MỘT SỐ BIỆN PHÁP GIÚP HỌC SINH TIẾP THU TỐT
KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
(GIẢI TÍCH LỚP 12)

GIÁO VIÊN : NGUYỄN KIM DOANH
----------------------------------1. THỰC TRẠNG :
Qua giảng dạy Toán lớp 12 trong nhiều năm qua. Ở chương ứng dụng của đạo
hàm vào khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số, đây là một trong các câu hỏi của đề thi Tốt
nghiệp hằng năm, gắn liền với nó có rất nhiều kiến thức như : tìm diện tích hình phẳng,
giải phương trình bằng đồ thị ... Do đó yêu cầu học sinh phải nắm vững và thành thạo
vấn đề khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số, muốn đạt được điều này đòi hỏi giáo viên bộ
môn phải chọn lọc, lựa chọn và sử dụng phương pháp ... thích hợp nhằm học sinh dễ tiếp
thu, khả năng tự kiểm tra đồ thị, kích thích sự tò mò, phát triển tư duy, mở rộng kiến
thức, khả năng lập luận ... phù hợp với đối tượng từ học sinh yếu kém đến cả những học
sinh khá, giỏi
2. LÝ DO :
Qua các tiết dạy, bài thi học kỳ, bài thi Tốt nghiệp không loại trừ học sinh trung
bình đến trung bình khá, các em có thể bị lúng túng, khảo sát và vẽ không được, không
đúng đồ thị, không nắm rõ các khái niệm cơ bản, khái niệm bản chất của vấn đề và mở
rộng thêm vấn đề, kiến thức đã học, sự liên quan của các kiến thức ... Xuất phát từ
những thiếu sót, nhược điểm này mà bản thân tôi trong các năm qua đã cải tiến và áp
dụng biện pháp thích hợp nhằm mục đích cuối cùng là nâng lên thêm phần nào chất
lượng học tập của học sinh của mình, sự cải tiến này được thể hiện qua phần trình bày
sau :
3. BIỆN PHÁP TIẾN HÀNH :
I./ CHUẨN BỊ :
Tài liệu : Sách giáo khoa, sách bài tập, sách tham khảo, đề kiểm tra ở
trường, đề thi tốt nghiệp các năm trước ...
Vẽ một số dạng đồ thị (kể cả dạng đồ thị của các hàm số khác có liên
quan để học sinh nhận dạng của bài đồ thị hàm số đang học, để làm đồ dùng dạy học)
a./ VỀ GIÁO VIÊN :

+ Đồ thị có liên quan đến đồ thị đã vẽ ...
........
4. KẾT QUẢ :
- Đa số học sinh nắm được dạng đồ thị đã khảo sát - vẽ
- Tự kiểm tra được dạng đồ thị trước hoặc sau khi vẽ xong
- Thấy được đặc trưng riêng của từng hàm số và mối liên hệ với các kiến thức
cơ bản khác đã học
5. NGUYÊN NHÂN THÀNH CÔNG :
- Do chọn lựa các thí dụ, bài tập : hợp lý , tăng dần mức độ từ dễ đến khó, mở
rộng vấn đề
- Luôn tiến hành việc so sánh, tổng hợp, tổng quát hóa vấn đề
- Luôn tạo tình huống gây tính tò mò, tìm tòi của học sinh
- Thường xuyên cũng cố dạng đồ thị
6. BÀI HỌC KINH NGHIỆM :
- Cho học sinh yếu, kém
chấp nhận dạng đồ thị qua các thí dụ cụ thể ( sẽ
cũng cố và tổng quát lại dạng )
- Trong việc xét tính tăng giảm, lồi lõm ở bảng biến thiên đã cho học sinh xét
dấu trong bảng chung có đạo hàm y’ và y’’ ( đối với hàm số bậc ba và hàm số trùng
phương ) để học sinh sẽ vẽ đồ thị chính xác hơn, nếu không học sinh thường xuyên
không xác định hoặc vẽ đồ thị không qua điểm uốn (nếu có)
- Phối hợp với các kiến thức cơ bản khác để tránh bài học khô khan và kích thích
tư duy của các học sinh khá, giỏi ( tránh chán nản )
- Không chỉ lấy các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập mà phải cần chuẩn
bị các bài tập khác, các đề thi ... nhằm tạo niềm tin cho học sinh trong học tập
- Thường xuyên cũng cố và lưu dạng đồ thị các hàm số đã học
&&&


MỘT SỐ VẤN ĐỀ CỤ THỂ QUA PHẦN DẠY

** Đặt vấn đề qua ví dụ trên có phải đồ thị chỉ có điểm uốn, không có cực trị
hay không ?
b. Cho thí dụ : khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
y = x ( 3 - x )2
- Giáo viên hỏi học sinh : cho biết các hệ số a, b, c, d ( Giáo viên giải thích lại
nếu có học sinh nêu sai hoặc không biết )
- Gọi học sinh tiến hành theo trình tự ( điều chỉnh sai sót )

y
y=x(3-x)2


4
CĐ

2

I
Đ/U
x’

0

1 2 3
CT

4

x


a. Có 1 điểm uốn , 1 điểm cực đại , 1 điểm cực tiểu
b. Có 1 điểm uốn
&&&

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CỤ THỂ QUA PHẦN DẠY
KHẢO SÁT HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG
y = ax4 + bx2 + c ( a ≠ 0 )
&&&
1. Nêu tình huống a = 0 : cho học sinh suy nghĩ
- Giáo viên : + Gọi học sinh trả lời


+ Giáo viên giải thích lại điều kiện của hệ số a
2. Xét a 0 :
a. Cho ví dụ : khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
y = x 4 + x2 – 2
- Giáo viên hỏi học sinh
+ nêu lại các bước theo trình tự đã biết
+ cho biết các hệ số a, b, c
- Gọi học sinh tiến hành khảo sát-vẽ đồ thị
- Giáo viên cho học sinh nhận xét và điều chỉnh các sai sót

y

x

-1

0


điểm uốn ?
c. Tổng quát hóa dạng đồ thị : qua đạo hàm, dấu đạo hàm cấp 1 và dấu của đạo hàm cấp
2 ...
+ Nêu câu hỏi có liên quan cho học sinh khá giỏi trả lời
- Số nghiệm của phương trình y ’ = 0
- Hàm số có thể có bao nhiêu cực trị ?
- Đồ thị có thể có bao nhiêu điểm uốn ?
- Có phải hàm số luôn luôn có cực trị hay không ?
- Đồ thị có đường tiệm cận hay không ? Tại sao ?
........
d. Lưu dạng đồ thị : căn cứ vào a và số nghiệm của phương trình y’ = 0
+ Nêu câu hỏi : Hàm số có cực trị hay không ? Có bao nhiêu điểm cực trị ? Khi
nào ?


Đồ thị có điểm uốn hay không ? Bao nhiêu điểm uốn ? Khi
nào ?
Nếu hàm số có 1 cực trị thì đồ thị có bao nhiêu điểm uốn ? Hay
là nếu đồ thị có 2 điểm uốn thì hàm số có bao nhiêu cực trị ?
+ Dùng đồ dùng dạy học đã chuẩn bị để củng cố lại lần nữa
e. Dạng bài tập liên quan - cũng cố dạng đồ thị như :
+ Tìm tham số để hàm số chỉ có 1 cực trị hoặc có 3 cực trị
+ Tìm tham số để đồ thị của hàm số không có điểm uốn hoặc có 2 điểm uốn
+ Tìm tham số để đồ thị luôn lồi hoặc lõm
+ Chứng minh ( tìm ) trục đối xứng của đồ thị
+ Định tham số để đồ thị tiếp xúc với trục hoành ( hay một đường nào đó )
+ Bài toán giải phương trình bằng đồ thị
+ Vẽ đồ thị hàm số có liên quan dựa vào hàm số đã vẽ
......
Thí dụ :

y = -------------x+1
- Giáo viên hỏi học sinh
+ nêu lại các bước theo trình tự đã biết
+ cho biết các hệ số a, b, c, d
- Gọi học sinh tiến hành khảo sát-vẽ đồ thị
- Giáo viên cho học sinh nhận xét và điều chỉnh các sai sót

y


3
I
1

y=1

x’
-1 0

1

-2

x
-1
y‘
x= -1

** Đặt vấn đề qua ví dụ trên có phải đồ thị luôn luôn có tiệm cận dứng và tiệm
cận ngang ? Đồ thị không điểm uốn ? Hàm số không có cực trị phải không ?

- Số nghiệm của phương trình y ‘ = 0
- Hàm số có cực trị hay không ?
- Đồ thị có điểm uốn hay không ?
- Đồ thị có đường tiệm cận hay không ?
........
d. Lưu dạng đồ thị : căn cứ vào ad - bc
+ Nêu câu hỏi : Hàm số có cực trị hay không ? Tại sao ?
Đồ thị có điểm uốn hay không ? Tại sao ?
Đồ thị có đường tiệm cận hay không ? Tiệm cận gì ?
+ Dùng đồ dùng dạy học đã chuẩn bị để củng cố lại lần nữa
e. Dạng bài tập liên quan - cũng cố dạng đồ thị như :
+ Tìm tham số để hàm số tăng trên miền xác định của nó, hay tăng trong ( a ; b )
nào đó cho trước
+ Chứng minh ( tìm ) tâm đối xứng của đồ thị
+ Vẽ đồ thị hàm số có liên quan dựa vào hàm số đã vẽ
......
Thí dụ :
Dựa vào đồ thị hàm số
1
y = 1 + --x
vẽ đồ thị của hàm số
1
y = 1 + --x
.........
&& Cũng cố đồ thị hàm số đã học :
1. Đồ thị có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang
2. Đồ thị : không có cực trị , không có điểm uốn
&&&




-1

0 1

2

x


y’

x=1

** Đặt vấn đề qua ví dụ trên có phải hàm số luôn luôn có điểm cực trị hay không
? Đồ thị luôn luôn không có điểm uốn hay không ?
b. Cho thí dụ : khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
1
y = x + 1 - ------x–1
- Giáo viên hỏi học sinh : cho biết các hệ số a, b, c, a’, b’ ( Giáo viên giải thích
lại nếu có học sinh nêu sai hoặc không biết )
- Gọi học sinh tiến hành theo trình tự ( điều chỉnh sai sót )

y

y=x+1


2


+ Chứng minh ( tìm ) tâm đối xứng của đồ thị
+ Tìm tham số để đồ thị cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt


+ Định tham số để đồ thị tiếp xúc với trục hoành ( hay một đường nào đó )
+ Vẽ đồ thị hàm số có liên quan dựa vào hàm số đã vẽ
......
Thí dụ :
Dựa vào đồ thị hàm số
x2
y = -------x–1
vẽ đồ thị của hàm số

x2
y = -------x-1

.........
&& Cũng cố đồ thị hàm số đã học :
1. Đồ thị có tiệm cận dứng và tiệm cận xiên
2. Đồ thị : không có điểm uốn
a. Có 2 điểm cực trị
( 1 CĐ , 1 CT )
b. Không có cực trị
&&&

ĐỒ DÙNG DẠY HỌC
PHẦN KHẢO SÁT - VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
----- Đặt câu hỏi :
+ Hãy cho biết dạng của hàm số tương ứng với dạng đồ thị đã vẽ
+ Điều kiện để được dạng đồ thị đó ? ( hệ số, số nghiệm của phương trình y’= 0 )

x

x

y’

y

y’

y

x’


x’
0

0

x

y’

y’

y

y



y’

y’

x

x’

0


y

y


x’
0

x

x’

0

x

y’