CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
1. Cấp số cộng
 u1 = a
, n∈ N * gọi là cấp
1.1. Định nghĩa: Dãy số (un) được xác định bởi 
u
=
u
+
d
n
 n+1
số cộng; d gọi là công sai.
2.1. Các tính chất:
• Số hạng thứ n được cho bởi công thức: un = u1 + (n − 1)d .
• Ba số hạng uk ,uk+1 ,uk+ 2 là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi
1
uk+1 = ( uk + uk+ 2 ) .
2
• Tổng n số hạng đầu tiên Sn được xác định bởi công thức :
n
n
Sn = u1 + u2 + ... + un = ( u1 + un ) =  2u1 + ( n − 1) d .
2
2
2. Cấp số nhân
 u1 = a
, n∈ N * gọi là cấp
1.2. Định nghĩa: Dãy số (un) được xác định bởi 
un+1 = un .q
q

Ví dụ 1. Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng
bằng 20 và tổng các bình phương của chúng bằng 120.
A. 1,5,6,8
B. 2,4,6,8
C. 1,4,6,9
D. 1,4,7,8
Lời giải:
Giả sử bốn số hạng đó là a− 3x; a− x; a+ x; a+ 3x với công sai là d = 2x .Khi đó, ta
có:
 ( a− 3x) + ( a− x) + ( a+ x) + ( a+ 3x) = 20

2
2
2
2
( a− 3x) + ( a− x) + ( a+ x) + ( a+ 3x) = 120

4a = 20
 a= 5
⇔ 2
⇔
2
4a + 20x = 120  x = ±1
Vậy bốn số cần tìm là 2,4,6,8 .
Chú ý:
* Cách gọi các số hạng của cấp số cộng như trên giúp ta giải quyết bài toán
gọn hơn.
* Nếu số hạng cấp số cộng là lẻ thì gọi công sai d = x , là chẵn thì gọi công sai
d = 2x rồi viết các số hạng cấp số dưới dạng đối xứng.
 a1 + a2 + ... + an = p

A. un = 3n − 2
B. un = 3n − 4
C. un = 3n − 3
2. Tính S = u1 + u4 + u7 + ... + u2011 .
A. S = 673015
B. S = 6734134
Gọi d là công sai của CSC, ta có:

C. S = 673044

)

D. d = 5
D. un = 3n − 1
D. S = 141

Lời giải:

(u1 + d) − (u1 + 2d) + (u1 + 4d) = 10 u1 + 3d = 10 u1 = 1
⇔
⇔

(u1 + 3d) + (u1 + 5d) = 26
u1 + 4d = 13 d = 3
1. Ta có công sai d= 3 và số hạng tổng quát : un = u1 + (n − 1)d = 3n − 2 .
2. Ta có các số hạng u1 ,u4 ,u7 ,...,u2011 lập thành một CSC gồm 670 số hạng với
670
công sai d' = 3d , nên ta có: S =
( 2u1 + 669d') = 673015
2

Lời giải:
u1 + 4d + 3(u1 + 2d) − (u1 + d) = −21
Từ giả thiết bài toán, ta có: 
 3(u1 + 6d) − 2(u1 + 3d) = −34
u + 3d = −7
u = 2
⇔ 1
⇔ 1
.
u1 + 12d = −34 d = −3
1. Số hạng thứ 100 của cấp số: u100 = u1 + 99d = −295
2. Tổng của 15 số hạng đầu: S15 =

15
 2u + 14d = −285
2 1

27
 2u + 26d
2 4
= 27( u1 + 16d) = −1242 .
Chú ý: Ta có thể tính S theo cách sau:
3. Ta có: S = u4 + u5 + ... + u30 =

S = S30 − S3 = 15( 2u1 + 29d) −

3
( 2u + 2d) = −1242 .
2 1


1003
S=
( 2u5 + 1002.6) = 3028057 .
2
Ví dụ 5. Cho một cấp số cộng (un ) có u1 = 1 và tổng 100 số hạng đầu bằng
1
1
1
+
+ ... +
24850. Tính S =
u49u50
u1u2 u2u3
A. S =

