CHỦ ĐỀ 2: KHOẢNG CÁCH
VẤN ĐỀ 2: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Câu 1. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 4cm. Biết SA = 3cm, khoảng cách giữa 2
đường thẳng SA và BC là:
A.

1
cm
5

B. 1cm

2
cm
5

C.

D.

4
cm
5

Câu 2. Cho khối chóp đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 3cm. Biết SA tạo với đáy một góc 60o .
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA và BC là:
A. 3cm

B.

9

3
17

Câu 4. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a. Biết hình chiếu vuông góc của S lên
mặt đáy trùng với trung điểm của AB và

( ( SCD ) ; ( ABCD ) ) = 60

o

. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng

SD và BC là:
A.

4a 39
13

B.

4a 3
13

C.

2a 3
13

Câu 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB =



SB SC
=
= a . Cạnh SA ⊥ ( ABCD ) ,
2
3

khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) bằng:
A.

a
6

B.

a
3

C.

a
3

D.

a
2

Câu 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh A. Hình chiếu vuông góc của S trên



Câu 8. Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC là tam giác đều cạnh a. Tam giác SAB cân tại S và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC)
bằng 45o . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng
A.

a 15
10

B.

a 15
5

Câu 9. Cho tứ diện đều ABCD cạnh
A.

a 6
4

B.

C.

a 15
6

D.

a 15

C.

a 14
7

D.

a 14
3

Câu 11. Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a 3, BAD = 60o , góc của
đường chéo A’C và mặt phẳng đáy bằng 60o . Khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và BB’ là?
A.

a
2

B.

a 3
2

C.

a 2
2

D. a

Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy, góc giữa

C.

2a
5

D.

3a
5

Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B. Biết AB = a, BC = a, AD
= 3a, SA = a 2 . Khi SA ⊥ ( ABCD ) khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AD là:
A.

a
3

B.

a 6
2

C.

a 6
3

D.

2a

a 6
4

B.

C.

a
3

D.

a
2

a 3 . Độ dài khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD là ?

a 6
2

C.

a 3
2

D.

a 6
3



B.

a 5
2

C.

a 6
3

D.

a 6
2

Câu 19. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA = AC = 2a, SA vuông góc
với mặt phẳng đáy. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA và BC là:
A. a 2

B. 2a 2

C.

a 2
2

D.

a 2


B.

a 5
2

C.

a 6
3

D.

a 6
2

Câu 22. Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác đều ABC cạnh là a, cạnh bên SA = a, SA ⊥ ( ABC ) , I
là trung điểm của BC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SI và AB là?
3

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


A.

a 17
4

B.



D.

a 17
7

Câu 24. Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C. Có CA = a, CB = b, cạnh SA = h
vuông góc với đáy. Gọi D là trung điểm cạnh AB. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD là?

ah

A.

a2 + h2

B.

bh
b 2 + 4h 2

C.

ah
b 2 + 4h 2

D.

ah
b 2 + 2h 2



B.

2a 5
5

C.

a 10
5

D.

a 5
5

Câu 27. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD)
cùng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD) bằng 60o . Tính theo a
khoảng cách giữa 2 đường thẳng SB, AD
A.

a 3

B.

a 3
2

C.



4

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Câu 29. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ ( ABCD ) . Gọi M là trung điểm
cạnh BC và SM =
A.

a 3
2

3a
. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng SM và AD là:
2

B. a

C.

a
2

D.

a 2

Câu 30. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD có AB = 3a, AD = 2a, SA ⊥ ( ABCD ) .
Gọi M là trung điểm của AD. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng CM và SA là

a 30
5

C.

a 5
6

D.

a 6
5

5

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Đáp án
1-D

2-B

3-B

4-A

5-D

6-D


22-B

23-C

24-B

25-D

26-V

27-B

28-D

29-C

30-B

31-B
Hướng dẫn giải
Câu 1. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 4cm. Biết SA = 3cm, khoảng cách giữa 2
đường thẳng SA và BC là:
A.

1
cm
5

HD: Ta có

cm
4

HD: Gọi O là trọng tâm tam giác ABC. Ta có: OA =

C. 2cm

D.

3
cm
2

2 3 3
.
= 3 . Kẻ Ax // BC suy ra Ax // (SOA).
3 2

3
3
9
d ( SA;BC ) = d ( BC; ( SAx ) ) = d ( O; ( SAx ) ) = OA.sin 60 o = . Chọn B
2
2
4
Câu 3. Cho khối chóp S.ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = 3; AD =4.
Biết SC = 13. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng SB và AD là:
A.

4

mặt đáy trùng với trung điểm của AB và

( ( SCD ) ; ( ABCD ) ) = 60

o

. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng

SD và BC là:
A.

4a 39
13

B.

4a 3
13

C.

2a 3
13

D.

4a 3
39

HD: Dựng HK ⊥ CD ⇒ SKH = 60 o , SH = HK tan 60 o = 2a 3

D.

2a 21
7

1
AB2 + AC2 = 2a ⇒ SH = BC = a
2

Dựng Bx // C ⇒ d ( AC;SB ) = d ( AC;SBx ) = d ( C;SBx ) = 2d ( H;SBx ) =
Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông,

2a 21
. Chọn D
7

SB SC
=
= a . Cạnh SA ⊥ ( ABCD ) ,
2
3

khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) bằng:
A.

a
6

B.


2
a
=
+
= 2 ⇒ AH =
= d ( A, ( SCD ) )
2
2
2
AH
AS AD
a
2

Chọn D
7

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Câu 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh A. Hình chiếu vuông góc của S trên
mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của AB. Diện tích tam giác SAB bằng

a2
. Khoảng cách từ điểm B
2

đến mặt phẳng (SAC) bằng:
A.


1
a 3
BM =
2
4

1
1
1
35
a 6
=
+
= 2 ⇒ HK =
2
2
2
HK
HN
HS
6a
35

⇒ d ( B, ( SAC ) ) = 2HK =

2a 6
. Chọn C
35

Câu 8. Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC là tam giác đều cạnh a. Tam giác SAB cân tại S và nằm


1
a 3
AM =
2
4

1
1
1
20
a 15
=
+
= 2 ⇒ HK =
2
2
2
HK
HS HN
3a
10

d ( A, ( SBC ) ) = 2HK =

a 15
. Chọn B
5

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


HD: Ta có 

Kẻ MN ⊥ CD ⇒ AB ⊥ MN do AB ⊥ ( CDM )

⇒

MN là khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD

Ta có CM =
Và CN =

a 3. 3 3a
=
2
2

1
a 3
CD =
2
2

⇒ MN = CM 2 − NC 2 =

a 6
a 6
. Chọn B
⇒ d ( AB,CD ) =
2

Ta có

2a 3
=a 3
2

1
1
1
7
2a 21
=
+
=
⇒ HE =
2
2
2
2
HE
HS HK
12a
7

⇒ d ( AD,SB ) =

2a 21
. Chọn A
7


⊥
AA
'


Ta có 

(

)

Suy ra d O, ( AA 'C'C ) = BO =

BD a 3
=
2
2

(

)

Do đó d ( A 'C, BB' ) = d O, ( AA 'C 'C ) =

a 3
2

Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy, góc giữa
đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 45o . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, AC là:
A.


Do đó AK ⊥ ( SHB ) ⇒ d ( SB, AC ) = AK
Tam giác SAH vuông tại A, có AK ⊥ SH
Nên

1
1
1
5
a 10
=
+
= 2 ⇒ AK =
2
2
2
AK
SH
AH
2a
5

Vậy d ( SB, AC ) =

a 10
. Chọn B
5

Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B. Biết AB = a, BC = a, AD
= 3a, SA = a 2 . Khi SA ⊥ ( ABCD ) , khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, CD là:


10


⇒ AH =

AB.AD a.3a 3a
=
=
CD
a 5
5

⇒ d ( SA,CD ) =

3a
. Chọn D
5

Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B. Biết AB = a, BC = a, AD
= 3a, SA = a 2 . Khi SA ⊥ ( ABCD ) khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AD là:
A.

a
3

B.

a 6
2

=
+
= 2 ⇒ AH =
2
2
2
AH
SA
AB
2a
3

Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông,

SB SC
=
= a . Cạnh SA ⊥ ( ABCD ) ,
2
3

khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) bằng:
A.

a
6

B.

a
3

=
+
= 2 ⇒ AH =
= d ( A, ( SCD ) )
2
2
2
AH
AS AD
a
2

Chọn D
Câu 16. Cho tứ diện đều ABCD cạnh
A.

a 6
4

B.

a 3 . Độ dài khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD là ?

a 6
2

C.

a 3
2

1
a 3
CD =
2
2

⇒ MN = CM 2 − NC 2 =

a 6
a 6
. Chọn B
⇒ d ( AB,CD ) =
2
2

Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a và (SAD) nằm trong mặt
phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB? Biết SAD là tam
giác đều.
A.

2a 21
7

B.

2a 14
7

C.


2
2
HE
HS HK
12a
7

⇒ d ( AD,SB ) =

2a 21
. Chọn A
7

Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B có AB = a, BC = a,

CD = a 6, SA = a 2 . Khi SA ⊥ ( ABCD ) thì khoảng cách giữa AD và SC là?
A.

a 5
3

B.

a 5
2

C.

a 6
3

+
= 2 ⇒ AH =
2
2
2
AH
SA
AB
2a
3

d ( AD,SC ) =

a 6
. Chọn C
3

Câu 19. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA = AC = 2a, SA vuông góc
với mặt phẳng đáy. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA và BC là:
A. a 2

B. 2a 2

C.

a 2
2

D.



a 3
2

C.

a
3

D.

2a
3

HD: Từ C kẻ Cx // AB. Kẻ AH ⊥ Cx, H ∈Cx
Kẻ AK ⊥ SH ⇒ AK ⊥ ( SHC ) ⇒ d ( AB,SC ) = AK
Ta có

1
1
1
1
1
3
=
+
=
+
=
AK 2 SA 2 AH 2 4a 2 2a 2 4a 2

a 6
3

D.

a 6
2

HD: Do AD // BC

⇒ d ( AD,SC ) = d ( AD, ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC ) )
Kẻ AH ⊥ SB

 BC ⊥ AB
⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AH
BC
⊥
SA


Ta có 

AH ⊥ SB ⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ AH = d ( A, ( SBC ) )
Ta có

1
1
1
3
a 6

C.

a 23
7

D.

a 17
7

HD: Kẻ IJ // AB

d ( SI, AB ) = d ( AB, ( SIJ ) ) = d ( A, ( SIJ ) )
Kẻ AH ⊥ SD ⇒ AH = d ( A, ( SIJ ) )
Ta có AD =
Ta có

1
a 3
MC =
2
4

1
1
1
19
a 57
=
+

a 13
13

D.

a 17
7

14

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


HD: Ta có d ( DE, CF ) = d ( DE, ( FCK ) )

1
d ( D, ( FCK ) ) = d ( H, ( FCK ) )
2
Kẻ HI ⊥ CK, HJ ⊥ FI

1
⇒ HJ = d ( H, ( FCK ) ) = d ( DE,CF ) = HJ
2
Ta có HI =

2a 5
5

o
Ta có ( SC, ( SAB ) ) = BSC = 30 ⇒ SB = a 3

ah

bh

B.

a2 + h2

b 2 + 4h 2

C.

ah
b 2 + 4h 2

D.

ah
b 2 + 2h 2

HD: Dựng hình bình hành ACKD ⇒ d ( AC;SD ) = d ( AC; ( SDK ) ) = d ( A; ( SDK ) ) = d
+) Kẻ AP ⊥ DK ⇒

1
1
1
=
+
2
2

a 5
2

3

B.

a 2
2

D.

a 3
2

C.

HD: +) Gọi H là trung điểm của cạnh BC

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

15


⇒ A 'H ⊥ ( ABC ) ⇒ A 'H ⊥ HC ⇒ HC ⊥ HA '
 HC ⊥ HA
 HC ⊥ HA '

+) ∆ ABC cân tại A ⇒ AH ⊥ HC ⇒ 


⇒ d ( A 'A;BC ) =
2
2
2
HP
A 'H
AH
3a
a
3a
2
2

Câu 26. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và SA vuông góc với mặt phẳng
(ABC), AB = AC = SA = 2a. Gọi I là trung điểm của BC. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường
thẳng SI, AC.
A.

2a 10
5

B.

2a 5
5

C.

a 10
5

2
2
AP SA AE
4a a
4a

⇒ AP =

2a 5
2a 5
⇒ d ( AC;SI ) =
5
5

Câu 27. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD)
cùng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD) bằng 60o . Tính theo a
khoảng cách giữa 2 đường thẳng SB, AD
16

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


A.

a 3

B.

a 3
2


AP
3
3
a 3
a 3
. Chọn B
= sin 60o =
⇒ AP =
AB =
⇒ d ( AD;SB ) =
AB
2
2
2
2

Câu 28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD tâm O tam giác ABC vuông cân tại
A có AB = AC = a, SA ⊥ ( ABCD ) . Đường thẳng SD tạo với đáy một góc 45o . Khoảng cách giữa 2
đường thẳng AD và SB là:
A.

a 3
2

B.

a 5
5


⇒ AH = a
2
2
2
AH
AS
AM
5
Câu 29. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ ( ABCD ) . Gọi M là trung điểm
cạnh BC và SM =

3a
. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng SM và AD là:
2
17

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


A.

a 3
2

B. a

C.

a
2

2
AH
AS AB
2
Câu 30. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD có AB = 3a, AD = 2a, SA ⊥ ( ABCD ) .
Gọi M là trung điểm của AD. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng CM và SA là
A.

6a
13

B.

3a
10

C.

2a
5

D.

6a
10

HD: Lấy H là hình chiếu của A lên MC

MC ⊥ AH ⊥ SA ⇒ d ( SA,CM ) = AH
Tính CM =


C.

a 5
6

D.

a 6
5

CD // (SBM) ⊃ SB

⇒ d ( CD,SB ) = d ( CD, ( SBM ) ) = d ( A, ( SBM ) )
Kẻ AE ⊥ BM, AK ⊥ SE ( E ∈ BM, K ∈ SE )

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

18


⇒ AK ⊥ ( SBM ) ⇒ AK = d ( A, ( SBM ) )
Ta có AE =
Ta có

AC
=a 2
2

1