CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2

|

0


CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2

Mục lục
HÀM SỐ LIÊN TỤC........................................................................2
Vấn đề 1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm...................2
Vấn đề 2. Xét tính liên tục của hàm số trên một tập..................8
Vấn đề 3. Chứng minh phương trình có nghiệm......................................14

HÀM SỐ LIÊN TỤC
1. Định nghĩa
�Cho hàm số y  f (x) xác định trên khoảng K và x0 �K
| HÀM SỐ LIÊN TỤC

1


CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2
f (x)  f (x0 )
1) Hàm số y  f (x) liên tục tại x0 � lim
x� x0
2) Hàm số y  f (x) không liên tục tại x0 ta nói hàm số gián đoạn tại x0
� y  f (x) liên tục trên một khoảng nếu nó kiên tục tại mọi điểm của khoảng
đó.
� y  f (x) liên tục trên đoạn �

a; b�
Cho hàm số f liên tục trên đoạn �
�
�. Nếu f (a) f (b)  0 thì phương trình
f (x)  0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a; b) .
Vấn đề 1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm
Phương pháp:
�Tìm giới hạn của hàm số y  f (x) khi x � x0 và tính f (x0 )
f (x) thì ta so sánh lim f (x) với f (x ) .
�Nếu tồn tại lim
0
x� x0
x� x0
Chú ý:
1. Nếu hàm số liên tục tại x0 thì trước hết hàm số phải xác định tại điểm đó
f (x)  l � lim f (x)  lim f (x)  l .
2. lim
x�x0
x�x
x�x
0

0

�f (x) khi x x0
f (x)  k .
3. Hàm số y  �
liên tục tại x  x0 � lim
x�x0
k


�f (x) khi x  x0
�Hàm số y  �
liên tục tại x  x0 khi và chỉ khi
�g(x) khi x �x0
lim f (x)  lim g(x) .

x� x0

x�x0

Các ví dụ
Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số sau tại x  3
�x3  27
khi x �3
�
�x2  x  6
f
x

1.   �
�10
khi x  3
�3

� x 3
khi x  3
�
2
x

�f (3) .
x�3
x 2
5
Vậy hàm số không liên tục tại x  3.

 lim

f (x)  lim(
x  1)2  4 ;
2. Ta có f (3)  4 và lim
x�3
x�3
lim f (x)  lim

x 3

 lim

2x  3  3
 3 �lim f (x)
x�3
2

2x  3  3 x�3
Vậy hàm số gián đoạn tại x  3.

x�3

x�3

x�1

x 1

x�1

lim f (x)  lim

x�1

(x  1)(x  2)

x�1

(x  1)(x  2)

x�1

 lim(2
 x)  3


x 1

 lim(
x  2)  3 �lim f (x)

x�1

x�1

4x  2
4
1
 lim

x�2 3
x 2
(4x)2  23 4x  4 3

Hàm số liên tục tại điểm x  2 � lim f (x)  f (2) � a 
x�2

2. Ta có : lim f (x)  lim
x�2



x�2



1
.
3

x4  5x2  4
(x2  1)(x  2)

lim
1

�
�1
khi x  4
�
�4
A. Hàm số liên tục tại x  4
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm trên tập xác định nhưng gián đoạn tại x  4
C. Hàm số không liên tục tại x  4
D. Tất cả đều sai
Lời giải:

| HÀM SỐ LIÊN TỤC

4


CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2

x2
1
1
 lim
  f (4)
x
�
4
x 4
x2 4
Hàm số liên tục tại điểm x  4.
Ta có : lim f (x)  lim


lim f (x)  lim 3x2  x  1  3 �lim f (x)
x�1

x�1

x�1

Hàm số không liên tục tại x  1.
� x
khi x �1
�cos
2
Bài 3 Cho hàm số 3. f  x  �
. Khẳng định nào sau đây
�x  1 khi x  1
�
đúng nhất
A. Hàm số liên tục tại tại x  1và x  1.
B. Hàm số liên tục tại x  1, không liên tục tại điểm x  1.
C. Hàm số không liên tục tại tại x  1và x  1.
D. Tất cả đều sai
Lời giải:
Hàm số liên tục tại x  1, không liên tục tại điểm x  1.
Bài 4. Chọn giá trị f (0) để các hàm số f (x) 
A.1

B.2

2x  1  1

5


CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2

Bài 5. Chọn giá trị f (0) để các hàm số f (x) 
A.1

Vậy ta chọn f (0) 



3



2
3

2x  8  2
3x  4  2

liên tục tại điểm x  0 .

2
9
Lời giải:

B.2



�x  x  2
�
khi x  1
Bài 6 Cho hàm số f (x)  � x  1
. Khẳng định nào sau đây đúng
�
2x  3
khi x �1
�
nhất
A. Hàm số liên tục tại tại tại x0  1
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm
C. Hàm số không liên tục tại tại x0  1..
D. Tất cả đều sai
Lời giải:
f (x)  lim  2x  3  1
Ta có: f (1)  1 và xlim
�1
x�1
lim f (x)  lim

x�1

x�1

x x 2
x2  x  2
 lim
x�1 (x  1)(x  x  2)

A. Hàm số liên tục tại x0  0
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm như gián đoạn tại x0  0
C. Hàm số không liên tục tại x0  0
D. Tất cả đều sai
| HÀM SỐ LIÊN TỤC

6


CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2
Lời giải:
Ta có: f (0)  2
lim f (x)  lim
x�0

x�0

� 1 3 x  1 �
x  1 3 x  1
 lim �
1
�
�
x�0 �
x
x
�
�

�


x1
1
1
 lim
  f (1)
x  1 x�4 3 x2  3 x  1 3

3

Hàm số liên tục tại điểm x  1.
�x2  x  2
 2x khi x  2
�
Bài 9 Cho hàm số f (x)  � x  2
�x2  x  3
khi x �2
�
. Khẳng định nào sau đây đúng nhất
A. Hàm số liên tục tại x0  2
B. Hàm số liên tục tại mọi điẻm
C. Hàm số không liên tục tại x0  2
D. Tất cả đều sai
Lời giải:
�
�
(x  1)(x  2)
 2x� 4
Ta có : lim f (x)  lim �
x�2

2

B.

1
4

C.0

D.1

Lời giải:
f (x)  lim(
x  x  1)  1
Ta có : lim
x�0
x�0
2

lim f (x)  lim(
x  2a)  2a

x�0

x�0

Suy ra hàm số liên tục tại x  0 � a 

1
.

Ta có : lim
x�0
x�0

4x  1  1
x ax  2a 1
 lim
x�0

4

 ax  2a 1 

Hàm số liên tục tại x  0 �



4x  1  1



2
2a 1

2
1
 3 � a  .
2a 1
6


x�1

x�1

1
4

3
4
Lời giải:
C.

D.1

3x  1  2 3

8
x2  1

a(x  2) a

x 3
2
2

Suy ra hàm số liên tục tại x  1 �

a 3
3
 � a .

�4
Vậy hàm số liên tục trên D
�x  1�0
�x  1
��
2. Điều kiện xác định: � 2
�x  3x  2 �0 �x �2
Vậy hàm số liên tục trên  1;2 � 2;� .
�a2  x  2
khi x  2
�
Ví dụ 2 Xác định a để hàm số f  x  � x  2  2
liên tục trên �.
� 1 a x khi x �2
�
Lời giải:
Hàm số xác định trên �
Với x  2 � hàm số liên tục
Với x  2 � hàm số liên tục
f (x)  lim(1
 a)x  2(1 a)  f (2)
Với x  2 ta có lim
x�2
x�2
lim f (x)  lim

a2(x  2)

 lim a2( x  2  2)  4a2


B. TXĐ : D  �\  3; 2 .Ta có hàm số liên tục tại mọi x �D và hàm số gián
đoạn tại x  2, x  3
| HÀM SỐ LIÊN TỤC

9


CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2
C. Hàm số liên tục tại x  2, x  3
D. Tất cả đều sai
Lời giải:
TXĐ : D  �\  3; 2 .Ta có hàm số liên tục tại mọi x �D và hàm số gián đoạn tại
x  2, x  3
Bài 2. Cho hàm số f (x)  3x2  1 . Khẳng định nào sau đây đúng nhất.
A. Hàm số liên tục trên �
�
�
1 � �1
�; 
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm x ��
��� ; ��
3� � 3
�
�
�
�
1 � �1
�;
C. TXĐ : D  �
��� ; ��

1
lim  f (x)  0  f �

�� hàm số liên tục trái tại x  
� 1�
� 3�
x��

3
�
3
�

�

�1 �
lim  f (x)  0  f � �� hàm số liên tục phải tại x  1
�1 �
� 3�
x�� �
3
3
� �

� 1 1 �

;
Hàm số gián đoạn tại mọi điểm x ��
�.
3

2
�4
Ta có hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc D và gián đoạn tại các điểm
x



 k , k��.
4
2

�x2  5x  6
khi x  2
�
Bài 4. Cho hàm số f  x  � 2x3  16
. Khẳng định nào sau đây đúng
� 2  x khi x �2
�
nhất.
A. Hàm số liên tục trên �
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm
C. Hàm số không liên tục trên  2:�
D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x  2 .
Lời giải:
TXĐ : D  �\  2
x2  5x  6
� hàm số liên tục
2x3  16
�Với x  2 � f (x)  2  x � hàm số liên tục
�Với x  2 � f (x) 

A. Hàm số liên tục trên �
B. Hàm số không liên tục trên �
C. Hàm số không liên tục trên  1: �
D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x  1 .
Lời giải:
Hàm số xác định với mọi x thuộc �
| HÀM SỐ LIÊN TỤC

11


CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2

�Với x  1� f (x)  1 x  2 � hàm số liên tục
x 2
�Với x  1� f (x) 

3

x1
x1

�Tại x  1 ta có : f (1) 
lim f (x)  lim
x�1

x�1

3


khi x �1
�
Bài 6. Cho hàm số f  x  � x  1
. Khẳng định nào sau đây đúng
� a khi x  1
�
nhất.
A. Hàm số liên tục trên �
B. Hàm số không liên tục trên �
C. Hàm số không liên tục trên  1: �
D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x  1 .
Lời giải:
Hàm số liên tục tại mọi điểm x �1 và gián đoạn tại x  1
� 2x  1  1
�
khi x �0
Bài 7. Cho hàm số f  x  �
. Khẳng định nào sau đây đúng
x
� 0 khi x  0
�
nhất.
A. Hàm số liên tục trên �
B. Hàm số không liên tục trên �
C. Hàm số không liên tục trên  0;�
D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x  0 .
Lời giải:
Hàm số liên tục tại mọi điểm x �0 và gián đoạn tại x  0

| HÀM SỐ LIÊN TỤC

�
3x  1
khi x  1
�
nhất.
A. Hàm số liên tục trên �
B. Hàm số không liên tục trên �
C. Hàm số không liên tục trên  2;�
D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x  �1 .
Lời giải:
Hàm số liên tục tại mọi điểm x ��1và gián đoạn tại x  �1.
�

sin x khi x �
�
�
2
Bài 10. Xác định a, bđể các hàm số f  x  �
liên tục trên �
�ax  b khi x  
�
2
� 2
�a 
A. � 
�
b 1
�

� 2


�
�
b 0
 a b  1 �
�2

| HÀM SỐ LIÊN TỤC

13


CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2
�x3  3x2  2x
khi x(x  2) �0
�
x(x  2)
�
�
khi x  2
Bài 11. Xác định a, bđể các hàm số f (x)  �a
liên tục
�
b
khi x  0
�
�
�
trên �
�a  10

liên tục trên �
x 1
�3m 2
khi x  1
�
A. m 1

B. m

4
3

C. m 2

D. m 0

Lời giải:
x  2  2x  1
nên hàm số liên tục trên khoảng �\  1
x 1
Do đó hàm số liên tục trên � khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x  1
Ta có: f (1)  3m 2
Với x �1 ta có f (x) 

lim f (x)  lim
x�1

x�1

3

 lim �
1
x�1
2
2
3
3
�
�
x

x
x

2

(
x

2)
�
�
Nên hàm số liên tục tại x  1 � 3m 2  2 � m
Vậy m

4
3

4
là những giá trị cần tìm.

x  1 1
nên hàm số liên tục trên  0;�
x

�Với x  0 ta có f (x) 

�Với x  0 ta có f (x)  2x2  3m 1 nên hàm số liên tục trên (�;0) .
Do đó hàm số liên tục trên � khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x  0
Ta có: f (0)  3m 1
lim f (x)  lim
x�0

x�0



x  1 1
1
1
 lim

x�0
x
x  1 1 2



lim f (x)  lim 2x2  3m 1  3m 1
x�0



3 17
2

�
m2  3m 2  0
2
�
 '  m  3m 2  0 �
�
��
m 2
TH 2: �
�x1  m  '  2
�
 '  (m 2)2
�
� 3 17
3 17
�
m
��
 m 6
2 �
2
�
m 6
�
Nên


6 m
Vậy m 5 là những giá trị cần tìm.
lim f (x)  lim

2

Vấn đề 3. Chứng minh phương trình có nghiệm
Phương pháp :
�Để chứng minh phương trình f (x)  0 có ít nhất một nghiệm trên D, ta
chứng minh hàm số y  f (x) liên tục trên D và có hai số a, b�D sao cho
f (a). f (b)  0.
�Để chứng minh phương trình f (x)  0 có k nghiệm trên D, ta chứng minh
hàm số y  f (x) liên tục trên D và tồn tại k khoảng rời nhau (ai ; ai 1) (i=1,2,…,k)
nằm trong D sao cho f (ai ). f (ai 1)  0.
Các ví dụ
Ví dụ 1 Chứng minh rằng các phương trình sau có đúng một nghiệm.
1. x5  3x  1 0

2. x3  2x  4 3 3 2x
Lời giải:

1. Xét hàm số f (x)  x5  3x  1 là hàm liên tục trên �
Mặt khác: ff(1)  1, (0)  1� ff(1). (0)  1 0
Nên phương trình f (x)  0 có ít nhất một nghiệm thuộc  1;0 .
Giả sử phương trình có hai nghiệm x1 , x2 .






Xét hàm số f (x)  x3  2x  3 3 2x  4 liên tục trên ��; �
� 2�

| HÀM SỐ LIÊN TỤC

16


CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2
�3 � 19
�3 �
ff(0)  4  3 3  0, � �
 0 � ff(0). � � 0
�2 � 8
�2 �
Nên phương trình f (x)  0 có ít nhất một nghiệm
Giả sử phương trình f (x)  0 có hai nghiệm x1 , x2
Khi đó: f (x1)  f (x2 )  0









� x13  x23  2 x1  x2   3

3 2x1  3 2x2  0

3 2x1  3 2x2
�
Vậy phương trình luôn có nghiệm duy nhất.
Ví dụ 2 Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm :
1. x7  3x5  1  0

2. x2 sin x  x cos x  1 0
Lời giải:

1. Ta có hàm số f (x)  x  3x  1 liên tục trên R và ff(0). (1)  3  0
7

5

Suy ra phương trinh f (x)  0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0;1) .
2. Ta có hàm số f (x)  x2 sin x  xcos x  1 liên tục trên R và ff(0). ()    0 . Suy
ra phương trinh f (x)  0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0; ) .
Ví dụ 3.

x5  2x3  15x2  14x  2  3x2  x  1 có đúng 5 nghiệm phân biệt

Lời giải:
Phương trình đã cho tương đương với





x5  2x3  15x2  14x  2  3x2  x  1



Vậy phương trình đã cho có đúng 5 nghiệm.
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1 Chứng minh rằng phương trình sau có đúng ba nghiệm phân biệt
1. x3  3x  1  0

2. 2x  63 1 x  3

Bài 2 Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của
m, n
1. m x  1

3

 x  2  2x  3  0

3. m x  a  x  c  n x  b  x  d  0

2.

1
1

m
cos x sin x

( a �b �c �d ).

Bài 3 Cho m 0 và a, b, c là ba số thực bất kỳ thoả mãn
a

Bài 6.
0;1� �
0;1� liên tụC.Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một
1. Cho hàm số f : ����
�
0;1�
số thực c��
�
�sao cho f  c  c .
2. Cho hàm số f :[0;+�) � [0;+�) liên tục và lim

x��

tồn tại ít nhất một số c�0 sao cho f (c)  c.

f (x)
 L  1 Chứng minh rằng
x

3. Tìm tất cả các hàm số f : �� � liên tục tại x  0 thỏa: f (3x)  f (x) .
0;1� �
0;1�liên tục trên �
0;1�
4. Cho hàm số f : ����
�
�
�và thỏa ff(0)  (1) .
| HÀM SỐ LIÊN TỤC

18

(2;0),(0;1),(1;2) .
Mà f(x) là đa thức bậc ba nên f(x) chỉ có tối đa 3 nghiệm
Vậy phương trình đã cho có đúng ba nghiệm.
2. Phương trình � 2x  3  63 x  1 � (2x  3)3  216(x  1)  0
Xét hàm số f (x)  (2x  3)3  216(x  1) , ta có hàm số liên tục trên R và
ff(4)  251, (0)  189, ff(1)  1, (7)  35
Suy ra � ff(4). (0)  0, ff(0). (1)  0, ff(1). (7)  0
Suy ra phương trình có ba nghiệm phân biệt thuộc các khoảng
(4;0),(0;1),(1;7) .
Mà f(x) là đa thức bậc ba nên f(x) chỉ có tối đa 3 nghiệm
Vậy phương trình đã cho có đúng ba nghiệm.
Bài 2
1. Ta có hàm số f (x)  m x  1

3

 x  2  2x  3 liên tục trên R và

ff(1). (2)  5  0 � phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc (2;1)

2. Điều kiện : x �k , k��
2
� �
0; �và
Xét hàm số f (x)  sin x  cos x  msin xcos x ,liên tục trên �
� 2�

ff(0). ( )  1 0 do đó phương trình f (x)  0 có ít nhất một nghiệm
2


�
�m 2 � m m 2
nghiệm.
Bài 4. Gọi f (x) là vế trái của các phương trình
1. Ta có hàm số y  f (x) liên tục trên � và ff(1). (1)  3  0
Nên phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc (1;1) .
3
( 2) ( )  0;
2. Ta có hàm số y  f (x) liên tục trên � và ff
2
3
1
1
ff( ) (1)  0; ff(1). ( )  0; ff( ) (1)  0; ff(1) (3)  0
2
2
2
Nên ta có điều phải chứng minh.
3. Ta có hàm số y  f (x) liên tục trên �và
2

f (a) f (b) f (c)  abc �
(a b)(b c)(c  a)�
�
� 0
Nên ta có điều phải chứng minh.
f (x).lim f (x)  0
4. Ta có hàm số y  f (x) liên tục trên �và xlim
��
x��


c
.

0
�
f
(
)

c

f (0)
m
pm
pm
n2 m
pn2
| HÀM SỐ LIÊN TỤC

20


CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2
* Xét c  0
Nếu a  0 � b  0 � f (x) là đa thức không, do đó f(x) sẽ có nghiệm trong (0;1)
b n
Nếu a�0, từ giả thiết �    1 và f (x)  x(ax  b)  0
a m
b

 1� g(a)  0
x
a

� g(0).g(a)  0 nên tồn tại số thực c� 0; a sao cho g(c)  0
Hay là f (c)  c.
�x � �x �
3. Ta có: f (x)  ff� � � 2 � ... 
�3 � �3 �

�x �
f �n �
�3 �

x
0, x
3n
Suy ra: f (x)  f (0)  a, x ��
� 
Cho n ��

Vậy f là hàm hằng.
� 1�
� n  1�
0;
4. Xét hàm số g(x)  f �x  � f (x) , ta có g là hàm liên tục trên �
�
� n�
� n �
n1

Bài 7.
1. Xét hàm số : g(x)  nf (x)  f (x1)  f (x2)  ...  f (xn ) liên tục trên [a ;b].

| HÀM SỐ LIÊN TỤC

21


CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2
Vì f liên tục trên đoạn [a ;b] nên tồn tại giá trị lớn nhất M, nhỏ nhất m do đó
a,b�
�sao cho f ()  m, f ()  M � g().g()  0 .
tồn tại  , ��
�
2. Hàm số : f (x)  cos x  x2 liên tục trên � và ff(0). (1)  1(cos1 1)  0
Suy ra  � 0;1 : f ()  0 hay cos   2
Mặt khác hàm số y  cos x là hàm nghịch biến trên (0;1) , hàm y  x2 là hàm đồng
biến trên  0;1 nên  là số duy nhất.

Hàm số g(x)  x tan x  1 liên tục trên  0;1 và ff(0). (1)  1(tan1 1)  0 , đồng thời
hàm số g(x) đồng biến trên (0;1) nên tồn tại duy nhất số thực  �(0;1) sao cho
 tan   1  0.
Vì sin x  x x  0 nên g() 

sin 
 1 0  f () �    .


| HÀM SỐ LIÊN TỤC