9
246

B. S =

4
23

C. S = 123

D. S =

49
246


1
1
1
− + − + ... +
−
+
−
u1 u2 u2 u3
u48 u49 u49 u50

1 1
1
1
245
−
= −
=
u1 u50 u1 u1 + 49d 246

49
.
246

Ví dụ 6. Cho cấp số nhân (un) có các số hạng khác không, tìm u1 biết:
 u1 + u2 + u3 + u4 = 15
1.  2 2 2 2
u1 + u2 + u3 + u4 = 85
A. u1 = 1,u1 = 2

B. u1 = 1,u1 = 8

D. u1 = ,u1 =
13
13
11
11

Lời giải:

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất


 q4 − 1
= 15
u1
u1(1+ q+ q2 + q3 ) = 15
 q− 1
⇔
1. Ta có:  2
2
4
6
8
u1 1+ q + q + q = 85 u2 q − 1 = 85
 1 q2 − 1

2
q = 2
 q4 − 1  q2 − 1 45 (q4 − 1)(q+ 1) 45 
⇒
⇔


(

⇒

)

q4 + 1
82
1
=
⇔ q = 3,q = .
3
2
3
q + q + q 39


2
u4 =
Ví dụ 7. Cho cấp số nhân (un ) thỏa: 
27 .
u3 = 243u8
1. Viết năm số hạng đầu của cấp số;
2
2
2
2
2
2

3
9
27
81
2. Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số;
59048
59123148
1359048
A. S10 =
B. S10 =
C. S10 =
12383
19683
3319683
3. Số

2
là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số ?
6561
A.41
B.12
C.9

D. S10 =

D.3

Lời giải:
Gọi q là công bội của cấp số. Theo giả thiết ta có:
 3 2


2
2
2
2
,u3 = ; u4 =
,u5 = .
3
9
27
81

10

 1
 3÷ − 1
10
  1 10  59048
q −1


.
S10 = u1
= 2.
= 31−  ÷  =
1
q− 1
3   19683




B. d= 3

C. d= −3

D. d= 1

1
2

C. d = −3

D. d = 1

2
n
A. d = ∅

B. d=

Lời giải:
1. Ta có: un+1 − un = 2(n + 1) + 3− (2n + 3) = 2 là hằng số
Suy ra dãy (un ) là cấp số cộng với công sai d = 2 .
2. Ta có: un+1 − un = −3(n + 1) + 1− (−3n + 1) = −3 là hằng số
Suy ra dãy (un ) là cấp số cộng với công sai d = −3.
3. Ta có: un+1 − un = (n + 1)2 + 1− (n2 + 1) = 2n + 1 phụ thuộc vào n . Suy ra dãy (un )
không phải là cấp số cộng.
2
2
−2


D. q= ∅

2
.
n
A. q= 3

B. q=

Lời giải:
1. Ta có:

un+1 n + 1
=
phụ thuộc vào n suy ra dãy (un ) không phải là cấp số
un
n

nhân.
un+1 4.3n+1
=
= 3 không phụ thuộc vào n suy ra dãy (un ) là một cấp số
2. Ta có:
un
4.3n
nhân với công bội q= 3.
3. Ta có:

un+1

A. d= ∅

B. d=

2
5

C. d= −3

D. d= 1

n+ 1
n
A. d = ∅

B. d = 3

C. d = −3

D. d = 1

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất


n
2n
A. d= ∅

B. d= 3


6. Tương tự ý 4 dãy (un ) không là CSC.
Bài 4 Xét xem các dãy số sau có phải là cấp số nhân hay không? Nếu phải
hãy xác định công bội.
1. un = 2n
A. q= 3
B. q= 2
C. q= 4
D. q= ∅

3n−1
5
A. q= 3

B. q= 2

C. q= 4

D. q= ∅

3. un = 3n − 1
A. q= 3

B. q= 2

C. q= 4

D. q= ∅

2n − 1
4. un =

2. Ta có:

un+1
= 3 ⇒ (un ) là CSN với công bội q= 3
un

3. Ta có:

un+1 3n + 2
=
⇒ (un ) không phải là CSN
un
3n − 1

un+1 2n+1 − 1
= n
⇒ (un ) không phải là CSN
4. Ta có:
un
2 −1
un+1 (n + 1)3
=
⇒ (un ) không phải là CSN .
5. Ta có:
un
n3
Bài 5.
1. Tam giác ABC có ba góc A , B,C theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng và
C = 5A . Xác định số đo các góc A , B,C .
 A = 100


sin A + sin B + sin C =

D. 400 ,600 ,800

Lời giải:
1. Từ giả thiết bài toán ta có hệ phương trình :
 A = 200
 A + B + C = 1800
C = 5A



⇔  B = 3A
⇔  B = 600 .
 A + C = 2B
C = 5A
9A = 1800
C = 1000



2. Ba góc của tam giác: 300 ,600 ,900

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất


n

Bài 6. Cho dãy số (un ) với u = 32+1

D. S = (310 − 1)
2

D.17

Lời giải:
n+1
+1
2

un+1 3
= n = 3 ,∀n∈ N * ⇒ Dãy số là cấp số nhân với u1 = 3 3; q = 3 .
+1
un
32
2. Ta có u2 ;u4 ;u6 ;… ;u20 lập thành cấp số nhân số hạng đầu u2 = 9; q = 3 và có 10
số hạng nên
1− 310
310 − 1 9 10
S = u2.
= 9.
= (3 − 1)
1− 3
2
2
n
+1
n
3. Ta có : un = 19683 ⇔ 32 = 39 ⇔ + 1= 9 ⇔ n = 16
2

C. −2; −1;0
D. −3; −2; −1

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất


3. Cho bốn số nguyên dương, trong đó ba số đầu lập thành một cấp số cộng,
ba số sau lập thành cấp số nhân. Biết tổng số hạng đầu và cuối là 37, tổng
hai số hạng giữa là 36, tìm bốn số đó.
A. b = 15,c = 20,d = 25, a = 12
B. b = 16, c = 20,d = 25, a = 12
C. b = 15,c = 25,d = 25, a = 12
D. b = 16, c = 20,d = 25, a = 18
Lời giải:
1. Gọi CSN đó là (un), n = 1,7 . Theo đề bài ta có :

2
3
 u4 = 6
 u1.q = 6
u1 =
⇔
⇔
9

6
u7 = 243u2
u1.q = 243u1.q  q = 3

Do đó các số hạng còn lại của cấp số nhân là


d = 73− 3b
bd = c2
b(73− 3b) = (36 − b)2


⇔ b = 16,c = 20, d = 25, a = 12 .
Bài 8.
u7 − u3 = 8
1. Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn 
. Tìm u1 ,d ?
 u2.u7 = 75
d = 2
A. 
u1 = 2,u1 = −17
d = 2

u1 = −3,u1 = −17

d = 2
B. 
u1 = 3,u1 = −7

C.

d = 2
D. 
u1 = 3,u1 = −17

u31 + u34 = 11

(u1 + d)(u1 + 6d) = 75 u1 = 3,u1 = −17
 2u1 + 63d = 11
u = −89
⇔ 1
2. Ta có: 
2
2
(u1 + 30d) + (u1 + 33d) = 101 d = 3
Vậy un = 3(n − 1) − 89 = 3n − 92.
n1
( 2u1 + (n1 − 1)d)
2
n
n
S2 = 2 ( 2u2 + (n2 − 1)d) ; S3 = 3 ( 2u3 + (n3 − 1)d)
2
2
Ta có điều phải chứng minh.
3. Thay công thức S1 =

u1 + u2 + u3 + u4 + u5 = 11

Bài 9. Cho CSN (un ) thỏa: 
82
u1 + u5 =

11
1. Tìm công bội và số hạng tổng quát của cấp số
1
81 1

A.1
B.2
C.3

(

)

D. 4

Lời giải:
1. Gọi q là công bội của cấp số. Khi đó ta có:

39 
39
2
3
u2 + u3 + u4 = 11 u1 q+ q + q = 11
⇔

u + u = 82
u 1+ q4 = 82
1
5

11
 1
11

(

3
11
11 3
1
3n−1
• q = 3 ⇒ u1 = ⇒ un =
.
11
11
q2011 − 1
2. Ta có: S2011 = u1
q− 1
• q=

1
243 
1 
⇒ S2011 =
1− 2011 ÷

3
22  3 
1 2011
• q = 3 ⇒ S2011 =
3 −1
22
3n−1  1 
∈ ;1 ⇔ n = 3 nên có một số hạng của dãy
3. Với q= 3 ta có: un =
11  2 ÷

k+ 1
k
1
1
=
+
= uk +
Ta có: uk+1 =
2011! 2011! 2011!
2011!
Nên dãy (un ) là CSC có 2011 số hạng.
1
=x
Hơn nữa uk =
1.2...(k − 1)(k + 1)...2011 1.2...( k−1)( k+1)...2011
Từ đó ta có đpcm.
1. Xét dãy số (un ) : uk =

Vấn đề 2. Chứng minh tính chất của cấp số
Phương pháp:
• Sử dụng công thức tổng quát của cấp số, chuyển các đại lượng qua số
hạng đầu và công sai, công bội.
• Sử dụng tính chất của cấp số:

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất


i ) a, b, c theo thứ tự đó lập thành CSC ⇔ a+ c = 2b
ii ) a, b, c theo thứ tự đó lập thành CSN ⇔ ac = b2
Các ví dụ

 5
= ÷
 3

= p( p− n)(m−n)

Ví dụ 2. Chứng minh rằng dãy số (un ) là:
1. CSC khi và chỉ khi un = an + b
. n.
2. CSN khi và chỉ khi un = aq
Lời giải:
1. Giả sử (un ) là một CSC công sai d , khi đó :
un = u1 + (n − 1)d = dn + u1 − d = an + b.
Giả sử: un = an + b⇒ un+1 − un = a⇒ un+1 = un + a, ∀n
Suy ra (un ) là một CSC với công sai a.
2. Giả sử (un ) là CSN với công bội q, khi đó: un = u1.qn
un+1
= q ⇒ un+1 = qu
. n , ∀n
un
Suy ra dãy (un ) là CSN với công bội q.
. n , suy ra
Giả sử un = aq

Ví dụ 3. Chứng minh rằng :
1. Nếu phương trình x3 − ax2 + bx − c = 0 có ba nghiệm lập thành CSC thì
9ab = 2a3 + 27c
2. Nếu phương trình x3 − ax2 + bx − c = 0 có ba nghiệm lập thành CSN thì
c(ca3 − b3 ) = 0
Lời giải:

b
−
c
=
0
⇔
−
+ − c = 0 ⇔ 9ab = 2a3 + 27c
 3÷
 3÷
 3÷
27 3
 
 
 
Ta có đpcm.
2. Giả sử ba nghiệm x1 , x2 , x3 lập thành CSN, suy ra x1x3 = x22
Theo phân tích bài trên, ta có: x1x2x3 = c ⇒ x23 = c ⇒ x2 = 3 c
Hay phương trình đã cho có nghiệm x2 = 3 c , tức là:

( c)
3

3

( c)

−a

3

m+ n
Chứng minh rằng: (xn) là một cấp số cộng.
Lời giải:
– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất


Đặt an = xn − nx1 , khi đó ta có a1 = 0 và | am+ n − am − an |

b+ c

=

b− a
c− b
c− a
+
=
d
d
d
c− a
2
=
=
.
d( c + a)
c+ a

un− k = u1 + (n − k − 1)d
3. Gọi d là công sai của cấp số. Ta có: 
un+ k = u1 + (n + k − 1)d
⇒ un− k + un+ k = 2u1 + ( 2n − 2) d = 2un ⇒ un =

un− k + un+ k
2

Bài 2
1. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng tan

B
sin( + )
sin
A
C
B
2 2 =2
2
⇔ tan + tan = 2tan ⇔
A
C
B
2
2
2
cos cos
cos
2
2
2
B
B
A C
 A C 
⇔ cos2 = sin cos + ÷+ cos − ÷
2
2
 2 2
 2 2 
tan

2
2
2
2=
2
2
2
2
⇔
A
B
C
B
sin sin
sin sin
2
2
2
2
B− A
B+ A
C−B
C+B
⇔ sin
cos
= sin
.cos
2
2
2


n
n
n
n
n
n
2n
2n
2n
*
4. a + b + c a − b + c = a + b + c ; n∈ ¥

Lời giải:
Vì a, b, c lập thành cấp số nhân nên ta có b2 = ac .

1. Ta có: ( a+ b+ c) ( a− b+ c) = ( a+ c) − b2 = a2 + 2ac + c2 − b2
2

= a2 + 2b2 + c2 − b2 = a2 + b2 + c2

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất


(

)(

) (


1. a1an = ak .an− k+1 , k = 1; n
2. Sn ( S3n − S2n ) = ( S2n − Sn ) .
2

Lời giải:

Gọi q là công bội của cấp số
1. Ta có: a1an = a1.a1qn−1 = a12qn−1
ak .an− k+1 = a1.qk−1.a1.qn−k = a12.qn−1
Suy ra : a1an = ak .an− k+1 .
2. Ta có: Sn ( S3n − S2n )

(S

2n

− Sn )

2n
n
2
qn − 1  q3n − 1 q2n − 1
2 q (q − 1)
= u1
.u 
−
÷= u
q− 1 1  q− 1
q− 1  1 (q− 1)2
2

2. Cho cấp số cộng (an) với các số hạng khác không và công sai khác
1
1
1
n− 1
+
+ ... +
=
không.Chứng minh rằng:
.
a1a2 a2a3
an−1an a1an

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất


 1
1
2
aa + a a = aa
 12
2 3
1 3
3. Cho bốn số thực a1; a2 ; a3 ; a4 .Biết rằng : 
 1 + 1 + 1 = 3
 a1a2 a2a3 a3a4 a1a4
Chứng minh rằng : a1; a2 ; a3 ; a4 lập thành cấp số cộng.
4. Cho a, b, c lần lượt là ba số hạng thứ m,n, p của một cấp số cộng. Chứng
minh rằng : a.( n − p) + b.( p − m) + c.( m− n) = 0 .
5. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để ba số a, b, c là ba số hạng của


k− l

 b
= ÷
 c

r

 p + t + r = 0
 a  b
• Giả sử ta có  p t r
⇒ ap.cr = bp+r ⇒  ÷ =  ÷ (*)
 a .b .c = 1
 b  c 
Do p + t + r = 0 nên tồn tại ít nhất một số dương và một số âm.
b
. r kết hợp với (*) ta có
Giải sử r > 0,t < 0. Đặt = qr ⇒ b = aq
a
p

r

 a   aq
. r
=
. r+ p .
 r÷ 
÷ ⇒ c = aq

3. Ta có

1
1
2
+
=
⇔ a3 + a1 = 2a2 ⇒ a1 − a2 = a2 − a3 = d
a1a2 a2a3 a1a3

1
1
1
3
2
1
3
+
+
=
⇔
+
=
a1a2 a2a3 a3a4 a1a4
a1a3 a3a4 a1a4
⇔ 2a4 + a1 = 3a3 ⇔ 2a4 = 3(a1 + 2d) − a1 ⇒ a4 = a1 + 3d .
4. Ta có: b = a+ (n − m)d; c = a+ (p − m)d
Suy ra

VT = a(n − p) +  a+ (n − m)d (p − m) +  a+ (p − m)d (m− n)

