CHƢƠNG IV: GIỚI HẠN
TẬP I. GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN HÀM SỐ
GIỚI HẠN DÃY SỐ
1. Giới hạn hữu hạn của dãy số
1.1. Định nghĩa:

 Dãy số (un ) được gọi l| có giới hạn bằng 0 khi n tiến ra dương vô cực nếu với mỗi số
dương nhỏ tuỳ ý cho trước, mọi số hạng của dãy số , kể từ một số hạng n|o đó trở đi, đều
có gi{ tri tuyệt dối nhỏ hơn số dương đó. Kí hiệu: lim un  0 .Hay l|: lim un  0 khi v| chỉ
x 

x 0

khi với mọi   0 nhỏ tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên n0 sao cho: un   , n  n0 .
 lim un  a  lim  un  a   0 , tức l|: Với mọi   0 nhỏ tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên
x 

x

n0 sao cho un  a   , n  n0 .

Dãy số (un) có giới hạn l| số thực gọi l| dãy số có giới hạn hữu hạn.
1.2. Một số giới hạn đặc biệt

 lim

1
 0 với k ¥ *
nk

 Nếu q  1 thì lim qn  0

Cho CSN (un ) có công bội q thỏa q  1 . Khi đó tổng
S  u1  u2  ...  un  .... gọi l| tổng vô hạn của CSN v|
u1 (1  qn )
u
S  lim Sn  lim
 1 .
1 q
1 q

4. Giới hạn vô cực
4.1. Định nghĩa:


 lim un    với mỗi số dương tuỳ ý cho trước , mọi số hạng của dãy số , kể từ một
n

số hạng n|o đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó .
 lim un    lim  un    .
n

n

4.2. Một số kết quả đặc biệt
 lim nk   với mọi k  0
 lim qn   với mọi q  1 .

4.3.Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cựC.
Quy tắc 1: Nếu lim un   , lim vn   thì lim(un .vn ) được cho như sau;
lim un


lim un

Dấu của l

lim(un vn )































lim

un
vn

Vấn đề 1. Tìm giới hạn bằng định nghĩa
Phƣơng pháp:
 Để chứng minh lim un  0 ta chứng minh với mọi số a  0 nhỏ tùy ý luôn tồn tại một

số na sao cho un  a n  na .
 Để chứng minh lim un  l ta chứng minh lim(un  l)  0 .
 Để chứng minh lim un   ta chứng minh với mọi số M  0 lớn tùy ý, luôn tồn tại

số tự nhiên nM sao cho un  M n  nM .


 Để chứng minh lim un   ta chứng minh lim(un )   .
 Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó l| duy nhất.

Các ví dụ
Ví dụ 1. Chứng minh rằng:
1. lim

n2
1


n2
n2
 1  0  lim
 1.
n1
n1

Đăng ký mua file word

trọn bộ chuyên đề khối 10,11,12:
HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851
2. Với a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn na 

3
 1 , ta có:
a

n2  1 1
3
3
  2
 2
 a với n  na
2
2n  1 2 n  1 na  1
Suy ra lim



 2  0  lim

9
 1 , ta có:
a2

1  2n  2(n  1)
n 1
2

1  2n
n2  1



3
n 1
2



3
n 1
2
a

 a với n  na .


 M  M2  4 
n2  1
Ta chọn n0  
 M , n  n0
 thì ta có:
2
n


n2  1
Do đó: lim
  .
n
2. Với mọi M  0 lớn tùy ý, ta có:

 M  M2  8 

 M  n M n 2  0  n  


2
n



n2

2

2

bằng:
n1

A. 0

B.1

C.2

D. 3

Lời giải:
1
1
1
1

 a n  na nên có lim
Với a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn na   1 ta có
0.
n  1 na  1
n1
a

Bài 2. Gi{ trị của lim
A. 0

1
nk


C.5
Lời giải:

D. 8


sin 2 n
1
1
1
Với a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn na   2 ta có


 a n  na nên có
n  2 n  2 na  2
a

sin 2 n
lim
0.
n2
Bài 4. Gi{ trị của lim(2n  1) bằng:
A. 

B. 

C.0

D. 1


M
nM

M  M2  4
.
2

n2  1
n2  1
 M n  nM  lim
 
n
n

Vậy lim

1  n2
  .
n

Bài 6. Gi{ trị của lim
A. 

2
bằng:
n1

B. 

C.0

Ta có

cos n  sin n
n

2



2
1
cos n  sin n
m| lim 2  0  lim
0
2
n
n
n2  1

Bài 8. Gi{ trị của lim
A. 

n1
n2
B. 

bằng:
C.0
Lời giải:



D. 1

Lời giải:
M
Với mọi M  0 lớn tùy ý, ta chọn nM     1
3

3n3  n
1
Ta có:
 3n   M n  nM
2
n
n
3n3  n
Vậy lim
  .
n2
Bài 10. Gi{ trị của lim
A. 

2n
n1

bằng:

B. 

C.0


 1  n  3  M n  nM

2n  1
bằng:
n2

B. 

C.2

D. 1

Lời giải:
Với số thực a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn na 
Ta có:

5
22
a

2n  1
5
5
2 

 a n  na
n2
n  2 na  2



n2  1
Bài 13. Gi{ trị của C  lim
bằng:
n1

A. 

B. 

C.0

D. 1

Lời giải:
1
Với số thực a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn na   1
a

n2  1
n2
1
1 
1 
 a n  na
n1
n1
na  1

Ta có:

A. 

bằng:
C. 3

D. 1

Lời giải:
B  3

Bài 16. Gi{ trị của C  lim
A. 

1
n 2 n 7
2

B. 

bằng:
C.0

D. 1

Lời giải:
C0

Bài 17. Gi{ trị của D  lim
A. 


a  a 
an
a a a
a
a
Ta có: 0 
 . ... .
... 
.

n ! 1 2 m m  1 n m !  m  1 

n m

Đăng ký mua file

word trọn bộ chuyên đề khối 10,11,12:
HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851
 a 
M| lim 

 m1



n m





n



a 1

Suy ra: 0  n a  1 

a
 0 nên lim n a  1
n

 Với 0  a  1 thì

1
1
 1  lim n  1  lim n a  1 .
a
a

Tóm lại ta luôn có: lim n a  1 với a  0 .
Vấn đề 2. Tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lý và các giới hạn cơ bản
Phƣơng pháp:
Sử dụng c{c định lí về giới hạn, biến đổi đưa về c{c giới hạn cơ bản.
 Khi tìm lim

f (n)

n2
Suy ra A  lim 2
 lim
2n  1

2. Ta có: 1  2  ...  n 

1
2

1
n2



1
.
2

n(n  1)
;
2

12  22  ...  n2 

n(n  1)(2n  1)
6


1

 2n
6

3

1
1
2
.
1
2
3

Ví dụ 2. Tìm c{c giới hạn sau :


1 
1 
1 
1. C  lim  1  2  1  2  ...  1  2  
 2  3   n  

 1
1
1
1 


 ... 
2. D  lim 

1
1
1
 


 ... 
 1
2. Ta có
nên suy ra
k( k  1) k k  1
1.2 2.3 3.4
n(n  1)
n1

Do vậy C  lim


1 
Vậy D  lim  1 
  1.
 n1

Ví dụ 3. Tìm c{c giới hạn sau :
1. A  lim

4 n  1  5n  1
4 n  5n

2. B  lim

 .
49
4

7
7
 


1 
1 
1 
Ví dụ 4. Tìm giới hạn sau : C  lim  1  2  1  2  ...  1  2  
 2  3   n  
Lời giải:
Ta có: 1 

1 ( k  1)( k  1)
nên suy ra

k2
k2


1 
1 
1  1.3 2.4 (n  1)(n  1) n  1

 1  2  1  2  ...  1  2   2 . 2 ...
2n

 2
n
n 2.
Ta có: A  lim
1 2 3
3  2
n n
2

Bài 2. Gi{ trị của B  lim
A. 

n2  2 n
n  3n2  1

bằng:

B. 

C.0

D.

1
1 3

Lời giải:
1
n2  n
1


D. 1


Lời giải:

1 4 9
2
1
2
) .n (1  )9
(2  2 )4 .(1  )9
2
n  lim
n
n
n
1
1
n17 (1  17 )
1  17
n
n

n8 (2 

Ta có: C  lim
Suy ra C  16 .

n2  1  3 3n3  2


Ta có: D  lim 
.
4


2 1
1
2
n  4 2  3  4  1


n n


Bài 5. Gi{ trị của A  lim
A. 





n2  6n  n bằng:

B. 

C.3

D. 1



n3  9n2  n bằng:

B. 



3

n3  9n2  n

C.0

D. 3

Lời giải:


9n2

 lim
3

n

3

 9n2




3.2n  3n
bằng:
2 n  1  3n  1

B. 

C. 

1
3

D. 1


Lời giải:
n

2
3.    1
n
n
3
3.2  3
1
Ta có: C  lim n1 n1  lim  n

3
2 3
2




1
3

D. 1

Lời giải:
3

n3  2n2  n



2 n2
3

( n 3  2 n 2 ) 2  n 3 n 3  2n 2  n 2
2

 lim

Bài 9. Gi{ trị của A  lim
A. 



n2  2n  3 n3  2n2 bằng:





2 2
Ta có A  lim n  1   2  1   


n n




2 2
Do lim n  ; lim  1   2  1   2 .


n n


Bài 10. Gi{ trị của B  lim
A. 





2n2  1  n bằng:

B. 


1 1
 8 
5
n 0.
n n
3. Chia cả tử v| mẫu cho n2 ta có được C  lim
3
1 1
2 3  4 
n
n n
4

D. 1


Bài 12. Gi{ trị của D  lim

ak nk  ...  a1n  a0
bp np  ...  b1n  b0

(Trong đó k , p l| c{c số nguyên dương;

ak bp  0 ) .

bằng:
A. 
Lời giải:

B. 

n
np  k

ak 

ak 1
a
 ...  0k a
n
n  k.
b0
bk
bk  ...  k
n

ak 

ak
a
 ...  0p
pk
n 0.
 k  p . Chia cả tử v| mẫu cho n p : D  lim n
b0
bp  ...  p
n
Bài 18. Gi{ trị của. F  lim
A. 

(n  2)7 (2n  1)3



n2  n  1  n bằng:

D. 1


A. 

B. 

C.

1
2

D. 1

Lời giải:
1
1
n
Ta có: H  lim
 lim

2
1 1
n2  n  1  n
1  2  1
n n

(1  n  8n )  2n 1  n  8n  4n
2

A. 

lim



3

2

3

C.0



4n2  1  2n  lim

1

4n2  1  2n  lim





8n2  n  2n  lim





B. 

Ta có: N  lim



3

3 2

Bài 21. Gi{ trị của. N  lim

M|: lim

2

0

(8n2  n)2  2n 3 8n2  n  4n2

Vậy N  0 .
Bài 22. Gi{ trị của. K  lim
A. 




D. 1



1
4

1 3
5
 
3 4
12

Bài 23. Gi{ trị của. A  lim
A. 



n3  n2  1  3 4n2  n  1  5n bằng:

n3  n2  1  n  3lim

n3  n2  1  n 

Do đó: K 

3

B. 


(3n  1)2

B. 

C.

4
9

D. 1

Lời giải:
B

4
9

Bài 25. Gi{ trị của. C  lim
A. 

n3  1
bằng:
n(2n  1)2

B. 

C.

1
4

B. 

C.0

D. 1

Lời giải:

E  
Bài 28. Gi{ trị của. F  lim
A. 

n 4  2n  1  2n

4

3

3n  n  n
3

bằng:

B. 

C.

3
3


n2  6n  n

3

Bài 30. Gi{ trị của. N  lim



3



n3  3n2  1  n bằng:

D. 1


A. 

B. 

C.0

D. 1

Lời giải:
3n2  1

N  lim



3



8n3  n  2n  lim n

1
3



4n2  3  2n  

2
3

3.2n  3n
bằng:
2 n  1  3n  1

Bài 32. Gi{ trị của. K  lim
A. 



B. 

C.2



2

sin 2n  1
n3
2
1
1 3
n
n

Bài 34. Gi{ trị của. B  lim
A. 

n!

n  2n
3

bằng:

B. 

C.0

D. 1

Lời giải:
n



0B0

1
2

C.0
Lời giải:

D. 1


C

1
2

Bài 36. Gi{ trị của. D  lim
A. 

n1

bằng:

n2 ( 3n2  2  3n2  1)

B. 

2




n  1  n bằng:

B. 

C.0

D. 1

Lời giải:
F  
p

Bài 39. Gi{ trị của. H  lim( k n2  1  n2  1) bằng:
A. 

B. 

C.Đ{p {n kh{c

D. 1

Lời giải:
Xét c{c trường hợp
TH1: k  p  H  
TH 2: k  p  H  
TH 3: k  p  H  0 .
Bài 40. Gi{ trị của K  lim n
A. 



C.0
Lời giải:

Ta có:

1
( k  1) k  k k  1



1
k



1
k 1

1
3 2 2 3

 ... 

1
(n  1) n  n n  1

D. 1



3

3

2

Đăng ký mua file word trọn

bộ chuyên đề khối 10,11,12:
HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851
Suy ra un 

n(n  1)2
1
 lim un  .
3
9
3(3n  n  2)

Bài 43. Tính giới hạn của dãy số un  (1 
A. 

B. 

1
1

Suy ra un  .
 lim un  .
3 n
3

Bài 44. Tính giới hạn của dãy số un 
A. 

B. 

23  1 33  1 n3  1
.:
.
....
23  1 33  1 n3  1
2
C.
3
Lời giải:

Ta có

k3  1
( k  1)( k 2  k  1)

k 3  1 ( k  1)[( k  1)2  ( k  1)  1]

2 n2  n  1
2
 lim un 

1
3 2n  1
 un   n1  lim un  3 .
2
2 2

Bài 46. Tính giới hạn của dãy số un  q  2q2  ...  nqn với q  1
A. 

B. 

C.

q

1  q 

2

.:
D.

q

1  q 

2

Lời giải:
Ta có: un  qun  q  q2  q3  ...  qn  nqn1

1
 un  n 2
 2
 un  1  2
n n
n 1 n 1
n 1
n
 un  1  2
 0  lim un  1 .
n 1

Ta có: n

2

Bài 48. Tính giới hạn của dãy số A  lim
A. 

B. 

ak .nk  ak 1nk 1  ...  a1n  a0
bp .np  bp1np 1  ...  b1n  b0

C.Đ{p {n kh{c

với ak bp  0

D. 1


 khi ak bp  0
b
 k  p 1  ...  0k 
n
n

ak 
bp
nk  p

.:


ak
a
a
 pkk11  ...  0p
pk
n
n 0.
TH 3: k  p , chia cả tử v| mẫu cho n p , ta được A  lim n
bp 1
b
bp 
 ...  0p
n
n
3

Bài 49. Tính giới hạn của dãy số B  lim

4
4

3
2


n 


Bài 50. Tính giới hạn của dãy số C  lim
A. 



B. 

4n2  n  1  2n



C.3

.:
D.

1
4

Lời giải:

n2  n  1  n  2 lim

2



2

3

n3  n 2  1  n

D. 1


1

n2  1
3

(n3  n2  1)2  n. 3 n3  n2  1  n2

1
n2


1 1 
1 1
 1  n 4  n6   3 1  n  n 3  1



n  n  1  n  lim
3



1 2
1
  .
2 3
6



1
3



n2  n  1  2 3 n3  n2  1  n . :

C. 

B. 

Ta có: D  lim

M|: lim



1 a
1 b
1 b
( Vì a  1, b  1  lim an1  lim bn1  0 ).
Bài 53. Cho dãy số ( xn ) x{c định bởi x1 
Đặt Sn 

1
, xn1  xn2  xn ,n  1
2

1
1
1

L 
. Tính lim Sn .
x1  1 x2  1
xn  1

A. 

B. 

C.2

D. 1

Lời giải:
Từ công thức truy hồi ta có: xn1  xn , n  1,2,...


 2
 lim Sn  2  lim
2
x1 xn1
xn1
xn1

Bài 54. Cho dãy ( xk ) được x{c định như sau: xk 

1 2
k
  ... 
2! 3!
( k  1)!

n
Tìm lim un với un  n x1n  x2n  ...  x2011
.

A. 

C. 1 

B. 

Lời giải:
Ta có:

k

Vậy lim un  1 

1
2012!

1
.
2012!

u0  2011
u3

Bài 55. Cho dãy số (un ) được x{c định bởi: 
1 . Tìm lim n .
n
un1  un  u2
n

A. 

B. 

C.3

D. 1

Lời giải:
Ta thấy un  0, n
Ta có: un31  un3  3 


n
1
1
1
1
1
1
.

1



...


2


2
 n


2
1.2 2.3
(n  1)n
n
k 1 k
k 1 k
n

 3 0 

.
n
n
n 9n 3 n

Vậy lim

un3
 3.
n

Bài 57. Cho dãy x  0 x{c định như sau: f ( x) 
A. 

B. 

C.2010
Lời giải:

Ta có un1  un 


un2
u u
un
 n 1 n 
2010
un1 .un

)  2010(1 
)
u1 un1
un1

Mặt kh{c ta chứng minh được: lim un   .
Nên lim(

uu
)  2010 .
un1

n. 1  3  5  ...  (2n  1)
2 n2  1
1
B. 
C.
2

Bài 60. Tìm lim un biết un 
A. 

D. 1

Lời giải:
Ta có: 1  3  5  ...  2n  1  n2 nên lim un 

1
2


v| 12  22  ...  n2 
6
2

6
2

 x 1 1
khi x  0

Bài 62. Tìm lim un biết f ( x)  
x
2 x 2  3m  1 khi x  0

A. 

B. 

C.2

D. 1

Lời giải:
Ta có:

1
( k  1) k  k k  1




1
3

D. 1

Lời giải:
Ta có: 1 

1
2
( k  1)( k  2)
1 n2
1
 1

Suy ra un  .
 lim un  .
Tk
k( k  1)
k( k  1)
3 n
3
n

Bài 68. Tìm lim un biết un  
k 1

1
n2  k





n 1
2

n
n 1
2

n

, k  1, 2,..., n Suy ra

n n
2

 un 

n
n2  1

 1 nên suy ra lim un  1 .

Bài 69. Tìm lim un biết un  2 2... 2
1 42 43

Đăng ký mua file word

n dau can


,nên lim un  lim 2

1
1 
2

n

 2.

Bài 70. Gọi g( x)  0, x  2 l| dãy số x{c định bởi  . Tìm
lim f ( x)  lim

x 2 

x 2

A. 





2x  4  3  3 .

B. 

C.


2

 4
 2
sau  x1  x2 .
Đặt x 

3
. Tìm  x3  2x  3 3  2x  4  0 .
2

A. 

B. 

C.

1
2

Lời giải:

D. 1


Ta có: un1  (un2  3un )(un2  3un  2)  1  (un2  3un  1)2

 un2  3un  1
Suy ra: un1  1  (un  1)(un  2) 
Suy ra:

ui 1  1  u1  1 un1  1 2 un1  1
i 1  ui  1

Mặt kh{c, từ un1  un2  3un  1 ta suy ra: un1  3n .
Nên lim

1
un1  1

 0 . Vậy lim vn 

1
.
2

Bài 72. Cho a, b  ¥ å ,(a, b)  1; n ab  1, ab  2,... . Kí hiệu rn l| số cặp số (u, v)  ¥ å  ¥ å

rn 1
 .
n n
ab

sao cho n  au  bv . Tìm lim
A. 

B. 

C.

1

n u0 1
n u 1
   rn   0   1.
ab b a
ab b a

1 u0 1 rn 1 u0 1 1
 
     .
ab nb na n ab nb na n
rn 1
 .
n n
ab

Từ đ}y {p dụng nguyên lý kẹp ta có ngay lim

GIỚI HẠN HÀM SỐ
1. Định nghĩa:
1.1. Giới hạn hàm số: Cho khoảng K chứa điểm x0 . Ta nói rằng h|m số f ( x) x{c định
trên K (có thể trừ điểm x0 ) có giới hạn l| L khi x dần tới x0 nếu với dãy số ( xn ) bất kì,
xn  K \{x0 } v| xn  x0 , ta có: f ( xn )  L . Ta kí hiệu: