CHƢƠNG IV: GIỚI HẠN
TẬP I. GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN HÀM SỐ
GIỚI HẠN DÃY SỐ
1. Giới hạn hữu hạn của dãy số
1.1. Định nghĩa:

 Dãy số (un ) được gọi l| có giới hạn bằng 0 khi n tiến ra dương vô cực nếu với mỗi số
dương nhỏ tuỳ ý cho trước, mọi số hạng của dãy số , kể từ một số hạng n|o đó trở đi, đều
có gi{ tri tuyệt dối nhỏ hơn số dương đó. Kí hiệu: lim un  0 .Hay l|: lim un  0 khi v| chỉ
x 

x 0

khi với mọi   0 nhỏ tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên n0 sao cho: un  , n  n0 .
 lim un  a  lim  un  a   0 , tức l|: Với mọi   0 nhỏ tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên
x

x

n0 sao cho un  a   , n  n0 .

Dãy số (un) có giới hạn l| số thực gọi l| dãy số có giới hạn hữu hạn.
1.2. Một số giới hạn đặc biệt

 lim

1
 0 với k  ¥ *
nk

 Nếu q  1 thì lim qn  0

Cho CSN (un ) có công bội q thỏa q  1 . Khi đó tổng
S  u1  u2  ...  un  .... gọi l| tổng vô hạn của CSN v|

u1 (1  qn )
u
S  lim Sn  lim
 1 .
1 q
1 q
4. Giới hạn vô cực
4.1. Định nghĩa:


 lim un    với mỗi số dương tuỳ ý cho trước , mọi số hạng của dãy số , kể từ một
n

số hạng n|o đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó .
 lim un    lim  un    .
n

n

4.2. Một số kết quả đặc biệt
 lim nk   với mọi k  0
 lim qn   với mọi q  1 .

4.3.Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cựC.
Quy tắc 1: Nếu lim un   , lim vn   thì lim(un .vn ) được cho như sau;
lim un


lim un

Dấu của l

lim(un vn )






























lim

un
vn

Vấn đề 1. Tìm giới hạn bằng định nghĩa
Phƣơng pháp:
 Để chứng minh lim un  0 ta chứng minh với mọi số a  0 nhỏ tùy ý luôn tồn tại một

số na sao cho un  a n  na .
 Để chứng minh lim un  l ta chứng minh lim(un  l)  0 .
 Để chứng minh lim un   ta chứng minh với mọi số M  0 lớn tùy ý, luôn tồn tại

số tự nhiên nM sao cho un  M n  nM .


 Để chứng minh lim un   ta chứng minh lim(un )   .
 Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó l| duy nhất.

Các ví dụ
Ví dụ 1. Chứng minh rằng:
1. lim

n2
1
n1

n2
n 2
 1  0  lim
 1.
n1
n1

2. Với a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn na 

3
 1 , ta có:
a

n2  1 1
3
3
  2
 2
 a với n  na
2
2n  1 2 n  1 na  1
Suy ra lim

n2  1 1
n2  1 1


0

lim

n2  1



3
n2  1



3
na2  1

 a với n  na .

 2 .

Ví dụ 2. Chứng minh rằng dãy số (un ) : un  ( 1)n không có giới hạn.
Lời giải:
Ta có: u2n  1  lim u2n  1; u2n1  1  lim u2 n1  1
Vì giới hạn của dãy số nếu có l| duy nhất nên ta suy ra dãy (un) không có giới hạn.
Ví dụ 3. Chứng minh c{c giới hạn sau:
1. lim

n2  1
 
n

2. lim
Lời giải:



 M  M2  8 

 M  n M n 2  0  n  


2
n



n2

2

Hướng dẫn đăng ký tài liệu(số lượng có hạn)
XOẠN TIN NHẮN: “TÔI MUỐN ĐĂNG KÝ TÀI

LIỆU ĐỀ THI FILE WORD”
RỒI GỬI ĐẾN SỐ ĐIỆN THOẠI:

0969.912.851
2


n2
M  M2  8  

 thì ta có:
Ta chọn n0  

Lời giải:

1
1
1
1

 a n  na nên có lim
Với a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn na   1 ta có
0.
n  1 na  1
n1
a
Bài 2. Gi{ trị của lim
A. 0

1
nk

( k  ¥ *) bằng:

B.2

C.4
Lời giải:

D. 5


Với a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn na 

Với a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn na   2 ta có


 a n  na nên có
n  2 n  2 na  2
a

lim

sin 2 n
0.
n2

Bài 4. Gi{ trị của lim(2n  1) bằng:
A. 

