KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
Các bƣớc khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
1.
2.
3.
4.
5.

Tìm tập xác định của hàm số.
Tìm cực trị: Tính y’, giải phương trình y’ = 0
Tìm tiệm cận ( nếu có).
Lập bảng biến thiên.
Vẽ đồ thị ( tìm thêm các điểm thích hợp và chú ý giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ)

B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
I. Đồ thị hàm số bậc 3: y  ax3  bx2  cx  d  a  0  (C)
1. Khi a > 0:

(C) có 2 điểm cực trị ( b2  3ac  0 )

(C) không có điểm cực trị ( b2  3ac  0 )

2. Khi a < 0:

(C) có 2 điểm cực trị ( b2  3ac  0 )

(C) không có điểm cực trị ( b2  3ac  0 )


Đặc biệt: (C) có 2 điểm cực trị nằm 2 phía so với trục Oy khi ac  0

Đăng ký mua file word

trọn bộ chuyên đề khối 10,11,12:
HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851

Khi ad  bc  0
IV. Biến đổi đồ thị:
Cho hàm số y  f  x  có đồ thị (C). Khi đó, với số a > 0 ta có:

Khi ad  bc  0


1. Hàm số y  f  x   a có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của Oy lên trên a đơn vị.
2. Hàm số y  f  x   a có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của Oy xuống dưới a đơn vị.
3. Hàm số y  f  x  a  có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của Ox qua trái a đơn vị.
4. Hàm số y  f  x  a  có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của Ox qua phải a đơn vị.
5. Hàm số y   f  x  có đồ thị (C’) là đối xứng của (C) qua trục Ox .
6. Hàm số y  f   x  có đồ thị (C’) là đối xứng của (C) qua trục Oy .


 f  x  khi x  0
7. Hàm số y  f  x   
có đồ thị (C’) bằng cách:
f

x
khi






+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm trên Ox .


+ Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm dưới Ox qua Ox và bỏ phần đồ thị (C) nằm dưới Ox .
Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số (C’): y  x3  3x 2  2 từ đồ thị (C): y  x3  3x 2  2 .
Giả sử (C) là đường đứt khúc trong hình vẽ.
Bước 1: Giữ nguyên đường đứt khúc phía trên trục Ox bằng cách tô đậm phần đường đứt khúc phía trên
Ox .
Bước 2: lấy đối xứng qua Ox phần đường đứt khúc nằm dưới Ox qua Ox rồi xóa phần đường đứt khúc
nằm dưới Ox , ta được đồ thị (C’).

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
C. BÀI TẬP
NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU (tối thiểu 30 câu)

Câu 1. Hàm số y 

x 2
có đồ thị là hình vẽ nào sau đây? Hãy chọn câu trả lời đúng.
x 1


y

y

3
2

C.

D.
1
-2

-1 0

1

1

x

-2

-1 0

1

x

Hƣớng dẫn giải
[Phƣơng pháp tự luận]
Hàm số y 

x 2

2 x


y

y

4

2

A.

2

B.
1

1

-1 0

-2

-3

x

1



1

-1 0

1

x

x

Hƣớng dẫn giải
[Phƣơng pháp tự luận]
Hàm số y 

2  2x
có tiệm cận đứng x  2, Tiệm cận ngang y  2 nên loại đáp án B, D.
2 x

Đồ thị hàm số y 

2  2x
đi qua điểm  3;4  nên chọn đáp án A.
2 x

[Phƣơng pháp trắc nghiệm]
d  2  2x 
2  2x
 0,2  0 suy ra hàm số y 
đồng biến trên tập xác định, loại đáp án D.


D. y 

2x 1
.
x 1

Đăng ký mua file word trọn bộ chuyên
đề khối 10,11,12:
HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ

Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851
Nhìn vào đồ thị ta thấy ngay đây là hàm có dạng y 

axb
nên loại đáp án B, C.
cxd

Hàm số y 

2x 1
có a.d-b.c  2.1  1.1  1  0 nên loại đáp án D.
x 1

Hàm số y 

2x  5
có a.d-b.c=2.1-1.5  -3  0 nên chọn đáp án A.

2x 1
;
x 1
Hƣớng dẫn giải

A. y 

B. y 

0
-1

2x 1
;
x 1

1

C. y 

2x 1
;
x 1

D. y 

1 2x
.
x 1


–

–



1

y


1


A. y 

x  3
;
x 1

B. y 

x  2
;
x 1

C. y 

x 3
;

x 1

[Phƣơng pháp trắc nghiệm]
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy ngay tiệm cận đứng x  1 , tiệm cận ngang y  1.
suy ra loại đáp án C.
Nhìn vào bảng biến thiên , hàm số nghịch biến trên các khoảng  ;1 và 1;  .
d  x  2 
 3  0 suy ra loại đáp án B.
dx  x  1  x  0
d  x  3 
 4  0 suy ra loại đáp án C.
dx  x  1  x  0

d  x  3 
 2  0 suy ra chọn đáp án A.
dx  x  1  x  0

Câu 6. Hàm số y 
x

3x  2
có bảng biến thiên nào dưới đây. Chọn đáp án đúng?
x 1



y

A.







y


x



y

C.





1

–

–




y

Hàm số y 

3x  2
có tiệm cận đứng x  1, tiệm cận ngang y  3.
x 1

Do đó chọn đáp án A.
[Phƣơng pháp trắc nghiệm]
Câu 7. Cho đồ thị hàm số y  f  x  như hình bên. Khẳng định nào sau đây là sai?


y

2

x
-2 -1

0

1

A. Hàm số có hai cực trị;
B. Hàm số đồng biến trong khoảng  ; 1 và  1;   ;
C. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận;
D. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  1 , tiệm cận ngang y  2 .
Hƣớng dẫn giải
[Phƣơng pháp tự luận]
Nhìn vào ta thấy đây là hàm số có dạng y 


Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851
D. Hàm số đồng biến trong khoảng  ;   .
Hƣớng dẫn giải
[Phƣơng pháp tự luận]
Nhìn vào ta thấy đồ thị có tiệm cận đứng x  1, tiệm cận ngang y  2.
Do đó chọn đáp án A.
[Phƣơng pháp trắc nghiệm]
Câu 9. Cho đồ thị hàm số y  f  x  như hình bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?


y

1
x
-2

-1

0

1

A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  0 , tiệm cận ngang y  1 ;
B. Đồ thị hàm số chỉ có một tiệm cận;
C. Hàm số có hai cực trị;
D. Hàm số đồng biến trong khoảng  ;0  và  0;  .
Hƣớng dẫn giải
[Phƣơng pháp tự luận]

y ¢= 0 có hai nghiệm là x = 0; x = 1 và với x = 1 thì y = - 1 nên chỉ có phương án A là phù hợp.

Vậy chỉ có phương án A là phù hợp nhất.
Câu 26. Đường cong trong hình bên d ư ớ i là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở
bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?


y
2

-1

x

O
1
-2

A. y = - x 3 + 3x .

B. y = - x 3 + 3x - 1 .

C. y = x 4 - x 2 + 1 .

D. y = x 3 - 3x

HƢỚNG DẪN GIẢI
Để ý khi x = 0 thì y = 1 nên loại cả ba phương án D.
Dựa vào đồ thị, thấy đây là đồ thị của hàm bậc ba có hệ số a > 0 nên loại hai phương án B và C.
Vậy chỉ có phương án A là phù hợp nhất.

Vậy chỉ có phương án A là phù hợp nhất.
Câu 28. Đường cong trong hình bên d ư ớ i là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê
ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?


y
2

-1

x

O
1
-2

A. y = - x 3 + 3x .

B. y = - x 3 + 3x - 1 .

C. y = x 4 - x 2 + 1 .

D. y = x 3 - 3x

HƢỚNG DẪN GIẢI

Đăng ký mua file word trọn bộ chuyên đề
khối 10,11,12:
HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ


Một dữ kiện nữa là đồ thị đi qua điểm (1;2) nên loại luôn phương án C.
Vậy chỉ có phương án A là phù hợp nhất.
Câu 30. Cho hàm số y = f (x ) có bảng biến thiên sau. Đồ thị nào thể hiện hàm số y = f (x ) ?
- ¥

x

y¢

- 1

0

+

y

+¥

1
-

0

+

+¥

2
- ¥

1

2

-2

C.

D.
y

y

2

-1

O

1

x

-1

x

O
1


A. a  1, b  1;
Hƣớng dẫn giải

x

1

Dựa vào đồ thị, ta có tiệm cận đứng x  1 , tiệm cận ngang y  1
Đồ thị hàm số y 

D. a  1, b  1.

C. a  1, b  1;

B. a  1, b  1;

1

a x 1
có tiệm cận đứng x  b , tiệm cận ngang y  a  2 
xb

Từ (1) và (2) suy ra: a  1, b  1.
Chọn đáp án A.
Câu 2. Xác định a, b, c để hàm số y 

ax  1
có đồ thị như hình vẽ bên. Chọn đáp án đúng?
bx  c
y




Từ (1) và (2) suy ra: a  2, b  1, c  1;
Chọn đáp án A.
Câu 3. Cho hàm số y 
Lúc đó hàm số y 
A. y 

ax  1
có tiệm cận đứng x  1 , tiệm cận ngang y  2 và đi qua điểm A  2; 3 .
cx  d

ax  1
là hàm số nào trong bốn hàm số sau:
cx  d

2x 1
;
1 x

B. y 

2x 1
;
x 1

C. y 

2 x  1


Theo đều bài ta có   2
   d  2c
 2c  d  0
 c  1
 c



2a  1  6c  3d
2 a  6c  3d  1 d  1
 a.2  1
 c.2  d  3


Chọn đáp án A.
Câu 4. Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như hình bên:

x





1

–

y'


D. y 

2x  5
.
x 1


Dựa vào bảng biến thiên, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  1, tiệm cận ngang y  2 , hàm số nghịch
biến trên khoảng  ;1 và 1;  .
Đáp án C sai vì Tiệm cận đứng x 

1
2

Đáp án D sai vì Tiệm cận đứng x  1
Đáp án B sai vì y ' 

1

 x  1

2

0

Vậy, chọn đáp án A.
Câu 5.

Cho đồ thị hàm số y  f  x  hình bên. Khẳng định nào đúng?
y




0

–



+
1




Khẳng định nào đúng?

0

Đăng ký mua file word trọn bộ chuyên đề
khối 10,11,12:
HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ

Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851
A. Đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận;
B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ;0  và  0;  ;
C. Đồ thị hàm số không có tiệm cận;
D. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1 và giá trị nhỏ nhất bằng 0 .


C. y  x 4  2 x 2  2 .
Hướng dẫn giải:

B. y   x  1  2  x  1  1 .
4

2

D. y  x 4  2 x 2 .

Đặt f  x   x 4  2 x 2  1 thì khi tịnh tiến (C) theo Ox qua trái 1 đơn vị thì sẽ được đồ thị của

y  f  x  1   x  1  2  x  1  1 nên chọn câu A.
4

2

Câu 9. Giả sử đồ thị của hàm số y  x 4  2 x 2  1 là (C), khi tịnh tiến (C) theo Oy lên trên 1 đơn vị thì sẽ
được đồ thị của hàm số
B. y  x 4  2 x 2  2 .

A. y  x 4  2 x 2 .
C. y   x  1  2  x  1  1 .
4

2

D. y   x  1  2  x  1  1 .
4

Hướng dẫn giải:
Theo lý thuyết, ta chọn câu A.
Câu 12. Cho hàm số y = f (x ) xác định, liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên:
x

- ¥

y¢

1
+

y

0

+¥

3
-

0

+
+¥

0

- ¥



3

0

0

-

+
+¥

0

- ¥

- 4

Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số có một cực đại bằng 0 và có một cực tiểu bằng - 4 .
B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng - 4 .
C. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 3 và giá trị cực đại bằng 1 .
D. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và đạt cực đại tại x = 3 .
HƢỚNG DẪN GIẢI
Dựa vào BBT, ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 và đạt cực đại tại x = 1 nên loại phương án C.
Hàm số y = f (x ) xác định, liên tục trên ¡ ; y ¢ đổi dấu và lim y = ± ¥ nên hàm số không tồn tại giá
x® ± ¥

trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất nên loại phương án B.
Hàm số có giá trị cực tiểu là yCT = - 4 và giá trị cực đại là yCD = 0 nên loại phương án D.

3
2

x
O

1

A. Hàm số đồng biến trên khoảng  ;3 và 1;   .
B. Hàm số đạt cực trị tại các điểm x  0 và x  1 .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng  ;0  và 1;   .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng  0;1
HƢỚNG DẪN GIẢI
Dựa vào đồ thị hàm số dễ thấy các phương án B, C, D đều đúng.
Vậy phương án A là phù hợp nhất.

VẬN DỤNG CAO (tối thiểu 10 câu)

Câu 1.

Biết đồ thị hàm số y 

2x  2
là hình vẽ sau:
x 1