Ths Nguyễn Đức Lợi

THPT Lê Hồng Phong

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
Dạng toán 1: Phương trình lượng giác cơ bản
1. Phương trình: sin x = m (1)
* Nếu: m > 1 ⇒ Phương trình vô nghiệm
 π π
* Nếu: m ≤ 1 ⇒ ∃α ∈  − ;  sin α = m
 2 2
 x = α + k2π

⇒ (1) ⇔ sin x = sin α ⇔ 

 x = π − α + k2π

( k∈ ¢ ).

 π
π
− ≤ α ≤
Chú ý : * Nếu α thỏa mãn  2
2 thì ta viết α = arcsin m.
sin α = m
*Các trường hợp đặc biệt:
1. sin x = 1⇔ x =

π
+ k2π

Ths Nguyễn Đức Lợi

3. cos x = 0 ⇔ x =

THPT Lê Hồng Phong

π
+ kπ
2

3. Phương trình : tan x = m (3)
 π π
Với ∀m⇒ ∃α ∈  − ; ÷: tan α = m
 2 2
⇒ (3) ⇔ tan x = tan α ⇔ x = α + kπ .
 π
π
− < α

Ghi chú:

2


Ths Nguyễn Đức Lợi

THPT Lê Hồng Phong

u = v + k2π
* sin u = sin v ⇔ 
u = π − v + k2π
u = v + kπ

* tan u = tan v ⇔ 
π
u, v ≠ 2 + nπ
u = v + kπ
* cot u = cot v ⇔ 
u, v ≠ nπ

(k∈ ¢ )

* cosu = cos v ⇔ u = ± v + k2π

(k,n∈ ¢ )

(k,n∈ ¢ )

Dạng 2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

π
• sin x ± 3cos x = 2 sin x −
cos x = 2sin(x − )
2
3

 2
•

 3

1
π
3sin x ± cos x = 2
sin x ± cos x = 2sin(x ± )
2
6
 2


 1

1
π
• sin x ± cos x = 2 
sin x ±
cos x = 2sin(x ± ) .
4
2
 2


THPT Lê Hồng Phong

 sin u(x) 


cosu(x)

Cách giải: Đặt t =
ta có phương trình : at2 + bt + c = 0
 tan u(x)


 cot u(x) 
Giải phương trình này ta tìm được t , từ đó tìm được x
 sin u(x) 
Khi đặt t = 
 , ta co điều kiện: t∈ −1;1
 cosu(x)
Dạng 4. Phương trình đẳng cấp
Là phương trình có dạng f (sin x,cos x) = 0 trong đó luỹ thừa của sinx và cosx
cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
Cách giải: Chia hai vế phương trình cho cosk x ≠ 0 (k là số mũ cao nhất) ta được
phương trình ẩn là tan x .
Dạng 5. Phương trình đối xứng (phản đối xứng) đối với sinx và cosx
Là phương trình có dạng: a(sin x + cos x) + bsin x cos x + c = 0 (3)
Để giải phương trình trên ta sử dụng phép đặt ẩn phụ
 t2 − 1
= sin x cos x



THPT Lê Hồng Phong

Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:
1. sin x − cos2x = 0

2. cos2 x − sin2x = 0
4. sin(2x + 1) + cos(3x − 1) = 0

3. 2sin(2x− 350 ) = 3

Lời giải:
π
1. Phương trình ⇔ cos2x = sin x = cos( − x)
2

π
2π

π
x = 6 + k 3
 2x = 2 − x + k2π
⇔
⇔
, k∈ ¢ .
 x = − π + k2π
 2x = − π + x + k2π


2

 2x − 350 = 600 + k3600
2
.
⇔
⇔
0
0
0
0
0
155

 2x − 35 = 180 − 60 + k360
0
 x = 2 + k.180
π

4. Phương trình ⇔ cos(3x − 1) = sin(−2x − 1) = cos + 2x + 1÷
2


π

π
 x = 2 + 2+ k2π
 3x − 1 = 2 + 2x + 1+ k2π
⇔
⇔
.
 x = − π + k 2π

Lời giải:
1. Phương trình ⇔ cos x − 4sin x cos x = 0 ⇔ cos x(1− 4sin x) = 0

π
cos x = 0  x = + kπ
2
⇔
⇔
sin x = 1 
1
1

4  x = arcsin + k2π, x = π − arcsin + k2π

4
4
2. Ta có sin3 x =

3sin x − sin3x
cos3x + 3cos x
;cos3 x =
4
4

Nên phương trình đã cho tương đương với
sin 3x( 3sin x − sin3x) − cos3x( cos3x + 3cos x) = −
⇔ 3( sin3x sin x − cos3x cos x) − 1= −
⇔ −3cos4x = −

5

4. Phương trình ⇔

1
1
sin5x − sin x = sin11x − sin x

2
2

⇔ sin5x = sin11x ⇔ x = k

π
π
π
+k
hoặc x =
6
16
8

5. Phương trình ⇔ (sin x + sin3x) + sin2x = (cos x + cos3x) + cos2x
⇔ 2sin2x cos x + sin2x = 2cos2xcos x + cos2x

2π

1
 x = ± 3 + k2π
cos
x
=


⇔ cos6x + cos8x = cos10x + cos12x


π
 x = 2 + kπ
 cos x = 0
.
⇔ 2cos7x cos x = 2cos11x cos x ⇔ 
⇔
π
π
cos11
x
=
cos7
x
x = k ; x = k


2
9
7. Phương trình ⇔ (1+ cos6x)cos2x − 1− cos2x = 0
⇔ cos6x.cos2x − 1 = 0 ⇔ cos8x + cos4x − 2 = 0
π
⇔ 2cos2 4x + cos4x − 3 = 0 ⇔ cos4x = 1 ⇔ x = k .
2
Nhận xét:
* Ở cos6x.cos2x− 1 = 0 ta có thể sử dụng công thức nhân ba, thay
cos6x = 4cos3 2x − 3cos2x và chuyển về phương trình trùng phương đối với hàm

6
7


Ths Nguyễn Đức Lợi


π
 2x + 3 =
⇔
 2x + π =

3

THPT Lê Hồng Phong

π

π
+ k2π
x = − + kπ

6
12
⇔
, k∈ ¢ .
5π
π

+ k2π


5. Phương trình ⇔ sin7x + 3cos7x = 3sin 2x + cos2x

π
π

π
π
7x − 6 = x − 3 + k2π
 x = − 36 + k 3
π
π
⇔ cos(7x − ) = cos(x − ) ⇔ 
⇔
, k∈ ¢ .
6
3
7x − π = − x + π + k2π
x = π + k π


6
3
16
4

π
3x − = 2x + k2π

π

2
2
2


π
 x = − 6 + k2π
π
.
⇔ sin3x + 3cos3x = 2cos4x ⇔ cos(3x − ) = cos4x ⇔ 
3
 x = π + k 2π

42
7

Ví dụ 4. Giải các phương trình sau:
π

2. tan  ( sin x + 1)  = 1
4


1. cos(π sin x) = cos(3π sin x)
Lời giải:
8


Ths Nguyễn Đức Lợi



Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = mπ, x =
2. Phương trình ⇔

π
π
+ mπ, x = ± + mπ m∈ ¢ .
2
6

π
π
sin x + 1) = + kπ
(
4
4

⇔ sin x + 1 = 1+ 4k ⇔ sin x = 4k ⇔ sin x = 0 ⇔ x = mπ , m∈ ¢ .
Ví dụ 5. Giải các phương trình sau:
1.

(

)

3 − 1 sin x +

(

)

.
⇔
⇔
 x = 5π + k 2π
 2x = π − x − 7π + k2π


36
3
12
2. Phương trình đã cho tương đương với
3sin2 x + 5cos2 x − 2(cos2 x − sin2 x) = 8sin xcos x
9


Ths Nguyễn Đức Lợi

THPT Lê Hồng Phong

⇔ 5sin x − 8sin x cos x + 3cos x = 0
2

2

⇔ 5tan2 x − 8tan x + 3 = 0 ⇔ tan x = 1 hoặc tan x =
⇔ x=

3
5


2
⇔ 2sin x + 3sin x − 2 = 0 ⇔ sin x = = sin ⇔ 
2
6
x =

4. Điều kiện : cos x ≠ 0 ⇔ x ≠

π
+ k2π
6
.
5π
+ k2π
6

π
+ kπ .
2


π  sin2 x
⇔
1
−
cos(
x
−
)
− (1+ cos x) = 0



Ths Nguyễn Đức Lợi

THPT Lê Hồng Phong

2
3. sin x + 3tan x = cos x( 4sin x − cos x)

Lời giải:
1. Phương trình ⇔ sin3 x + cos3 x = (sin x − cos x)(sin2 x + cos2 x)
⇔ 2cos3 x − sin x cos2 x + cos x.sin2 x = 0

(

)

⇔ cos x sin2 x − sin x cos x + 2cos2 x = 0
⇔ cos x = 0 ⇔ x =

π
+ kπ (Do sin2 x − sin x cos x + 2cos2 x > 0 ∀x ∈ ¡ )
2

2. Phương trình ⇔ 2cos3 x = 3sin x − 4sin3 x
⇔ 4sin3 x + 2cos3 x − 3sin x(sin2 x + cos2 x) = 0
⇔ sin3 x − 3sin x cos2 x + 2cos3 x = 0
⇔ tan3 x − 3tan x + 2 = 0 (do cos x = 0 không là nghiệm của hệ)
⇔ (tan x − 1)(tan2 x + tan x − 2) = 0



THPT Lê Hồng Phong

1. Nhận thấy cos x = 0 không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế của
phương trình cho cos2 x ta được:

π
 tan x = −1  x = − + kπ
tan x − 5tan x − 6 = 0 ⇒ 
⇔
.
4

 tan x = 6
 x = arctan6 + kπ
t= tan x

2

2. Phương trình ⇔ sin2 x − 3sin x.cos x = −(sin2 x + cos2 x)
⇔ 2sin2 x − 3cos x sin x + cos2 x = 0
Do cos x = 0 không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế phương trình cho
cos2 x ta được:

π
 tan x = 1
x = + kπ

4
2tan2 x − 3tan x + 1 = 0 ⇒ 

t= tan x

4. Phương trình ⇔ sin3 x + cos3 x = (sin x − cos x)(sin2 x + cos2 x)
⇔ 2cos3 x − sin x cos2 x + cos x.sin2 x = 0

(

)

⇔ cos x sin2 x − sin x cos x + 2cos2 x = 0
⇔ cos x = 0 ⇔ x =

π
+ kπ
2
2


1
 7
(Do sin x − sin x cos x + 2cos x =  sin x − cos x÷ + cos2 x > 0 ).
2

 4
2

2

Ví dụ 8. Giải các phương trình sau:
1. cos3x + cos2x − cos x − 1 = 0

cùng một cung x .
Phương trình ⇔ 4cos3 x − 3cos x + (2cos2 x − 1) − cos x − 1 = 0
⇔ 2cos3 x + cos2 x − 2cos x − 1 = 0.
Đặt t = cos x, t ≤ 1.
1
Ta có: 2t3 + t2 − 2t − 1 = 0 ⇔ (t2 − 1)(2t + 1) = 0 ⇔ t = ±1,t = − .
2
* t = ±1 ⇔ cos x = ±1 ⇔ sin x = 0 ⇔ x = kπ
* t=−

1
1
2π
2π
⇔ cos x = − = cos ⇔ x = ±
+ k2π .
2
2
3
3

Chú ý: Ta có thể giải bài toán trên theo cách sau
phương trình ⇔ cos3x − cos x − (1− cos2x) = 0
⇔ −2sin2x sin x − 2sin2 x = 0 ⇔ sin2 x(2cos x + 1) = 0
 x = kπ
sin x = 0

⇔
⇔
.

π

π
) = sin (x + ) − 2π  = sin(x + ) = cos x
2
2
2


13


Ths Nguyễn Đức Lợi

sin(

THPT Lê Hồng Phong

7π

π 
π
1
− x) = sin  2π − (x + ) = − sin(x + ) = −
( sin x + cos x)
4
4
4
2


⇔ 2sin x cos x(2cos x + 1) = 2cos x + 1

π
 x = 4 + kπ
⇔ (2cos x + 1)(sin2x − 1) = 0 ⇔ 
.
 x = ± 2π + k2π

3
Ví dụ 8. Giải các phương trình sau:

(

)

(

)

3
3
4
4
1. 4 cos3xcos x + sin 3xsin x + 3sin6x = 1+ 3 cos x − sin x

(

)

4

π
π
Suy ra nghiệm cần tìm là x = k ; x = + k .
3
9
3

cos2x ≠ 0  x ≠
⇔
2. Điều kiện 
cos x ≠ 0
x ≠


π
π
+k
4
2
.
π
+ kπ
2
14


Ths Nguyễn Đức Lợi

THPT Lê Hồng Phong


=3
cos2x

π
⇔ cos4x + 3sin4x = 2sin2x ⇔ sin(4x + ) = sin 2x .
6
Từ đó ta tìm được nghiệm thỏa mãn phương trình là:
x= −

π
5π kπ
+ kπ; x =
+
.
12
36 3

Ví dụ 10. Chứng minh rằng hàm số sau chỉ nhận giá trị dương :
y = sin2 x − 14sin x.cos x − 5cos2 x + 3.3 33
Lời giải:
• Nếu cos x = 0 ⇒ y = 1+ 3. 33 > 0
3

2
3
3
• Với cos x ≠ 0 ta có: y = (1+ 3 33)tan x − 14tan x + 3 33 − 5
cos2 x

Vì ∆ = 72 − (1+ 3.3 33)(3.3 33 − 5) < 0

cos (α + β)
2

tan2(α + β) − 10tan(α + β) − 2 4− 20 − 2
18
=
=−
2
1+ 4
5
1+ tan (α + β)

2. Theo định lí Viét ta có: tan α + tan β = −b,tan α.tan β = c
Suy ra tan(α + β) =

tan α + tan β
−b
=
.
1− tan α.tan β 1− c

2
Ta có: P(1+ tan (α + β)) =

P
cos (α + β)
2

= atan2(α + β) + 2btan(α + β) + c




π
 x = − 4 + kπ
A. 
, k∈ ¢
 x = 5π + kπ

12

, k∈ ¢


x =
B. 
x =



π
π
x = − 4 + k 2
D. 
, k∈ ¢
x = π + k π

12
2
16


π
π

π
 2x + 3 = − 6 + k2π
 x = − 4 + kπ
⇔
⇔
, k∈ ¢
 2x + π = π + π + k2π
 x = 5π + kπ

3
6
12


(

)

Bài 2. Giải phương trình cos 3x+ 150 =

3
2

 x = 250 + k.1200
A. 
, k∈ ¢
0

 3x + 150 = 300 + k.3600
 x = 50 + k.1200
⇔
⇔
, k∈ ¢

0
0
0
0
0
 3x + 15 = −30 + k.360
 x = −15 + k.120
1 1
Bài 3. Giải phương trình sin(4x+ ) =
2 3

1
π
x = − 8 + k 2
A. 
, k∈ ¢
x = π + k π

4
2

B.



, k∈ ¢
 x = π − 1 arcsin 1 + k π

4 4
3
2
Lời giải:

17


Ths Nguyễn Đức Lợi

THPT Lê Hồng Phong


1
1
 4x + 2 = arcsin 3 + k2π
Phương trình ⇔ 
 4x + 1 = π − arcsin 1 + k2π

2
3

1 1
1
π
 x = − 8 − 4 arcsin 3 + k 2
⇔

, k∈ ¢
π 1 k2π
+ +
6 3 3


x =
C. 
x =


π
− 3+ k2π
2
, k∈ ¢
π 1 k2π
− +
6 3 3


x =
D. 
x =


π
+ k2π
2
, k∈ ¢
π 1 k2π

+ +
6 3 3

Bài 5. Giải phương trình 2cos x − 2 = 0
A. x = ±

π
+ k2π, (k∈ ¢ )
6

B. x = ±

π
+ k2π, (k∈ ¢ )
5

C. x = ±

π
+ k2π, (k∈ ¢ )
3

D. x = ±

π
+ k2π , (k∈ ¢ )
4

Lời giải:
Phương trình ⇔ cos x =


3
5 3
arccot
+ kπ (k∈ ¢ )
2
2 2


Ths Nguyễn Đức Lợi

C. x =

THPT Lê Hồng Phong

3
3 3
arccot
+ kπ (k∈ ¢ )
2
7 2

D. x =

3
3 3
arccot
+ kπ (k∈ ¢ )
2
2 2


π
+ kπ , k∈ ¢
2

B. x =

π
+ kπ , k∈ ¢
3

C. x =

π
+ kπ , k∈ ¢
5

D. x = kπ, k∈ ¢
Lời giải:


π
 π
Phương trình ⇔ tan  3x − ÷ = tan  − ÷
3

 3
⇔ 3x −

π

A. x = arctan 2+
3
2
C. x =

1
kπ
arctan 2 +
, k∈ ¢
2
3

1
kπ
, k∈ ¢
B. x = arctan 2+
3
3
D. x =

Lời giải:
Phương trình sin2x = 2cos2x ⇔ tan 2x = 2
19

1
kπ
arctan 2+
, k∈ ¢
2
2

Lời giải:


2x = x + kπ
 x = kπ


π
π


Phương trình ⇔  x ≠ + kπ ⇔  x ≠ + kπ ⇔ x = kπ, k∈ ¢ .
2
2


π
π
π
π


 x ≠ 4 + k 2
 x ≠ 4 + k 2

Bài 11. Giải phương trình
A. x =

π
+ 2kπ


π
π
π
⇔ 2x = + k2π ⇔ x = + kπ
3
3
6

(k ∈ ¢ ) .

Bài 12. Giải phương trình cos2 x − sin2x = 0

π
 x = 2 + kπ
A. 
( k∈ ¢ )
 x = arctan 1 + kπ

3


π
 x = 2 + kπ
B. 
( k∈ ¢ )
 x = arctan 1 + kπ

4


2

.
⇔ cos x(cos x − 2sin x) = 0 ⇔ 
⇔
1⇔

2sin
x
=
cos
x
1
tan x =
 x = arctan + kπ


2

2
20

(k∈ ¢ )


Ths Nguyễn Đức Lợi

THPT Lê Hồng Phong

Bài 13. Giải phương trình sin(2x + 1) + cos(3x − 1) = 0


π
 x = 2 + 6 + k2π
D. 
( k∈ ¢ )
 x = π + k 2π

10
5
Lời giải:

π

Phương trình ⇔ cos(3x − 1) = sin(−2x − 1) = cos + 2x + 1÷
2


π

π
 x = 2 + 2+ k2π
 3x − 1 = 2 + 2x + 1+ k2π
⇔
⇔
 x = − π + k 2π
 3x − 1 = − π − 2x − 1+ k2π


10
5

 x = 11π + kπ

4

D.


7π kπ
 x = 72 + 3

( k∈ ¢ )
 x = 11π + kπ

24
21


Ths Nguyễn Đức Lợi

THPT Lê Hồng Phong

Lời giải:

π
π

Phương trình ⇔ sin  4x − ÷ = sin  − 2x ÷
4

3

π
Bài 15. Giải phương trình cos7x + sin(2x − ) = 0
5

π k2π
 x = 50 + 5
A. 
( k∈ ¢ )
 x = − π + kπ

20 5


3π k2π
 x = − 50 + 5
B. 
( k∈ ¢ )
 x = − π + kπ

20 5


x =
C. 
x =



3π k2π
 x = 50 + 5

7x = 10 + 2x + k2π
 x = 50 + 5
⇔
⇔
7x = − 3π − 2x + k2π
 x = − π + kπ


10
20 5

π
Bài 16. Giải phương trình sin2 2x = cos2(x − )
4

x =
A. 
x =


π
+ kπ
4
( k∈ ¢ )
π kπ
+
2 3


π


THPT Lê Hồng Phong

Lời giải:

π
1+ cos 2x − ÷
Phương trình
2
1− cos4x

⇔
=
⇔ cos4x = sin(−2x)
2
2

π
 x = 4 + kπ
π

⇔ cos4x = cos + 2x÷ ⇔ 
2

 x = π + kπ

12 3

Bài 17. Giải phương trình sin2 x + cos2 4x = 1



kπ
3 k∈ ¢
(
)
kπ
5


x =
D. 
x =


kπ
33 k∈ ¢
(
)
kπ
35

Lời giải:

x =
⇔
cos8
x
=
cos2
x

 x = ± 5 arccos − 1  + kπ
 6÷

2





kπ
x = 2
C. 
( k∈ ¢ )
 x = ± 7 arccos − 1  + kπ
 6÷

2





kπ
x = 2
D. 
( k∈ ¢ )
 x = ± 1 arccos − 1  + kπ
 6÷

2


kπ
4
( k∈ ¢ )
1
 3  kπ
arccos − ÷+
4
 5 2


kπ
x = 4
B. 
( k∈ ¢ )
 x = ± 1 arccos − 3  + kπ
 5÷ 2

3





kπ
 x = 1+ 4
C. 
( k∈ ¢ )
 x = ± 1 arccos − 3  + kπ
 5÷ 2



Bài 20. Giải phương trình
A. x =

x=

cos2x
=0
1− sin2x

π
+ kπ ,( k∈ ¢ )
4

3π
+ 2kπ,( k∈ ¢ )
4

B. x =

D. x =

3π
+ kπ,( k∈ ¢ )
14

3π
+ kπ ,( k∈ ¢ )
4


x =
A. 
x =



x =

x =


THPT Lê Hồng Phong


x =
B. 
x =


π
π
+k
4
2 k∈ ¢
(
)
2kπ
3


(
)
kπ
3
Lời giải:

Điều kiện: sin2x ≠ 0 ⇔ x ≠

kπ
2


cot2x = 0  x =
⇔
Phương trình ⇔ 
sin3x = 0  x =


π
π
+k
4
2
kπ
3

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình là x =

π
π

π
π
+k
8
4

Phương trình ⇔ 4x = 3x + mπ ⇔ x = mπ
Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình x = mπ .
Bài 23. Giải phương trình cot5x.cot8x = 1
A. x =

π mπ
+
, m ≠ 13n + 5,( m, n∈ ¢ )
26 13

B. x =

π mπ
+
, m ≠ 13n + 6,( m, n∈ ¢ )
26 15

C. x =

π mπ
+
, m ≠ 13n + 7,( m,n ∈ ¢ )
26 13