CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1



0




CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1

CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN
TẬP I. GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN HÀM SỐ
GIỚI HẠN DÃY SỐ
1. Giới hạn hữu hạn của dãy số
1.1. Định nghĩa:
�Dãy số (un ) được gọi là có giới hạn bằng 0 khi n tiến ra dương vô cực nếu
với mỗi số dương nhỏ tuỳ ý cho trước, mọi số hạng của dãy số , kể từ một số
hạng nào đó trở đi, đều có giá tri tuyệt dối nhỏ hơn số dương đó. Kí hiệu:
lim un  0 .Hay là: lim un  0 khi và chỉ khi với mọi   0 nhỏ tùy ý, luôn tồn tại số
x��

x�0

tự nhiên n0 sao cho: un   , n  n0 .
u  a � lim  un  a  0 , tức là: Với mọi   0 nhỏ tùy ý, luôn tồn tại số tự
�xlim
�� n
x��

� lim(un .vn )  ab
.

un a
 (b �0)
vn b

�Nếu un �0 n thì lim un  a
3. Tổng của CSN lùi vô hạn
Cho CSN (un ) có công bội q thỏa q  1. Khi đó tổng
S  u1  u2  ...  un  .... gọi là tổng vô hạn của CSN và
S  limSn  lim

u1(1 qn )
u
 1 .
1 q
1 q


1




CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1

4. Giới hạn vô cực
4.1. Định nghĩa:
�lim un  �� với mỗi số dương tuỳ ý cho trước , mọi số hạng của dãy số ,

�
�

Quy tắc 2: Nếu lim un  ��, lim vn  l thì lim(un .vn ) được cho như sau;
lim un

Dấu của l

�
�
�
�






lim(unvn )
�
�
�
�

Quy tắc 3: Nếu lim un  l , lim vn  0 và vn  0 hoặc vn  0 kể từ một số hạng
nào dó trở đi thì lim

un
được coi như sau;
vn


2




CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1

�Để chứng minh lim un  l ta chứng minh lim(un  l )  0 .
�Để chứng minh lim un  � ta chứng minh với mọi số M  0 lớn tùy ý, luôn
tồn tại số tự nhiên nM sao cho un  M n  nM .
�Để chứng minh lim un  � ta chứng minh lim(un )  �.
�Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
Các ví dụ
Ví dụ 1. Chứng minh rằng:
1. lim

n 2
1
n 1

2. lim

n2  1 1

2n2  1 2

1 2n

3. lim

a

2. Với a 0 nhỏ tùy ý, ta chọn na 

n2  1 1
3
3
  2
 2
 a với n  na
2
2n  1 2 n  1 na  1
Suy ra lim

n2  1 1
n2  1 1


0
�
lim
 .
2n2  1 2
2n2  1 2
9
 1, ta có:
a2

3. Với a 0 nhỏ tùy ý, ta chọn na 
1 2n

3
n 1
2



3
n 1
2
a

 a với n  n .
a

 2 .

Ví dụ 2. Chứng minh rằng dãy số (un ) : un  (1)n không có giới hạn.
Lời giải:
Ta có: u2n  1� lim u2n  1; u2n1  1� lim u2n1  1
Vì giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất nên ta suy ra dãy (un) không có giới
hạn.


3


CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1




�
�
�
n2  1
 �.
n
2. Với mọi M  0 lớn tùy ý, ta có:
Do đó: lim

2

�M  M 2  8 �
�
 M � n M n  2 0� n  �
�
�
2
n
�
�

n 2

2
�
�M  M 2  8 ��
n 2
 M , n  n0
�
��thì ta có:


D. 3

1
1
1

 a n  na nên có
 1 ta có
n  1 na  1
a

1
 0.
n 1
1
(k��*) bằng:
nk
B.2
C.4
Lời giải:

Bài 2. Giá trị của lim
A. 0

Với a 0 nhỏ tùy ý, ta chọn na 

k

D. 5


sin2 n
1
1
1


 a n  na nên có
Với a 0 nhỏ tùy ý, ta chọn na   2 ta có
n  2 n  2 na  2
a
sin2 n
 0.
n 2
Bài 4. Giá trị của lim(2n 1)
A. �
B. �

lim

bằng:
C.0
Lời giải:

Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn nM 

D. 1

M 1
2

Vậy lim

1 n2
 �.
n
2
bằng:
n 1
B. �

Bài 6. Giá trị của lim
A. �

C.0
Lời giải:

D. 1

�
2 �
Với mọi a 0 nhỏ tùy ý, ta chọn na  �  1� 1
�a �
2
2
 a n  na � lim
 0.
n 1
n 1
cosn  sin n
Bài 7. Giá trị của lim

2
0
mà lim 2  0 � lim
2
n
n2  1
n
n 1
n 2
B. �

Bài 8. Giá trị của lim
A. �

bằng:
C.0
Lời giải:

D. 1

�1 �
Với mọi số thực a 0 nhỏ tùy ý, ta chọn na  �2  1� 1
a
�
�
Ta có:

n 1
1
n 1

Vậy lim
 �.
n2
Bài 10. Giá trị của lim

2 n

n 1
B. �

A. �

bằng:
C.0
Lời giải:

D. 1

2

�1 �
Với mọi M  0 lớn tùy ý , ta chọn nM  �  3� 1
�a �
Ta có:

n 2
1 n

Suy ra lim



CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1

Với số thực a 0 nhỏ tùy ý, ta chọn na 
Ta có:

5
 2 2
a

2n  1
5
5
2 

 a n  na
n 2
n  2 na  2

Vậy A  2.
2n  3
n2  1
B. �

Bài 12. Giá trị của B  lim
A. �

bằng:
C.0
Lời giải:

Với số thực a 0 nhỏ tùy ý, ta chọn na   1
a
n2  1
n 2
1
1 
1 
 a n  na
n 1
n 1
na  1

Ta có:

Vậy C  1.
Bài 14. Giá trị của A  lim
A. �

A

n 2 n
2n

B. �

bằng:
1
2
Lời giải:
C.

bằng:

n2  2 n  7
B. �

A. �

C.0
Lời giải:

D. 1

C0

Bài 17. Giá trị của D  lim

4n  1

B. �

A. �

bằng:

n  3n  2
2

C.0
Lời giải:


�
�
n! 1 2 m m 1 n m! �
�m 1�
n m

�a �
an
Mà lim �
.
Từ
đó
suy
ra:

0
lim
 0.
�
�m 1�
n
!
�
�
Bài 19. Giá trị của lim n a với a 0 bằng:
A. �
B. �
C.0
Lời giải:
Nếu a 1 thì ta có đpcm

�Với 0  a  1 thì 1  1� lim n 1  1� lim n a  1.
a
a
Tóm lại ta luôn có: lim n a  1 với a 0 .
Vấn đề 2. Tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lý và các giới hạn
cơ bản
Phương pháp:
Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản.


8




CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1

f (n)
ta thường chia cả tử và mẫu cho nk , trong đó k là bậc lớn
g(n)
nhất của tử và mẫu.
�Khi tìm lim

�Khi tìm lim �k f (n)  m g(n) �trong đó lim f (n)  lim g(n)  � ta thường tách và
�
�
sử dụng phương pháp nhân lượng liên hơn.
Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau :
1. A  lim

n(n  1)
;
2
n(n  1)(2n  1)
12  22  ...  n2 
6

2. Ta có: 1 2 ...  n 

� 1�
n2 �
1 �
n�
n(n  1)
�
n
n
2
2
 lim

Suy ra : B  lim
n
(
n

1)(2
n

1)

�
� 1�
� 1�� 1�
1 2 �
1 2 �
...�
1 2 �
1. C  lim �
�
�
�
� 2 �
� 3 �� n �
�
�

�1
1
1
1 �

 ... 
2. D  lim � 
1.2 2.3 3.4
n(n  1) �
�
�

Lời giải:
1. Ta có: 1


CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1



2. Ta có

1
1
1
1
1
1
1
1
 


 ... 
 1
nên suy ra
k(k  1) k k  1
1.2 2.3 3.4
n(n  1)
n 1

�
1 �
1
Vậy D  lim �

�4 �
 5 ( do lim � �  0).
�5 �

n

2. Ta có: B  lim

�4 � 2
36� �
�7 � 7
n

�4 �
�7 � 7
��



2
.
49

�
�
� 1�
� 1�� 1�
1 2 �
1 2 �
...�

� 3 �� n � 2 3
n 1 1
 .
2n 2
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Do vậy C  lim

Bài 1. Giá trị của A  lim

2n2  3n  1
bằng:
3n2  n  2

B. �

A. �

2
3
Lời giải:
C.

D. 1

3 1

n n2  2
A

lim


1
1 3

Lời giải:
1
n2  n
1
n  1
n
 lim
Ta có: B  lim
1 1 3
n  3n2  1
1 3 2
n
n
2n  1  n  2
Bài 3. Giá trị của C  lim 
2

Ta có: C  lim

9

bằng:

n17  1

B. �

Suy ra C  16.
n2  1  3 3n3  2

Bài 4. Giá trị của D  lim

4

2n4  n  2  n

B. �

A. �

bằng:

C.

1 3 3
4

21

D. 1

Lời giải:
�
1
2�
n� 1 2  3 3 3 �
�

Ta có A  lim



n2  6n  n  lim

C.3
Lời giải:

D. 1

n2  6n  n2
n2  6n  n



11


CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1



6n

 lim

n2  6n  n

Bài 6. Giá trị của B  lim



D. 3

n3  9n2  n

9n2

 lim
3

 n  9n 
3

2

2

 n3 n3  9n2  n2

9

 lim

3

2

3


3.2n  3n
1

Ta có: C  lim n1 n1  lim
n
3
2 3
�2 �
2.� � 3
�3 �
Bài 8. Giá trị của D  lim

 lim
 lim



1
3
Lời giải:



C.

n2  2n  n  lim
2n
n2  2n  n
2



(n3  2n2 )2  n3 n3  2n2  n2
2

 lim
3

2
2
(1 )2  3 1  1
n
n

Bài 9. Giá trị của A  lim



D. 1



1
3.



n2  2n  2  n bằng:


12

�
n n
�
�
Bài 10. Giá trị của B  lim
A. �





2n2  1  n bằng:

B. �

C.0
Lời giải:

D. 1

�
1 �
2   1� �
Ta có: B  lim n�
�
n �
�
�
4


1

(Trong đó k, p là các số nguyên

dương; akbp �0 ) .
bằng:
A. �

B. �

C.Đáp án khác
Lời giải:

D. 1

Ta xét ba trường hợp sau
ak1
a
 ...  0k ��
 if akbp  0
n
n �
� k  p. Chia cả tử và mẫu cho nk ta có: D  lim
�
.
bp
� if akbp  0
b0
�
 ...  k

p k
n  0.
� k  p . Chia cả tử và mẫu cho np : D  lim n
b0
bp  ...  p
n
Bài 18. Giá trị của. F  lim

(n  2)7 (2n  1)3
bằng:
(n2  2)5

B. �

A. �
7

C.8
Lời giải:

D. 1

3

� 2 �� 1 �
1 ��
2
�
n �� n �
�


Ta có: H  lim 2
2
1 1
n  n  1 n
1  2  1
n n
1

n 1

Bài 20. Giá trị của. M  lim
A. 

1
12



3



1 n2  8n3  2n bằng:

B. �

C.0

D. 1




8n2  n  2n  lim



C.0
Lời giải:
3

D. 1



8n3  n  2n

1
4n  1  2n
2

0

n
3

1
12






3



n3  n2  1  3 4n2  n  1  5n bằng:
C. 



n3  n2  1  n  3lim



n3  n2  1  n 

Do đó: K 

3

B. �

A. �

Ta có: K  lim




12

Bài 23. Giá trị của. A  lim
A. �

B. �

2n  1
bằng:
1 3n
C. 

2
3

D. 1

Lời giải:
A

2
3

Bài 24. Giá trị của. B  lim
A. �

B

4n2  3n  1
bằng:


1
4
n3  3n2  2
bằng:
n4  4n3  1
B. �
C.0
Lời giải:

Bài 26. Giá trị của. D  lim
A. �

D. 1



15


CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1



D0
3
Bài 27. Giá trị của. E  lim n  2n  1 bằng:
n 2
A. �
B. �

Lời giải:
F

3
3

31

Bài 29. Giá trị của. M  lim

6n
n2  6n  n

C.3
Lời giải:



3



n3  3n2  1  n bằng:

B. �

A. �

C.0
Lời giải:

2

3

2

Bài 31. Giá trị của. H  lim n



3

2

1



8n3  n  4n2  3 bằng:

B. �

A. �

D. 1

C. 

2
3

2
3

D. 1



16


CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1



n

K  lim

�2 �
3� � 1
�3 �
n

�2 �
2� � 3
�3 �



1

3



n

nn

n  2n
3



n  2n

B.

bằng:

C.0
Lời giải:

n
n  2n
3

Bài 35. Giá trị của. C  lim
A. �

n!

2

Bài 36. Giá trị của. D  lim
A. �

B. �

n 1
n2( 3n2  2  3n2  1)
C.

2
3

bằng:
D. 1

Lời giải:
D

2 3
3

Bài 37. Giá trị của. E  lim( n2  n  1  2n) bằng:
A. �
B. �
C.0

D. 1



Bài 39. Giá trị của. H  lim( k n2  1  n2  1) bằng:
A. �
B. �
C.Đáp án khác
Lời giải:
Xét các trường hợp
TH1: k  p � H  �

D. 1

TH 2: k  p � H  �
TH 3: k  p � H  0.
Bài 40. Giá trị của K  lim n





n2  1  n bằng:
1
2
Lời giải:

B. �

A. �

C.




1
k

C.0
Lời giải:

D. 1

1



k 1

� lim un  1

3
3
3
Bài 42. Tính giới hạn của dãy số un  (n  1) 1  2  ...  n :
3n3  n  2
1
A. �
B. �
C.
D. 1
9
Lời giải:

Bài 43. Tính giới hạn của dãy số un  (1
Tn 

1
1
1
)(1 )...(1 ) trong đó
T1
T2
Tn

n(n  1)
.:
2
A. �

Ta có: 1

B. �

1
3
Lời giải:
C.

D. 1

1
2
(k  1)(k  2)

�
u

.
� lim un 
Suy ra
n
3 (n  1)n
3
n
2k  1
Bài 45. Tính giới hạn của dãy số un  � k . :
2
k1
A. �
B. �
C.3

D. 1

Lời giải:
1
1 �1 1
1 � 2n  1
Ta có: un  un   �  2  ...  n1 � n1
2
2 �2 2
2 � 2
1
3 2n  1

1 qn
 nqn1 . Suy ra lim un 
2 .
1 q
 1 q


19




CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1

n
n
u

Bài 47. Tính giới hạn của dãy số n � 2
k1 n  k
A. �
B. �
C.3
Lời giải:

.:
D. 1

n
n

 b0
1

C.Đáp án khác
Lời giải:

với akbp �0

D. 1

Ta chia làm các trường hợp sau
ak1
a
 ...  0k a
n
n  k
TH 1: n  k , chia cả tử và mẫu cho nk , ta được A  lim
.
bp1
b0 bp
bp 
 ...  k
n
n
TH 2: k  p, chia cả tử và mẫu cho nk , ta được
a
a
ak  k1  ...  0k
��
 khi akbp  0

 ...  p
n
n
n6  n  1  4 n4  2n  1
B  lim
(2n  3)2
3

Bài 49. Tính giới hạn của dãy số
A. �

B. �

C.3

D.

.:

3
4

Lời giải:
Chia cả tử và mẫu cho n ta có được:
2

3

B  lim



A. �





4n2  n  1  2n

C.3

.:
D.

1
4

Lời giải:
1
n 1
1
n
 lim

Ta có: C  lim
2
4
1 1
4n  n  1  2n
4  2  2

1
6

.:

D. 1



n3  n2  1  n

1
1
n 1
n
 lim

n2  n  1  n  lim
2
1 1
n2  n  1  n
1  2  1
n n
1







n2  n  1  n  2lim

n3  n2  1  n  lim

3

D  lim

1
3

1 2
1
  .
2 3
6

Bài 52 . Cho các số thực a,b thỏa a  1; b  1. Tìm giới hạn
I  lim

1 a a2  ...  an
.
1 b b2  ...  bn

A. �

B. �

1 b
1 a

( Vì a  1, b  1 � lim an1  lim bn1  0).
Bài 53. Cho dãy số (xn ) xác định bởi x1 
Đặt Sn 

1
, xn1  xn2  xn ,n �1
2

1
1
1

L 
. Tính limSn .
x1  1 x2  1
xn  1
B. �

A. �

C.2
Lời giải:

D. 1

Từ công thức truy hồi ta có: xn1  xn , n  1,2,...
Nên dãy (xn ) là dãy số tăng.
Giả sử dãy (xn ) là dãy bị chặn trên, khi đó sẽ tồn tại lim xn  x
Với x là nghiệm của phương trình : x  x2  x � x  0  x1 vô lí
Do đó dãy (xn ) không bị chặn, hay lim xn  �.


Bài 54. Cho dãy (xk ) được xác định như sau: xk 

1 2
k
  ... 
2! 3!
(k  1)!

n
Tìm lim un với un  n x1n  x2n  ...  x2011
.

A. �

B. �

C. 1

1
2012!

D. 1

1
2012!

Lời giải:
Ta có:


Mặt khác: lim x2011  lim n 2011x2011  x2011  1
Vậy lim un  1

1
2012!

1
.
2012!

�
u0  2011
�
u3
1 . Tìm lim n .
Bài 55. Cho dãy số (un ) được xác định bởi: �
un1  un  2
n
�
un
�
A. �
B. �
C.3
D. 1
Lời giải:
Ta thấy un  0, n
3
3
Ta có: un1  un  3

3
0

2

 un3  3

1
1
 2
3n 9n

1 n 1 1 n 1
�  � (3)
3 k1 k 9 k1 k2

n
1
1
1
1
1

 ... 
 2  2 . � � n
1.2 2.3
(n  1)n
n
k1 k


n 9n 3 n

Vậy lim

un3
 3.
n
x  1 1
. Tìm  0;� .
x
C.2010
D. 1
Lời giải:

Bài 57. Cho dãy x  0 xác định như sau: f (x) 
B. �

A. �
Ta có un1  un 
�

un2
u u
un
� n1 n 
2010
un1.un
2010un1

�1

)
u1 un1
un1

Mặt khác ta chứng minh được: lim un  �.
uu
Nên lim(� )  2010 .
un1
n. 1 3 5 ...  (2n  1)
2n2  1
1
B. �
C.
2
Lời giải:

Bài 60. Tìm lim un biết un 
A. �

Ta có: 1 3 5 ...  2n  1 n2 nên lim un 

D. 1

1
2

�3 x  2  2x  1
�
khi x �1
Bài 61. Tìm lim un biết f (x)  �

2

� x  1 1
khi x  0
�
Bài 62. Tìm lim un biết f (x)  � x
�
2x2  3m 1 khi x �0
�
B. �

A. �

Ta có:

1
(k  1) k  k k  1



1
k



C.2
Lời giải:
1
k 1


24