B. 

C.0

D. 1

Lời giải:
Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn nM 

M 1
2

Ta có: 2n  1  2nM  1  M n  nM  lim(2n  1)   .
Bài 5. Gi{ trị của lim

 M n  nM  lim
 
n
n

Vậy lim

1  n2
  .
n

Bài 6. Gi{ trị của lim
A. 

2
bằng:
n1

B. 

C.0

D. 1

Lời giải:

2 
Với mọi a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn na    1  1
a 
Suy ra




2
1
cos n  sin n
m| lim 2  0  lim
0
2
n
n
n2  1

n1
bằng:
n2

Bài 8. Gi{ trị của lim
A. 

B. 

C.0

D. 1

Lời giải:

1


Với mọi M  0 lớn tùy ý, ta chọn nM     1
3
Ta có:

3n3  n
1
 3n   M n  nM
2
n
n

Vậy lim

3n3  n
  .
n2

Bài 10. Gi{ trị của lim
A. 

2n
n1

bằng:

B. 

C.0

D. 1


2n  1
bằng:
n2

B. 

C.2
Lời giải:

Với số thực a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn na 
Ta có:

5
22
a

2n  1
5
5
2 

 a n  na
n2
n  2 na  2

D. 1


Vậy A  2 .

A. 

n2  1
bằng:
n1

B. 

C.0

D. 1

Lời giải:
1
Với số thực a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn na   1
a

n2  1
n2
1
1 
1 
 a n  na
n1
n1
na  1

Ta có:

Vậy C  1 .

bằng:
C. 3

D. 1

Lời giải:
B  3

Bài 16. Gi{ trị của C  lim
A. 

1
n 2 n 7
2

B. 

bằng:
C.0

D. 1

Lời giải:
C0

Bài 17. Gi{ trị của D  lim
A. 

4n  1
n  3n  2

a  a 
an
a a a
a
a
Ta có: 0 
 . ... .
... 
.

n ! 1 2 m m  1 n m !  m  1 
 a 
M| lim 

 m1



n m

 0 . Từ đó suy ra: lim

n m

an
0.
n!

Bài 19. Gi{ trị của lim n a với a  0 bằng:
A. 

a 1

Suy ra: 0  n a  1 

a
 0 nên lim n a  1
n

 Với 0  a  1 thì

1
1
 1  lim n  1  lim n a  1 .
a
a

Tóm lại ta luôn có: lim n a  1 với a  0 .
Vấn đề 2. Tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lý và các giới hạn cơ bản
Phƣơng pháp:
Sử dụng c{c định lí về giới hạn, biến đổi đưa về c{c giới hạn cơ bản.
 Khi tìm lim

f (n)
ta thường chia cả tử v| mẫu cho nk , trong đó k l| bậc lớn nhất của
g(n)

tử v| mẫu.
 Khi tìm lim  k f (n)  m g(n)  trong đó lim f (n)  lim g(n)   ta thường t{ch v| sử



n2



1
.
2

n(n  1)
;
2

12  22  ...  n2 

n(n  1)(2n  1)
6


1
n2  1  
n(n  1)
 n n
n
2
2
Suy ra : B  lim
 lim

n
(

3

Ví dụ 2. Tìm c{c giới hạn sau :


1 
1 
1 
1. C  lim  1  2  1  2  ...  1  2  
 2  3   n  

 1
1
1
1 


 ... 
2. D  lim 
n(n  1) 
 1.2 2.3 3.4
Lời giải:

1. Ta có: 1 

1 ( k  1)( k  1)
nên suy ra

k2
k2

n(n  1)
n1
k( k  1) k k  1

Do vậy C  lim


1 
Vậy D  lim  1 
  1.
 n1
Ví dụ 3. Tìm c{c giới hạn sau :
1. A  lim

4 n  1  5n  1
4 n  5n

2. B  lim

4.3n 2  2.7 n1
4 n  7 n 1

Lời giải:
n

4
4   5
n
5
4

Ví dụ 4. Tìm giới hạn sau : C  lim  1  2  1  2  ...  1  2  
 2  3   n  
Lời giải:
Ta có: 1 

1 ( k  1)( k  1)
nên suy ra

k2
k2


1 
1 
1  1.3 2.4 (n  1)(n  1) n  1

 1  2  1  2  ...  1  2   2 . 2 ...
2n
n2
 2  3   n  2 3
Do vậy C  lim

n1 1
 .
2n
2

Hướng dẫn đăng ký tài liệu(số lượng có hạn)
XOẠN TIN NHẮN: “TÔI MUỐN ĐĂNG KÝ TÀI


n n
2

Bài 2. Gi{ trị của B  lim
A. 

n2  2n
n  3n2  1

B. 

bằng:
C.0
Lời giải:

D.

1
1 3


1
n2  n
1
n  1
n
Ta có: B  lim
 lim
2
1 1 3


1 4 9
2
1
2
) .n (1  )9
(2  2 )4 .(1  )9
2
n  lim
n
n
n
1
1
n17 (1  17 )
1  17
n
n

n8 (2 

Ta có: C  lim
Suy ra C  16 .

n2  1  3 3n3  2

Bài 4. Gi{ trị của D  lim
A. 

4


2 1
1
2
n  4 2  3  4  1


n n


Bài 5. Gi{ trị của A  lim
A. 





n2  6n  n bằng:

B. 

C.3

D. 1

Lời giải:
Ta có A  lim




n

3



n3  9n2  n bằng:

B. 



3

n3  9n2  n

C.0
Lời giải:


9 n2

 lim
3

n

3

 9n2

A. 

C. 

B. 

1
3

D. 1

Lời giải:
n

2
3.    1
n
n
3
3.2  3
1
Ta có: C  lim n1 n1  lim  n

3
2 3
2
2.    3
3
Bài 8. Gi{ trị của D  lim
A. 

3

D. 1

Lời giải:
3

n3  2n2  n



2 n2
3

(n3  2n2 )2  n 3 n3  2n2  n2

2

 lim

Bài 9. Gi{ trị của A  lim
A. 



n2  2n  3 n3  2n2 bằng:

B. 

Ta có: D  lim

2 2
Ta có A  lim n  1   2  1   


n n




2 2
Do lim n  ; lim  1   2  1   2 .


n n


Bài 10. Gi{ trị của B  lim
A. 





2n2  1  n bằng:

B. 

C.0
Lời giải:


3
1 1
 8 
5
n 0.
n n
3. Chia cả tử v| mẫu cho n2 ta có được C  lim
3
1 1
2 3  4 
n
n n
4

Bài 12. Gi{ trị của D  lim

ak nk  ...  a1n  a0
bp np  ...  b1n  b0

(Trong đó k , p l| c{c số nguyên dương;

ak bp  0 ) .
bằng:
A. 

B. 

C.Đ{p {n kh{c

D. 1

n  k.
b0
bk
bk  ...  k
n

ak 

ak
a
 ...  0p
pk
n 0.
 k  p . Chia cả tử v| mẫu cho n p : D  lim n
b0
bp  ...  p
n

Bài 18. Gi{ trị của. F  lim
A. 

(n  2)7 (2n  1)3
bằng:
(n2  2)5

B. 

C.8

D. 1


1
2

Lời giải:

D. 1


1
n1
1
n
Ta có: H  lim
 lim

2
2
1 1
n n1 n
1  2  1
n n
1

Bài 20. Gi{ trị của. M  lim
A. 

1
12






4n2  1  3 8n3  n bằng:

B. 

C.0

D. 1

Hướng dẫn đăng ký tài liệu(số lượng có hạn)
XOẠN TIN NHẮN: “TÔI MUỐN ĐĂNG KÝ TÀI

LIỆU ĐỀ THI FILE WORD”
RỒI GỬI ĐẾN SỐ ĐIỆN THOẠI:

0969.912.851




4n2  1  2n  lim

1

Ta có: N  lim
M|: lim


3

(8n2  n)2  2n 3 8n2  n  4n2

0

Vậy N  0 .
Bài 22. Gi{ trị của. K  lim



3



n3  n2  1  3 4n2  n  1  5n bằng:


A. 

Ta có: K  lim
M|: lim



3



3

D. 1



1
4

1 3
5
 
3 4
12

Bài 23. Gi{ trị của. A  lim
A. 

C. 

B. 

2n  1
bằng:
1  3n

C. 

B. 

2
3


Bài 25. Gi{ trị của. C  lim
A. 

n3  1
bằng:
n(2n  1)2

B. 

C.

1
4

D. 1

Lời giải:
C

1
4

n3  3n2  2
bằng:
n4  4 n3  1
B. 
C.0

Bài 26. Gi{ trị của. D  lim


3n3  n  n

3

bằng:

B. 

3

C.

3

3 1

D. 1

Lời giải:

F

3
3

3 1

Bài 29. Gi{ trị của. M  lim
A. 



n3  3n2  1  n bằng:

B. 

C.0

D. 1

Lời giải:
N  lim

3n  1
2

3

(n3  3n2  1)2  n. 3 n3  3n2  1  n2

Bài 31. Gi{ trị của. H  lim n
A. 



3

1





4n2  3  2n  

2
3

3.2n  3n
bằng:
2 n  1  3n  1

B. 

C.2

D. 1

Lời giải:
n

2
3   1
3
1
K  lim  n

3
2
2   3
3


n3  2 n

bằng:

B. 

C.0

D. 1

Lời giải:
n

Ta có:

n!

n  2n
3



n

nn

n  2n
3



Bài 36. Gi{ trị của. D  lim
A. 

n1

bằng:

n ( 3n  2  3n  1)
2

2

2

B. 

C.

2
3

D. 1

Lời giải:

D

2 3
3

p

Bài 39. Gi{ trị của. H  lim( k n2  1  n2  1) bằng:
A. 

B. 

C.Đ{p {n kh{c
Lời giải:

Xét c{c trường hợp
TH1: k  p  H  
TH 2: k  p  H  

D. 1


TH 3: k  p  H  0 .
Bài 40. Gi{ trị của K  lim n
A. 





n2  1  n bằng:

B. 

C.

(n  1) n  n n  1

:

D. 1

Lời giải:
Ta có:

1
( k  1) k  k k  1

Suy ra un  1 

1
n1



1
k

1



k 1

 lim un  1


3
9
3(3n  n  2)
Bài 43. Tính giới hạn của dãy số un  (1 
A. 

B. 

1
1
1
n(n  1)
)(1  )...(1  ) trong đó Tn 
.:
T1
T2
Tn
2
C.

1
3

D. 1

Lời giải:
Ta có: 1 

1
2



Ta có

k3  1
( k  1)( k 2  k  1)

k 3  1 ( k  1)[( k  1)2  ( k  1)  1]

2 n2  n  1
2
Suy ra  un  .
 lim un 
3 (n  1)n
3

2k  1
.:
2k
k 1
n

Bài 45. Tính giới hạn của dãy số un  
A. 

B. 

C.3

D. 1

D.

q

1  q 

2

Lời giải:
Ta có: un  qun  q  q2  q3  ...  qn  nqn1

 (1  q)un  q

1  qn
q
.
 nqn1 . Suy ra lim un 
2
1 q
1

q
 
n

n
k 1 n  k

Bài 47. Tính giới hạn của dãy số un  
A. 


Bài 48. Tính giới hạn của dãy số A  lim
A. 

B. 

ak .nk  ak 1nk 1  ...  a1n  a0

bp .np  bp 1np 1  ...  b1n  b0

C.Đ{p {n kh{c

với ak bp  0

D. 1

Lời giải:
Ta chia l|m c{c trường hợp sau

ak 1
a
 ...  0k a
n
n  k.
TH 1: n  k , chia cả tử v| mẫu cho nk , ta được A  lim
bp 1
bp
b
bp 
 ...  0k

ak
a
a
 pkk11  ...  0p
pk
n
n 0.
TH 3: k  p , chia cả tử v| mẫu cho n p , ta được A  lim n
bp 1
b
bp 
 ...  0p
n
n
n6  n  1  4 n4  2n  1
Bài 49. Tính giới hạn của dãy số B  lim
.:
(2n  3)2
3

A. 

B. 

Hướng dẫn đăng ký tài liệu(số lượng có hạn)
XOẠN TIN NHẮN: “TÔI MUỐN ĐĂNG KÝ TÀI

LIỆU ĐỀ THI FILE WORD”
RỒI GỬI ĐẾN SỐ ĐIỆN THOẠI:



n 


Bài 50. Tính giới hạn của dãy số C  lim
A. 

B. 



4n2  n  1  2n

C.3
Lời giải:



.:
D.

1
4


1
n1
1
n
Ta có: C  lim


1

n3  n2  1  n

D. 1


1

n2  1
3

(n3  n2  1)2  n. 3 n3  n2  1  n2

1
n2




1 1 
1 1
 1  n 4  n6   3 1  n  n 3  1



Vậy D 

3



n2  n  1  2 3 n3  n2  1  n . :

C. 

B. 

Ta có: D  lim

M|: lim



1
3

1 2
1
  .
2 3
6

Bài 52 . Cho c{c số thực a,b thỏa a  1; b  1 . Tìm giới hạn I  lim
A. 

B. 

C.


1
, xn1  xn2  xn ,n  1
2

1
1
1

L 
. Tính lim Sn .
x1  1 x2  1
xn  1
B. 

C.2

D. 1


Lời giải:
Từ công thức truy hồi ta có: xn1  xn , n  1,2,...
Nên dãy ( xn ) l| dãy số tăng.
Giả sử dãy ( xn ) l| dãy bị chặn trên, khi đó sẽ tồn tại lim xn  x
Với x l| nghiệm của phương trình : x  x2  x  x  0  x1 vô lí
Do đó dãy ( xn ) không bị chặn, hay lim xn   .
Mặt kh{c:
Suy ra:

1
xn1


1 2
k
  ... 
2! 3!
( k  1)!

n
Tìm lim un với un  n x1n  x2n  ...  x2011
.

A. 

C. 1 

B. 

1
2012!

D. 1 

Lời giải:
Ta có:

1
k
1
1
nên xk  1 

1 . Tìm lim n .
n
un1  un  u2
n

A. 

B. 

C.3
Lời giải:

Ta thấy un  0, n
Ta có: un31  un3  3 

3 1

(1)
un3 un6

Suy ra: un3  un31  3  un3  u03  3n (2)

D. 1

1
2012!


Từ (1) v| (2), suy ra: un31  un3  3 
Do đó: un3  u03  3n 

1
1
 2
3n 9n

1 n 1 1 n 1
   (3)
3 k 1 k 9 k 1 k 2

n
1
1
1
1
1

 ... 
 2  2.  n
1.2 2.3
(n  1)n
n
k 1 k

Nên: u03  3n  un3  u03  3n 

1

k 1

2


n

k

B. 

x 1 1
. Tìm  0;   .
x

C.2010

D. 1

Lời giải:

un2
u u
un
 n 1 n 
Ta có un1  un 
2010
un1 .un
2010un1


 1
un
1 


n. 1  3  5  ...  (2n  1)
2 n2  1
1
B. 
C.
2

Bài 60. Tìm lim un biết un 
A. 

D. 1

Lời giải:
Ta có: 1  3  5  ...  2n  1  n2 nên lim un 

1
2

 3 x  2  2x  1

khi x  1
Bài 61. Tìm lim un biết f ( x)  
x 1
 3m  2
khi x  1


A. 


Bài 62. Tìm lim un biết f ( x)  
x
2 x 2  3m  1 khi x  0

A. 

B. 

C.2

D. 1

Lời giải:
Ta có:

1
( k  1) k  k k  1

1



k

1



k 1


1
2
( k  1)( k  2)
1 n2
1
 1

Suy ra un  .
 lim un  .
Tk
k( k  1)
k( k  1)
3 n
3
n

Bài 68. Tìm lim un biết un  
k 1

A. 

1
n k
2

B. 

C.3

D. 1

n
n2  n

 un 

n
n2  1

 1 nên suy ra lim un  1 .

Bài 69. Tìm lim un biết un  2 2... 2
1 42 43
n dau can

A. 

B. 

C.2

D. 1

Lời giải:
Ta có: un  2

1 1
1
 ... n
2 22
2




2x  4  3  3 .
B. 

C.

4
3

D. 1


Lời giải:
4 8
4 8
Ta có 0  u1  u2  u3   
3u1   
3u2  u3 nên dãy (un ) l| dãy tăng.
9 9
9 9

Dễ d|ng chứng minh được un 

4
4
, n  ¥ * .Từ đó tính được lim un  .
3
3


Lời giải:
Ta có: un1  (un2  3un )(un2  3un  2)  1  (un2  3un  1)2

 un2  3un  1
Suy ra: un1  1  (un  1)(un  2) 
Suy ra:

1
un1  1



1
1

un  1 un  2

1
1
1


un  2 un  1 un1  1

n 
1
1 
1
1

A. 

B. 

C.

1
ab

D. ab  1

Lời giải:

 n  1
Xét phương trình 0;
(1).
n 

Gọi (u0 , v0 ) l| một nghiệm nguyên dương của (1). Giả sử (u, v) l| một nghiệm nguyên
dương kh{c (u0 , v0 ) của (1).
Ta có au0  bv0  n, au  bv  n suy ra a(u  u0 )  b(v  v0 )  0 do đó tồn tại k nguyên dương
sao cho u  u0  kb, v  v0  ka . Do v l| số nguyên dương nên v0  ka  1  k 

v0  1
. (2)
a