6. Ta có Sm = Sn ⇔ 2u1(m− n) + (m2 − n2 )d− (m− n)d = 0
⇔ 2u1 + (m+ n − 1)d = 0
n+ m
 2u + (m+ n − 1)d = 0 .
2  1
7. Giả sử là ba cạnh tam giác theo thứ tự đó lập thành CSN với công bội q.
 a+ aq > aq2
q2 − q− 1< 0
⇔ 2
Ta có:  2
 aq + aq > a q + q− 1> 0
Suy ra Sm+n =

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất


  1− 5 1+ 5 
;
q∈ 
÷
2 ÷
 5 − 1 5 + 1
  2

⇔
⇔ q∈ 
;
÷.
 2
2 ÷


2

2

2

2
2
⇔ 2b2 + ab+ bc = a2 + 2ac + c2 ⇔ b(a+ b+ c) + b − (a+ c) = 0
⇔ b(a+ b+ c) + (a+ b+ c)(b− a− c) = 0
⇔ 2b− a− c = 0 ⇔ 2b = a+ c .
n

 1
 ÷ −1
n
q
q
−
1
1
1 qn − 1
2. Ta có: S = u1
;T=  
=
q− 1
u1 1
u1 qn−1(q− 1)
−1

n!
n!
+
=2
k!(n − k)! (k + 2)!(n − k − 2)!
(k + 1)!(n − k − 1)!
⇔ (k + 1)(k + 2) + (n − k)(n − k − 1) = 2(k + 2)(n − k)
Đây là phương trình bậc hai ẩn k nên có nhiều nhất hai nghiệm.
⇔

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất


2. Giả sử tồn tại k để Cnk , Cnk+1 , Cnk+ 2 và Cnk+ 3 là bốn số hạng liên tiếp của một
CSC.
Do Cnk = Cnn− k nên suy ra: Cnn− k ,Cnn− k−1 ,Cnn− k−2 ,Cnn− k−3 cũng tạo thành bốn số hạng
liên tiếp của một CSC.
Vậy ta có các bộ sau là ba số hạng liên tiếp của một CSC:
Cnk ,Cnk+1 ,Cnk+ 2
Cnk , Cnk+1 , Cnk+ 2 , Cnk+ 3
Cnn− k−3 ,Cnn− k− 2 ,Cnn−k−1
Cnn− k−2 ,Cnn− k−1 ,Cnn−k

Ta chứng minh tập { k, k + 1,n − k − 3,n − k − 2} chứa không quá hai số khác nhau.
Thật vậy, giả sử k, k + 1, n − k − 3 là ba số khác nhau.
Khi đó, tồn tại ba CSC: Cnk ,Cnk+1 ,Cnk+ 2
Cnk+1 , Cnk+ 2 , Cnk+ 3
Cnn− k−3 ,Cnn−k− 2 ,Cnn− k−1
Điều này trái với kết quả câu 1)
Do k, k+ 1 và k − k − 3,n − k − 2 là các số tự nhiên liên tiếp nên ta có:

đều là cấp số cộng. Chứng minh rằng s1 , s2 , s3 ,... cũng là một cấp số cộng
Lời giải:
u1 + un+1 = uk+1 + un− k+1
, ∀k = 0,1,2,..., n
1. Ta có  k
n− k
Cn = Cn
– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất


n
uk+1 n  uk+1 un− k+1  n uk+1 + un− k+1
1
=
+
=
=
(
u
+
u
)
 k
∑
∑
∑
1
n
+
1

n
n+1
1 n + 1 n+1 2k
1
n + 2 n+ 2 2k
• Giả sử ∑ k = n+1 ∑ , ta chứng minh ∑ k = n+ 2 ∑
(2)
2 k=1 k
2 k=1 k
k= 0 Cn
k= 0 Cn+1

k+1
Mà Cn+1 =

n+1

1

k= 0

k
n+1

∑C

Thật vậy:

=


Suy ra ∑ k+1
 k +
÷
∑
∑
k
n + 1 k= 0 Cn
2(n + 1) k=0  Cn
Cnn−k ÷
k= 0 Cn+1

n

=

n+ 2 n 1
n + 2 n + 1 n+1 2k n + 2 n+1 2k
=
∑
∑ =
∑
2(n + 1) k= 0 Cnk 2(n + 1) 2n+1 k=1 k 2n+ 2 k=1 k

1
n + 2 n+1 2k n + 2 n+ 2 2k
=
1
+
∑
∑ =


(3)

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất


Ta xét hai trường hợp:
• b− a = kp .
Khi đó, với mỗi số nguyên dương n , ssn + k = b+ np = a+ (n + k)p = ssn+k , từ đây kết
hợp với dãy s1 , s2 , s3 ,... là một dãy tăng ngặt ta có sn+ k = sn + k .
Mặt khác do sn < sn+1 < ... < sn+ k = sn + k nên sn+1 = sn + 1 và do đó s1 , s2 , s3 ,... là một
cấp số cộng với công sai bằng 1.
• b− a < kp .
Chọn số nguyên dương N sao cho sN +1 − sN = m. Khi đó
m(a− b+ p − k) = m((a+ (N + 1)p) − (b+ Np + k))
≤ sa+(N +1)p − sb+ Np+ k = sss

N +1

− sss

N +k

+k

= (a+ sN +1p) − (b+ (sN + k)p) = (sN +1 − sN )p + a− b− kp
= mp + a− b− kp,
do vậy: (b− a− km) + (kp − m(b− a)) ≤ 0.
(4)
Từ các bất đẳng thức (2), (3) và (4) ta thu được các đẳng thức sau:

1. Ta có: x + 1, x − 2,1− 3x lập thành cấp số cộng
⇔ x2 + 1+ 1− 3x = 2(x − 2) ⇔ x2 − 5x + 6 = 0 ⇔ x = 2; x = 3
2

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất


Vậy x = 2, x = 3 là những giá trị cần tìm.
2. Ta có: 1, x2 ,6 − x2 lập thành cấp số nhân ⇔ x4 = 6− x2 ⇔ x = ± 2 .
Ví dụ 2. Cho các số 5x − y, 2x + 3y, x + 2y lập thành cấp số cộng ; các số
2
2
( y + 1) , xy + 1,( x − 1) lập thành cấp số nhân.Tính x, y
 1 4  3 3 
A. (x; y) = ( 0;0) ; ; ÷; − ; − ÷
 3 3   4 10 
 11 4   3 3 
C. (x; y) = ( 1;0) ; ; ÷; − ; − ÷
 3 3   4 10 

 10 4   3 3 
B. (x; y) = ( 0;0) ; ; ÷; − ; − ÷
 3 3   4 10 
 10 4   13 13 
D. (x; y) = ( 0;1) ; ; ÷;  − ; − ÷
 3 3   4 10 

Lời giải:
Ta có các số 5x − y, 2x + 3y, x + 2y lập thành CSC nên suy ra
2( 2x + 3y) = 5x − y + x + 2y hay 2x = 5y (1)

10
 10 4   3 3 
Vậy (x; y) = ( 0;0) ; ; ÷; − ; − ÷.
 3 3   4 10 
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1. Tìm x để các số sau lập thành cấp số cộng
1. 1; x; x3
π

2. 1;sin  − x÷;4sin x
6 
⇔ y ( 4 − 3y) ( 10y + 3) = 0 ⇔ y = 0, y =

Bài 2. Tìm x, y biết:
1. Các số x + 5y,5x + 2y,8x + y lập thành cấp số cộng và các số

( y − 1)

2

, xy − 1,( x + 1) lập thành cấp số nhân.
2


3 
3
÷
A. (x; y) =  − 3; ÷; 3;
2 
2 ÷

3 
3
;  3;
÷
÷
D. (x; y) =  − 3; −
÷
÷
2
2

 


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất