G
iải

tích

12

August 16 ,2009
http://my.opera.com/vinhbinhpro
Nhấn space bar hay click chuột để xem các dòng và trang kế tiếp
Biên tập PPS : vinhbinhpro
Phần VI : Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm đa thức
http:my.opera.com/vinhbinhpro
Phần VI
Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm đa thức
http://my.opera.com/vinhbinhpro
SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ
lim ( ) ; lim ( )
xx
f x f x
→−∞→+∞
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Bước 1 : Tìm tập xác định của hàm số .
Bước 2: Xét chiều biến thiên của hàm số .
i) Tính đạo hàm y’(x) - Giải phương trình y’(x) = 0
( tìm tất cả các điểm mà tại đó y’ = 0 hay đạo hàm không xác định )
ii) Xét dấu y’(x) - Suy ra chiều biến thiên của hàm số
iii) Tìm cực trị của hàm số (nếu có)
iv) Tìm - Tìm tất cả các đường tiệm cận (nếu có)
Bước 3 : Lập bảng biến thiên của hàm số ( tổng kết các kết quả ở trên vào bảng này )
Bước 4 : Vẽ đồ thị của hàm số .

α
∆ = = ⇔ = =
y’ luôn cùng dấu với a ,
x
α
∀ ≠
2. ∆ < 0 : y’ luôn cùng dấu với a ,
x R∀ ∈
y’ = 0 có 2 nghiêm phân biệt
y’ = 0 có nghiệm kép hay vô nghiệm
Lướt chuột vào đây để xem tiếp
Click chuột vào đây để xem tiếp
Giải phương trình y’ = 0
Khảo sát hàm số bậc 3 *
lim lim
xx
y y
→+∞ →−∞
= +∞ = −∞
a > 0
' 0 ( )
x a
y a b
x b
=

= ⇔ <

=


lim lim
xx
y y
→+∞ →−∞
= −∞ = +∞
2
0
3
0 0 0
ax bxy cx d= + + +
Điểm uốn :
( )
0 0
;I x y
I
I
Điểm đặc biệt
Điểm đặc biệt
trở về
Khảo sát hàm số bậc 3 **

Biên tập pps : vinhbinhpro
∆ < 0
a > 0 a < 0
x
y’
y
x
y’
y

0 0 0
ax bxy cx d= + + +
Điểm uốn :
( )
0 0
;I x y
( )
0 0
;I x y
( )
0 0
;I x y
trở về
Khảo sát hàm số bậc 3 ***

Biên tập pps : vinhbinhpro
∆ = 0
a > 0 a < 0
x
y’
y
x
y’
y
- ∞
+∞
+
- ∞
+∞
̶

( )
0 0
;I x y
( )
0 0
;I x y
trở về
+
̶
0 0
α α
Chú ý :

Biên tập pps:vinhbinhpro
Để việc vẽ đồ thị hàm số được chính xác ta cần bổ sung KiẾN THỨC về :
1. (a ; b) là khoảng lồi của đồ thị (C)
⇔
Mọi tiếp tuyến của (C) luôn ở phía trên (C)
2. (a ; b) là khoảng lõm của đồ thị (C)
⇔
Mọi tiếp tuyến của (C) luôn ở phía dưới (C)
Khoảng lồi ,khoảng lõm và điểm uốn
3. Điểm tiếp giáp giữa khoảng lồi và khoảng lõm của (C) gọi là ĐIỂM UỐN của (C)
* ĐỊNH LÝ : Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp 2 trên khoảng ( a ; b )
( )
''( ) 0 ; ;xf a bx• ∀ ∈< ⇒
Đồ thị (C) LỒI trên ( a ; b )
( )
''( ) 0 , ;xf a bx• ∀ ∈> ⇒
Đồ thị (C) LÕM trên ( a ; b )

b
a
x
x
x

=


= ⇔ + = ⇔ ⇔


+
−=
=
=


Có hai trường hợp xảy ra :
1. a , b cùng dấu (a.b > 0 ) => phương trình (2) vô nghiệm => Pt (*) chỉ có 1 nghiệm
2. a , b trái dấu (a.b < 0 ) => phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0
=> Phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt
ab < 0 hay pt (*) có 3 nghiêm phân biệt ab > 0 hay pt (*) chỉ có 1 nghiệm
Click chuột vào đây để xem tiếp Click chuột vào đây để xem tiếp
Khảo sát hàm số bậc 4( dạng trùng phương
)*
2 2
'' 12 2 '' 0
6
b



=



= ⇔ ⇔ ⇔



+ =
=
= ±


−

=

−
=

4
4
2
lim lim
x
x
x a
b c

y
+
̶̶
ct ct
CĐ
+∞+∞
http://my.opera.com/vinhbinhpro
6
do 0 0
6
b
a
b
b
a
xa
 
< ⇒ − > ⇒

= ± −
 ÷

x
y’’
+∞
- ∞
6
b
a
− −

= −∞
2
b
a
− −
2
b
a
−
0
0 0 0
x
y’
y
+∞- ∞
̶
++
̶
CĐ CĐ
ct
- ∞
- ∞
Khảo sát hàm số bậc 4( dạng trùng phương)**
 http://my.opera.com/vinhbinhpro
4 2
( 0, , )y ax bx c a b c R= + + ≠ ∈
Vậy đồ thị hàm số có hai ĐIỂM UỐN
1 1 2 2
; ; ;
6 6

a > 0 a < 0
( )
3 2
' 4 2 2 2y ax bx x ax b= + = +
Dấu của y’ phụ thuộc vào :
2
( )( ) 2 2; g x ah bx x x== +
(vì ab > 0 nên g(x) luôn cùng dấu a trên tập xác định R )
Khảo sát hàm số bậc 4( dạng trùng phương
)
4
*

Biên tập pps:vinhbinhpro
4 2
0( , , )y ax bx c a b c R= + + ≠ ∈
ab > 0 hay pt (*) chỉ có 1 nghiệm
a > 0 a < 0
( )
3 2
' 4 2 2 2y ax bx x ax b= + = +
Dấu của y’ phụ thuộc vào :
2
( )( ) 2 2; g x ah bx x x== +
(vì ab > 0 nên g(x) luôn cùng dấu a trên tập xác định R )
̶ ∞ +∞0x
2x
2
2ax b+
0

→±∞
= −∞
ct
y c=
CD
y c=
Khảo sát hàm số bậc 4( dạng trùng phương)
5
*
2
'' 12 2y ax b= +
4 2
( 0, , )y ax bx c a b c R= + + ≠ ∈
Trình bày tóm tắt :
a > 0
a < 0
* Khoảng lồi ,khoảng lõm và điểm uốn :
vì a >0 và ab > 0
'' 0 ;y x R⇒ > ∀ ∈
=> Đồ thị luôn lõm
x
y
c
0
2
'' 12 2y ax b= +
vì a <0 và ab > 0
'' 0 ;y x R⇒ < ∀ ∈
=> Đồ thị luôn lồi
x

Biên tập pps : vinhbinhpro
Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số :
3 2
3 4 2y x x x= − − − +
Hướng dẫn :
* Tập xác định : D = R
2 2
' 3 6 4 ' 9 12 0 3 4 ;6 0y x x x x x R∗ = − − − ∆ = − < ⇒ − − − < ∀ ∈
' 0 ;y x R⇒ < ∀ ∈ ⇒
Hàm số luôn nghịch biến trên R
3
2 3
1
3 4 2
lim lim
x x
y
x
x
x x
→+∞ →+∞
 
∗ = − − + =
 ÷
 
− −∞
3
2 3
1
3 4 2

lõm
lồiđiểm uốn
4
U
y =
* Đồ thị : Điểm đặc biệt :
2 60 1; x yx y = ⇒⇒ = = −=
Bài tập 1
4
2
- 1
1
- 6
0
x
y
Điểm uốn I (-1 ; 4 )
Tâm đối xứng
Điểm đặc biệt ( 0 ; 2 )
Điểm đặc biệt ( 1 ; - 6 )
f(x)=-x^3-3*x^2-4*x+2
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-5
5
x
f(x)
4
1
- 1
-6

 
+∞
* lim
x
y
→−∞
= −∞
Bài tập 2

http://my.opera.com/vinhbinhpro
x
y’
y
∞̶
+∞- 3 - 1
0 0
+̶+
+∞
∞̶
CĐ
ct
* Hàm số đồng biến trên : ( X ∞ ; - 3 ) ; ( - 1 ; +∞ )
* Hàm số nghịch biến trên : ( - 3 ; - 1 )
( 3) 2
CD
y y∗ = − =
( 1) 2
ct
y y∗ = − = −
Điểm cực đại: ( - 3 ; 2 )

Bài tập 2
0
U
y =
* Đồ thị hàm số : Điểm đặc biệt :
x
y
̶ 4
̶ 2
0
2
2
- 2
0- 4
- 3
- 1
* Khoảng lồi , khoảng lõm và điểm uốn
'' 6 12 ; '' 0 2y x y x= + = ⇔ = −
- 2
x
y
∞̶ +∞- 2
điểm uốn
y’’
0 +
_
lồi lõm
x
y
điểm cực đại

0
1
2
1 0
x
y
x
x
x

=

=
= ±

= ⇔ ⇔


− =



g
1
0 ; ;
2
1 1
(0) 0
4
2


=

=
= ±

= ⇔ ⇔


− =



g
1
0 ; ;
2
1 1
(0) 0
4
2
y yx x
 
= ± = −
 ÷
 
= = ±g g
∞̶
+∞0
1

y x
x
→−∞ →−∞
 
= − =
 ÷
 
+∞
ct
ct
CĐ
+∞
+∞
4 2
y x x= −
Bài tập 3
(0) 0
CD
y y= =g
=> Điểm cực đại : ( 0 ; 0 )
1 1
4
2
ct
y y
 
= ± = −
 ÷
 
g

36 36
6 6
   
− − − −
 ÷  ÷
   