cos3x  sin4x  sin �  3x�
�2
�
�x  � �7x  �
 2cos�  �
sin �  �
�2 4 � �2 4 �
�
�
cos5x �0
�
�
� �x  �

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1 Tìm tập xác định của hàm số y 
� 2
�
A. D  �\ �k , k���
� 3

1 sin2x
cos3x  1
�
�
B. D  �\ �k , k���
�6

tan5x
sin4x  cos3x


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 6

�
�
C. D  �\ �k , k���
�3

�
�
D. D  �\ �k , k���
�2
Lời giải:

 k , k���
B. D  �\ �
2
� 8

�

�
  k , k���
C. D  �\ �
2
�4

�

�
  k , k���
D. D  �\ �
2
�6
Lời giải:
Do 1 cos3x �0 x �� nên hàm số có nghĩa � 1 sin 4x �0
۹۹sin4
�x

1

x



C. D  �\ � 
�5 2

�3 k
�
, k���
D. D  �\ � 
�4 2
Lời giải:

 
k
Điều kiện: 2x �۹�
4 2

x

3

k ,k �
8
2

�3 k
�
, k���
Vậy TXĐ: D  �\ � 
�8 2
Bài 4. Tìm tập xác định của hàm số sau y 
�  n2


�x k
�x k
�
�� 
Điều kiện: �
2
sin3x �1 �x �  k
�
3
� 6
�  n2
�
k, 
; k,n���
Vật TXĐ: D  �\ �
3
� 6
1
sin2x  cos3x

Bài 5. Tìm tập xác định của hàm số sau y 
�
2
�
A. D  �\ �  k , k2; k���
5
�3

�

2
2

� 5x
�5x 
� 
2
cos �0 � �  k
�
� 2
�2 2
�x �  k
��
��
�� 5
5 .
x
x
�
�
�
sin �0
�k
�x �k2
� 2
�2
�
2
�
TXĐ: D  �\ �  k , k2; k���.

C. D  �\ �  k ,  k ; k���
2 3
2
�4

�
 

�
D. D  �\ �  k ,  k ; k���
2 12
2
�3
Lời giải:

� 

�

x�  k
�
2x �  k
�
� 4
2
��
2
Điều kiện: �

� 3sin2x  cos2x �0 �

 

�
TXĐ: D  �\ �  k ,  k ; k���.
2 12
2
�4
Bài 7. Tìm tập xác định của hàm số sau y 

cot x
2sin x  1


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 8

� 
5
�
A. D  �\ �k,  k2,  k2; k��� B. D  �\
6
� 6

� 
5
�
�k ,  k2,  k2; k���
6
�2 4

� 

�x k
�
�۹�

x 
x 
2cos(  )sin(  ) �0
�
�
2 12
2 12

�
�x �k
�
� 
k2 .
�x
6
�
� 5
x �  k2
�
� 6

� 
5
�
TXĐ: D  �\ �k,  k2,  k2; k���.
6

�5
Lời giải:

�  
� 3
x  �  k
x �  k
�
�
� 4 2
� 4
��
Điều kiện: �
.

�x   �k
�
x �  k
� 3
� 3
�3

�
TXĐ: D  �\ �  k,  k; k���.
3
�4

Bài 9. Tìm tập xác định của hàm số sau y  tan(2x  )
3
�

3 2

x



k
12
2


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 9

�

�
TXĐ: D  �\ �  k , k���.
2
�12
Bài 10. Tìm tập xác định của hàm số sau y  tan3x.cot5x
�
 n
�
A. D  �\ �  k , ; k,n���
3 5
�6

�
 n
�

�x �n
� 5
�
 n
�
TXĐ: D  �\ �  k , ; k,n���
3 5
�6

Vấn đề 2. Tính chất của hàm số và đồ thị hàm số
Phương pháp .
Cho hàm số y  f (x) tuần hoàn với chu kì T
* Để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số, ta chỉ cần khảo sát và vẽ
đồ thị hàm số trên một đoạn có độ dài bằng T sau đó ta tịnh tiến theo các véc
r
r
tơ k.v (với v  (T ;0), k��) ta được toàn bộ đồ thị của hàm số.
* Số nghiệm của phương trình f (x)  k , (với k là hằng số) chính bằng số giao
điểm của hai đồ thị y  f (x) và y  k .
* Nghiệm của bất phương trình f (x) �0 là miền x mà đồ thị hàm số y  f (x)
nằm trên trục Ox .
Chú ý:
�Hàm số f (x)  asin ux  bcos vx  c ( với u, v��) là hàm số tuần hoàn với chu kì
2
T
( (u, v) là ước chung lớn nhất).
(u, v)
�Hàm số f (x)  a.tan ux  b.cot vx  c (với u, v��) là hàm tuần hoàn với chu kì

T


2. f (x)  sin x2

Lời giải:
1. Giả sử hàm số đã cho tuần hoàn � có số thực dương T thỏa
f (x  T )  f (x) � cos(x  T )  cos 3(x  T )  cos x  cos 3x
�
cosT  1
�
Cho x  0 � cosT  cos 3T  2 � �
cos 3T  1
�
�
T  2n
m
�
m
��
� 3
vô lí, do m,n���
là số hữu tỉ.
n
n
� 3T  2m
Vậy hàm số đã cho không tuần hoàn.
2. Giả sử hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn
� T  0: f (x  T )  f (x) � sin(x  T )2  sin x2 x ��
Cho x  0 � sin T 2  0 � T 2  k � T  k
� f (x  k )  f (x) x ��.
Cho x  2k ta có: f ( 2k )  sin

f (x)  asin cx  bcosdx là hàm số tuần hoàn khi và chỉ khi
là số hữu tỉ.
d
Lời giải:
* Giả sử f (x) là hàm số tuần hoàn � T  0: f (x  T )  f (x) x
�
asin cT  bcosdT  b
�
cosdT  1
��
Cho x  0, x  T � �
asin cT  bcos dT  b �
sin cT  0
�
�
dT  2n
c m
��
� 
��.
cT

m

d
2
n
�
* Giả sử


T1
là số hữu tỉ nên tồn tại hai số nguyên m,n; n �0 sao cho
T2

T1 m
 � nT1  mT2  T
T2 n
Khi đó f (x  T )  f (x  nT1)  f (x) và g(x  T )  g(x  mT2 )  g(x)
Suy ra f (x  T ) �g(x  T )  f (x) �g(x) và f (x  T ).g(x  T )  f (x).g(x) ,

f (x  T ) f (x)

. Từ
g(x  T ) g(x)

đó ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét:
1. Hàm số f (x)  asin ux  bcos vx  c ( với u, v��) là hàm số tuần hoàn với chu kì
2
T
( (u, v) là ước chung lớn nhất).
(u, v)
2. Hàm số f (x)  a.tan ux  b.cot vx  c (với u, v��) là hàm tuần hoàn với chu kì

T
.
(u, v)
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1. Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của các hàm số sau f (x)  sin x
A. T0  2



 1 � (1) không xảy ra với mọi x��.
2

Vậy hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì cơ sở T0  2 .
Bài 2. Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của các hàm số sau f (x)  tan2x,
A. T0 


2

B. T0  2

C. T0  
Lời giải:

D. T0 


4


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 12


� �
Ta có f (x  )  tan2�x  � tan(2x  )  tan2x  f (x)
2
� 2�

2
Bài 5. Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của hàm số sau y  sin3x  2cos2x
A. T  

B. T  2

A. T  2

B. T0 


4

D. T0 

C. T0  

D. T0 

C. T0 


2


4

Bài 6. Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của hàm số sau y  sin2x  sin x
A. T  2



D. T0 

C. T0 


2


4

Bài 9. Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của hàm số sau y  sin x

2

D. T0 
4
ĐÁP ÁN
B. T0 

A. Hàm số không tuần hoàn
C. T0  

1A

2A

3A

4A

�
�
khoảng �  k2;   k2 �.
�2
�
�
�
�Đồ thị hàm số đi quan các điểm (k;0), �  k2;2�.
�2
�

Ví dụ 2 Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau y  tan2x
Lời giải:
Hàm số y  tan2x
�

�
�TXĐ: D  �\ �  k , k���
2
�4
�Hàm số y  tan2x là hàm số lẻ
�Hàm số y  tan2x là hàm tuần hoàn với chu kì T 
� 
�
�Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng �k;  k �.
� 4
�
�Các đường tiệm cận: x 



� 
�
khoảng �k;  k �.
� 2
�
�Đồ thị hàm số đi quan các điểm (

k
;1),    k;3 .
2

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số y  sin2x
Đồ thị hàm số: y  sin2x


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 15

Bài 2: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số y  2 cos x
Đồ thị hàm số: y  2 cos x

Vấn đề 4. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau.
1. y  4sin x cos x  1

2. y  4  3sin2 2x
Lời giải:

1 Ta có y  2sin2x  1.

Lời giải:


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 16

1. Ta có: y  6cos2 x  (2cos2 x  1)2  4cos4 x  2cos2 x  1
2
2
0;1�
Đặt t  cos x � t ��
�
�. Khi đó y  4t  2t  1  f (t)

t

0
1

f (t)

7
1

Vậy min y  1 đạt được khi cos x  0 � x 


 k
2

max y  1 đạt được khi cos2 x  1 � x  k

min y 2m 2

Hàm số chỉ nhận giá trị dương � y  0 x ��� min y  0
� 2m 2  0 � m 1.
Vậy m 1 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 4. Tìm m để hàm số y  2sin2 x  4sin xcos x  (3 2m)cos2 x  2 xác định với
mọi x
Lời giải:
Hàm số xác định với mọi x
� 2sin2 x  4sin xcos x  (3  2m)cos2 x  2 �0 x �� (1)
� cos x  0 � (1) đúng
� cos x �0 khi đó ta có: (1) � 2tan2 x  4tan x  (3 2m)  2(1 tan2 x) �0
� 4tan2 x  4tan x �1 2m x ��
�(2tan
�x
���
1)2 
2
 2m

x �

2 2m 0

m

1

Ví dụ 5. Cho các góc nhọn x, y thỏa mãn sin2 x  sin2 y  sin(x  y) () . Chứng
minh rằng: x  y 

�
 �
�
�2 �
�Giả sử x  y  � � 2
��
2 � 
�
�
y x �
sin y  sin �  x� cos x
�
� 2
�2 �
�
Suy ra: sin2 x  sin2 y  sin x.sin x  sin y.sin y
 sin x cos y  sin y cos x  sin(x  y)
Mâu thuẫn với ()
�
�
�
� 
sin x  sin �  y� cos y
�
x


y
 �
�

1. Xét phương trình : y  3sin x  4cos x  5
� 3sin x  4cos x  5  y  0 � phương trình có nghiệm
2
�3�
�
42 (5 y�
)2

2
y�
10y 0

0 y 10

Vậy min y  0 ; max y  10 .
2. Do sin x  cos x  2  0 x ��� hàm số xác định với x ��
Xét phương trình : y 

sin x  2cos x  1
sin x  cos x  2

� (1 y)sin x  (2  y)cos x  1 2y  0
Phương trình có nghiệm � (1 y)2  (2  y)2 �(1 2y)2
� y2  y  2 �0 � 2 �y �1

sin x  2cos x  1
sin x  cos x  2


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 18

2
Bài 2. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau
Giá trị nhỏ nhất bằng min y  1, đạt được khi x  
y  1 2cos2 x  1
A. max y  1, min y  1 3

B. max y  3 , min y  1 3

C. max y  2 , min y  1 3

D. max y  0 , min y  1 3
Lời giải:

Ta có 1� 2cos2 x  1 � 3 � 1 3 �y �0
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng max y  0 , đạt được khi x 


 k
2

Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng min y  1 3 , đạt được khi x  k .
Bài 3. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau
�
�
y  1 3sin �
2x  �
4�
�
A. min y  2, max y  4


Bài 4. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  3 2cos2 3x
A. min y  1, max y  2

B. min y  1, max y  3


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 19

C. min y  2 , max y  3

D. min y  1, max y  3
Lời giải:

cos
 �
3x 1
Ta có: 0 ��
2

1 y 3

k
� min y  1
3
 k
� max y  3
� y  3 � cos2 3x  0 � x  
6 3
� y  1 � cos2 3x  1 � x 



Bài 6. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 
A. min y 
max y  3
C. min y 
max y  4

4
, max y  4
3
4
, max y  2
3

D. min y 

1
,
2

Lời giải:
4
y 4
3
4

4
� y  � sin2 x  1 � x   k � min y 
3
2

2
4
1
1 3
12 9
3
1 ����
2t
0 (2t
)
� y 3.
Do 0 �t �
2
2 2
2
4
4

Vậy max y  3 đạt được khi x   k .
2
3
1
min y  đạt được khi sin2 x  .
4
4
Bài 8. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau
y  3sin x  4cos x  1
A. max y  6 , min y  2

B. max y  4 , min y  4


B. min y  6; max y  5

C. min y  3; max y  4

D. min y  6; max y  6
Lời giải:

�
4
sin  
�
� �
�
5
0; �thỏa �
Ta có : y  5sin(x   )  1 trong đó  ��
3
� 2�
�
cos 
�
5
Suy ra min y  6; max y  4 .
Bài 10. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau
y  2sin2 x  3sin2x  4cos2 x
A. min y  3 2  1; max y  3 2  1

B. min y  3 2  1; max y  3 2  1


3(1 cos2x)
 3sin 2x 
 3sin2x  cos2x  2.
2
2

Mà  10 �3sin2x  cos2x � 10 � 2  10 �y �2  10
Từ đó ta có được: max y  2  10; min y  2  10 .
Bài 12. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  2sin3x  1
A. min y  2,max y  3

B. min y  1,max y  2

C. min y  1,max y  3
min y  3,max y  3

D.
Lời giải:

:C
Bài 13. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  3 4cos2 2x
A. min y  1,max y  4

B. min y  1,max y  7

C. min y  1,max y  3
min y  2,max y  7

D.
Lời giải:

3
y
1 2  sin2 x
A. min y 
C. min y 

3
1 3
2
1 3

,max y 
,max y 

3

B. min y 

1 2
3

D. min y 

1 2

3
1 3
3
1 3



7  3 5
7  3 5
5 3 5
5 3 5
D. min y 
,max y 
,max y 
4
4
4
4
Lời giải:

Đáp án D
Bài 18. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau

y  2cos(3x  )  3
3
A. min y  2 , max y  5
B. min y  1, max y  4
C. min y  1, max y  5

D. min y  1, max y  3
Lời giải:

4
2
k
9

2


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 23

Bài 20. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau
y  sin x  2  sin2 x
A. min y  0 , max y  3

B. min y  0 , max y  4

C. min y  0 , max y  6
max y  2

D. min y  0 ,
Lời giải:

Ta có y �0 x và y2  2 2sin x 2  sin2 x
2
2
2
Mà 2 sin x 2 sin x �sin x  2  sin x  2

y2 �
4
Suy ra 0 ��

0 y 2



2




t tan x cot x
Đặt

2
sin2x

t

2

Suy ra y  t2  3t  3  f (t)
Bảng biến thiên

t

�
�

2

2

f (t)
5


Lời giải:
Hàm số xác định với mọi x � 5sin4x  6cos4x �1 2m x
Do min(5sin4x  6cos4x)   61 �  61 �1 2m ۳ m

61  1
.
2

Bài 24. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  2 3sin3x
A. min y  2; max y  5

B. min y  1; max y  4

C. min y  1; max y  5

D. min y  5; max y  5

Lời giải:
Ta có: 1�sin3x �1� 1�y �5. Suy ra: min y  1; max y  5
Bài 25. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  1 4sin2 2x
A. min y  2; max y  1

B. min y  3; max y  5

C. min y  5; max y  1

D. min y  3; max y  1
Lời giải:

. Ta có: 0 �sin2 2x �1� 3 �y �1. Suy ra: min y  3; max y  1


Ta có: 2 �2  sin2 4x �3 � 3 2 2 �y �3 2 3
Suy ra: min y  3 2 2; max y  3 2 3
Bài 28. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau
y  4sin3x  3cos3x  1
A. min y  3; max y  6

B. min y  4; max y  6

C. min y  4; max y  4

D. min y  2; max y  6

Lời giải:
Ta có: 5 �4sin3x  3cos3x �5 � 4 �y �6 . Suy ra: min y  4; max y  6


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 25

Bài 29. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau
y  3cos x  sin x  4
A. min y  2; max y  4

B. min y  2; max y  6

C. min y  4; max y  6
min y  2; max y  8

D.
Lời giải:

(2y�1)
�
(y 2)2�
y 2
(3 4y)� 11y 24y 4 0
11
2
Suy ra: min y  ; max y  2 .
11
Bài 31. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau
2sin2 3x  4sin3x cos3x  1
y
sin6x  4cos6x  10
y

A. min y 
C. min y 

11 9 7
11 9 7
; max y 
83
83

B. min y 

22 9 7
22  9 7
; max y 
11


Suy ra: min y 

22 9 7
83
22 9 7
22  9 7
.
; max y 
83
83