KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
1.
2.
3.
4.
5.

Tìm tập xác định của hàm số.
Tìm cực trị: Tính y’, giải phương trình y’ = 0
Tìm tiệm cận ( nếu có).
Lập bảng biến thiên.
Vẽ đồ thị ( tìm thêm các điểm thích hợp và chú ý giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ)

B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
I. Đồ thị hàm số bậc 3: y  ax3  bx2  cx  d  a  0  (C)
1. Khi a > 0:

(C) có 2 điểm cực trị ( b2  3ac  0 )

(C) không có điểm cực trị ( b2  3ac  0 )

2. Khi a < 0:

(C) có 2 điểm cực trị ( b2  3ac  0 )

(C) không có điểm cực trị ( b2  3ac  0 )


Đặc biệt: (C) có 2 điểm cực trị nằm 2 phía so với trục Oy khi ac  0

Khi ad  bc  0

Khi ad  bc  0

IV. Biến đổi đồ thị:
Cho hàm số y  f  x  có đồ thị (C). Khi đó, với số a > 0 ta có:
1. Hàm số y  f  x   a có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của Oy lên trên a đơn vị.
2. Hàm số y  f  x   a có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của Oy xuống dưới a đơn vị.
3. Hàm số y  f  x  a  có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của Ox qua trái a đơn vị.
4. Hàm số y  f  x  a  có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của Ox qua phải a đơn vị.
5. Hàm số y   f  x  có đồ thị (C’) là đối xứng của (C) qua trục Ox .


6. Hàm số y  f   x  có đồ thị (C’) là đối xứng của (C) qua trục Oy .

HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ TÀI LIỆU
(Số lượng có hạn)
Soạn tin nhắn
“Tôi muốn đăng ký tài liệu, đề thi file word môn Toán”
Rồi gửi đến số điện thoại


 f  x  khi x  0
7. Hàm số y  f  x   
có đồ thị (C’) bằng cách:
f

x
khi
x






+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm trên Ox .
+ Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm dưới Ox qua Ox và bỏ phần đồ thị (C) nằm dưới Ox .
Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số (C’): y  x3  3x 2  2 từ đồ thị (C): y  x3  3x 2  2 .
Giả sử (C) là đường đứt khúc trong hình vẽ.

HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ TÀI LIỆU
(Số lượng có hạn)
Soạn tin nhắn
“Tôi muốn đăng ký tài liệu, đề thi file word môn Toán”
Rồi gửi đến số điện thoại

Bước 1: Giữ nguyên đường đứt khúc phía trên trục Ox bằng cách tô đậm phần đường đứt khúc phía trên
Ox .
Bước 2: lấy đối xứng qua Ox phần đường đứt khúc nằm dưới Ox qua Ox rồi xóa phần đường đứt khúc
nằm dưới Ox , ta được đồ thị (C’).

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ


C. BÀI TẬP
NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU (tối thiểu 30 câu)

Câu 1. Hàm số y 

x2

x

y

y

3
2

C.

D.
1
-2

-1 0

1

1

x

-2

-1 0

1

x

Câu 2. Hàm số y 

x2
đi qua điểm  0;2 nên chọn đáp án A.
x 1

2  2x
có đồ thị là hình vẽ nào sau đây? Hãy chọn câu trả lời đúng.
2 x

y

y

4

2

A.

2

B.
1

1

-1 0

-2

-3

-2

-1 0

-2

1

-1 0

1

x

x

Hướng dẫn giải
[Phương pháp tự luận]
Hàm số y 

2  2x
có tiệm cận đứng x  2, Tiệm cận ngang y  2 nên loại đáp án B, D.
2 x

Đồ thị hàm số y 

2  2x
đi qua điểm  3;4 nên chọn đáp án A.

x
-2 -1 0

2x  5
;
x 1
Hướng dẫn giải

A. y 

B. y  x3  3x2  1;

1

C. y  x4  x2  1;

D. y 

2x  1
.
x 1

[Phương pháp tự luận]
Nhìn vào đồ thị ta thấy ngay đây là hàm có dạng y 

ax b
nên loại đáp án B, C.
cx d

Hàm số y 

phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

y

2

x
-2 -1

2x  1
;
x 1
Hướng dẫn giải

A. y 

B. y 

0
-1

2x  1
;
x 1

1

C. y 

2x  1

y





1

–

–




1
y

1



A. y 

x  3
;
x 1

B. y 



x  2
có a.d-b.c=  1.(1)  1.(2)  3  0 . Loại đáp án B.
x 1

y

x  3
có a.d-b.c=  1.(1)  1.(3)  4  0 . Loại đáp án D.
x 1

y

x  3
có a.d-b.c=  1.(1)  1.3  2  0 . Chọn đáp án A.
x 1

[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy ngay tiệm cận đứng x  1, tiệm cận ngang y  1.
suy ra loại đáp án C.
Nhìn vào bảng biến thiên , hàm số nghịch biến trên các khoảng  ;1 và 1;  .
d  x  2 
 3  0 suy ra loại đáp án B.
dx  x  1  x  0
d  x  3
 4  0 suy ra loại đáp án C.
dx  x  1  x  0


d  x  3

x

B.

5



y

3



–

–





y


x



y





–

–



3
y


Hướng dẫn giải
[Phương pháp tự luận]

3


Hàm số y 

3x  2
có tiệm cận đứng x  1, tiệm cận ngang y  3.
x 1

Do đó chọn đáp án A.
[Phương pháp trắc nghiệm]
Câu 5. Cho đồ thị hàm số y  f  x  như hình bên. Khẳng định nào sau đây là sai?
y


x
-2 -1

0

1

A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  1, tiệm cận ngang y  2 ;
B. Hàm số nghịch biến trong khoảng  ; 1 và  1;   ;
C. Hàm số có hai cực trị;
D. Hàm số đồng biến trong khoảng  ;   .
Hướng dẫn giải
[Phương pháp tự luận]
Nhìn vào ta thấy đồ thị có tiệm cận đứng x  1, tiệm cận ngang y  2.
Do đó chọn đáp án A.
[Phương pháp trắc nghiệm]
Câu 7. Cho đồ thị hàm số y  f  x  như hình bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?


y

1
x
-2

-1

0



y


A.

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  1, tiệm cận ngang y  1 ;

B.

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  1, tiệm cận ngang y  1;

C.

Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng;

D.

Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang.

1


Hướng dẫn giải
[Phương pháp tự luận]
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị có tiệm cận đứng x  1 tiệm cận ngang y  1.
Do đó chọn đáp án A.
[Phương pháp trắc nghiệm]
Câu 9. Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn
phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào ?

0

A. y   x4  2 x 2  1 B. y  x 4  2 x 2  1
Hướng dẫn giải:

x

C. y  x 4  3x 2  1

D. y   x4  2 x 2  1


Từ đồ thị và đáp án suy ra đây là hàm số bậc 4 trùng phương: y  ax 4  bx 2  c  a  0  có 1 cực trị và
hướng xuống nên a < 0, b < 0. Suy ra đáp án A.
Câu 11. Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn
phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào ?
y

1

1

-1

0

x

-1


hướng lên nên a > 0, b > 0. Suy ra đáp án A.
Câu 13. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị (C) như hình vẽ. Chọn khẳng định đúng về hàm số f  x  :


y

1

1

-1

0

x

-1

A. Hàm số f  x  có ba điểm cực trị.
B. Hàm số f  x  có điểm cực tiểu là  0;1 .
C. Hàm số f  x  có điểm cực đại là  0;1 .
D. Hàm số f  x  có ba giá trị cực trị.
Hướng dẫn giải:
Từ đồ thị suy ra hàm số đạt CĐ tại x = 0 và đạt CT tại x = ±1. Suy ra đáp án A.
Câu 14. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị (C) như hình vẽ. Chọn khẳng định sai về hàm số f  x  :
y

1

1

-1

0

x

-1

A. Hàm số f  x  có GTNN là 1 khi x  0 .

B. Hàm số f  x  có GTLN là 2 khi x  1 .

C. Hàm số f  x  có ba cực trị.

D. lim f  x    .
x 

Hướng dẫn giải:
Từ đồ thị suy ra:
1. Hàm số đạt CĐ tại x = ±1, đạt CT tại x = 0.
2. Hàm số không có GTNN vì lim f  x    và GTLN của hàm số là 2 khi x = ±1.
x 

Suy ra chọn A.
Câu 16. Đồ thị của hàm số y  x 4  2 x 2  1 là đồ thị nào trong các đồ thị sau đây?

A.

B.



Hướng dẫn giải:
Do a < 0, b < 0 nên nên đồ thị hướng xuống và chỉ có 1 cực trị nên loại B, D.
Hàm số qua (0; 1) nên loại C.


Suy ra đáp án A.
Câu 19. Bảng biến thiên sau đây là của một trong 4 hàm số được liệt kê dưới đây. Hỏi đó là hàm số nào?
x

- ¥

y¢

0
0

+

+¥

2

0

-

+

CĐ

0

+
+¥

y
1
- ¥

A. y  x 3  3x 2  3x

B. y   x 3  3x 2  3x

C. y  x 3  3x 2  3x

D. y   x 3  3x 2  3x

HƯỚNG DẪN GIẢI
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hệ số a > 0 nên ta loại phương án B và D.
và y ¢= 0 có nghiệm kép là x = 1 nên chỉ có phương án A là phù hợp.
Câu 21. Bảng biến thiên sau đây là của một trong 4 hàm số được liệt kê dưới đây. Hỏi đó là hàm số nào?
x

- ¥

y¢

y

0

HƯỚNG DẪN GIẢI
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hệ số a < 0 nên ta loại phương án B và C.
y ¢= 0 có hai nghiệm là x = 0; x = 2 nên chỉ có phương án A là phù hợp.

Câu 22. Đồ thị hàm số y = x 3 - 3x + 2 là hình nào trong 4 hình dưới đây?
y

y

4

4
3

2
1
-2

x

O
-1

1

1

O

2


-2

-1

-4

C. HÌNH 3

D. HÌNH 4

HƯỚNG DẪN GIẢI
Để ý khi x = 0 thì y = 2 nên loại cả ba phương án B, C và D.
Vậy chỉ có phương án A là phù hợp nhất.
Câu 23. Đồ thị hàm số y  4x3  6x2 1 có dạng:
y

y

3

1
1
O
-1

A. HÌNH 1

x


HƯỚNG DẪN GIẢI
Để ý khi x = 0 thì y = 1 nên loại cả ba phương án D.
y ¢= 0 có hai nghiệm là x = 0; x = 1 và với x = 1 thì y = - 1 nên chỉ có phương án A là phù hợp.

Vậy chỉ có phương án A là phù hợp nhất.
Câu 24. Đường cong trong hình bên d ư ớ i là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở
bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
y
2

-1

x

O
1
-2

A. y = - x 3 + 3x .

B. y = - x 3 + 3x - 1 .

4
2
C. y = x - x + 1 .

3
D. y = x - 3x

HƯỚNG DẪN GIẢI

Để ý khi x = 0 thì y = 1 nên loại cả ba phương án D.
Dựa vào đồ thị, thấy đây là đồ thị của hàm bậc ba có hệ số a > 0 nên loại hai phương án B và C.
Vậy chỉ có phương án A là phù hợp nhất.
Câu 28. Đường cong trong hình bên d ư ớ i là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê
ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
y
2

-1

x

O
1
-2

A. y = - x 3 + 3x .

B. y = - x 3 + 3x - 1 .

4
2
C. y = x - x + 1 .

3
D. y = x - 3x

HƯỚNG DẪN GIẢI
Để ý khi x = 0 thì y = 1 nên loại cả ba phương án D.
Dựa vào đồ thị, thấy đây là đồ thị của hàm bậc ba có hệ số a > 0 nên loại hai phương án B và C.

x

y¢

- 1

0

+

y

+¥

1
-

0

+

+¥

2
- ¥

- 2

A.



D.


y

y

2

-1

O

1

-1

x

x

O
1

-2

-2

-4


C. a  1, b  1;

Dựa vào đồ thị, ta có tiệm cận đứng x  1, tiệm cận ngang y  1
Đồ thị hàm số y 

D. a  1, b  1.

1

a x 1
có tiệm cận đứng x  b , tiệm cận ngang y  a  2
xb

Từ (1) và (2) suy ra: a  1, b  1.
Chọn đáp án A.

x