17 bài tập - Mặt cầu, Hình cầu, Khối cầu (Phần 3) - File word có lời giải chi tiết
Câu 1. Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ) ; đáy ABC là tam giác cân tại A có BAC = 120° ; BC = 3a .
Gọi M là trung điểm của BC, biết góc giữa SM và mặt đáy bằng 45°. Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp chóp
S.ABC.
17 51π a 3
A. V =
2

125 3π a 3
B. V =
432

5 39π a 3
C. V =
14

5 39π a 3
D. V =
12

Câu 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 3a. Các mặt bên đều tạo với mặt đáy một
góc 60°. Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
343a 3π
A. V =
48

7 7π a 3
B. V =
12

5 7π a 3

ABC là tam giác đều cạnh a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC?
A.

5a 3
8

B.

a 39
3

C.

a 39
6

D.

5a 3
12

Câu 5. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với ( ABC ) , góc giữa SB và đáy bằng 45°. Biết tam giác
BAC là tam giác đều cạnh 2a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC?
A.

a 21
6

B.


D.

a 43
8

Câu 7. Cho hình chóp S.ABC có SB vuông góc với ( ABC ) , góc giữa SA và đáy bằng 60°. Biết tam giác
ABC là tam giác vuông cân tại A với AB = 2a . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC?
A. a 3

B. a 5

C.

2a
5

D.

2a
3


Câu 8. Cho hình chóp S.ABC có SB vuông góc với ( ABC ) , góc giữa SA và đáy bằng 60°. Biết tam giác
ABC là tam giác vuông cân tại A. Biết bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC bằng

a 15
. Tính thể
2

tích của khối chóp đã cho.

2

C.

a 5
4

D.

a 6
2

Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với ( ABCD ) , ABCD là hình vuông cạnh 4a, góc giữa

( SBC )
A.

và đáy bằng 60°. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD?
2a 5
5

B.

4a 3
3

C. 2a 3

D. 2a 5



chóp S.ABCD. Tính tỉ số
A.

1
2

R
?
3a
B.

1
3

C.

3
4

D.

3
2

Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có độ dài đường chéo là a 5 . Cạnh bên
SA = 2a và SA vuông góc với đáy. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
A.

2 14


a 6
3

C.

2a
3

D.

a 21
2

Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, đáy lớn AD = 2a , AB = BC = CD = a .
Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với đáy. Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD. Tỉ số
R
nhận giá trị nào sau đây?
h
A. a 2

B. a

C. 1

D.

2

Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a, AD = a . Cạnh bên SA


R2
S ∆ABC

=

4 3
39

D.

R
= 13
a


HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. Chọn đáp án B
Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, M là trung
điểm của SA.
Qua N, H lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với SA và
( ABC ) cắt nhau tại I ⇒ I là bán kính mặt cầu ngoại tiếp
·
Do BAC
= 120°; BC = 3a ⇒ AB = AC = a 3
⇒ S ABC =

1
3a 2 3
AB. AC.sin120° =

5a 3
4
125π a 3 3
3
Ta có IA = IN + NA =
⇒ V = π .IA =
12
3
432
2

2

Câu 2. Chọn đáp án A
Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, N là trung điểm
của SH ⇒ SH ⊥ ( ABC ) . Qua N kẻ đường thẳng vuông góc với
SB cắt SH tại I ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp
 AC ⊥ BM
⇒ AC ⊥ ( SBM ) ⇒ AC ⊥ SM
Ta có 
AC
⊥
SH

Ta có ( SAC ) ⊥ ( ABC ) = AC và AC ⊥ ( SBM )
·
⇒ (·
= 60°
( SAC ) , ( ABC ) ) = (·SM , HM ) = SMH
Ta có BM =

SH SB
SH
4
3
48


Câu 3. Chọn đáp án C
Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp
∆ABC ⇒ SH ⊥ ( ABC )
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và SA, qua N kẻ đường
thẳng vuông góc với SA cắt SH tại I ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại
tiếp khối chóp S.ABCD ⇒ R = SI
Ta có SA ∩ ( ABC ) = { A} và SH ⊥ ( ABC )
·
⇒ (·SA, ( ABC ) ) = (·SA, AH ) = SAH
= 60°
Ta có AM =

3a 3
2
⇒ AH = AM = a 3 ⇒ SH = 3a
2
3

Ta có SA = SH 2 + HA2 = 2a 3 ⇒ SN = a 3
Do ∆SNI ~ ∆SHA ⇒

SN SI
SN .SA

a 3
2
a 3
⇒ AH = AM =
2
3
3

Ta có IA = NA2 + AH 2 =

a 39
6

cắt


Câu 5. Chọn đáp án D
Ta có SB ∩ ( ABC ) = { B} và SA ⊥ ( ABC )
·
⇒ (·SB, ( ABC ) ) = (·SB, AB ) = SBA
= 45°
·
=
Ta có tan SBA

SA
·
⇒ SA = AB.tan SBA
= 2a
AB

Qua N, H lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với SA, AM
cắt nhau tại I ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp
Ta có AM =

3a
2
3a 3
⇒ AH = AM = a; SA = AM .tan 60° =
2
3
2

Ta có IA = NA2 + AH 2 =

a 43
4


Câu 7. Chọn đáp án B
Gọi H là trung điểm BC ⇒ H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC, M là trung điểm của SA
Qua M, H lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với SA, BC cắt
nhau tại I ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp
Ta có SA ∩ ( ABC ) = { A} và SB ⊥ ( ABC )
·
⇒ (·SA, ( ABC ) ) = (·SA, AB ) = SAB
= 60° ⇒ SB = 2a 3
Ta có BC = AB 2 + AC 2 = 2a 2 ⇒ BH = a 2
Ta có IB = MB 2 + BH 2 = a 5
Câu 8. Chọn đáp án D

⇒ R = SO = OA = OB = OC = OD =
Ta có tan 60° =

1
SC
2

SA
⇒ SA = a 3
AD

⇒ SC 2 = SA2 + AC 2 = 3a 2 + 2a 2 ⇒ SC = a 5 ⇒ R =

a 5
2


Câu 10. Chọn đáp án D
Gọi O là trung điểm của cạnh SC
⇒ R = SO = OA = OB = OC = OD =
Ta có tan 60° =

1
SC
2

SA
⇒ SA = 4a 3
AB


AD

Cạnh AC = AB 2 + BC 2 = a 5 ⇒ SC = SA2 + AC 2 = 3a
⇒R=

3a
R 1
⇒
=
2
3a 2

Câu 13. Chọn đáp án D
2

h
Gọi rđ là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy, ta có R = rđ2 +  ÷
2

2

 a 5   2a  2 a 21
Rõ ràng đường chéo đáy là đường kính đường tròn ngoại tiếp đáy nên R = 
÷ + ÷ =
2
 2   2 
Câu 14. Chọn đáp án C


2


Gọi O là trung điểm của cạnh NC
⇒ R = ON =

1
NC ⇒ NC = 2 R
2

Ta có tan 45° =

SA
⇒ AC = SA = h
AC

2

5
h 5
1 
⇒  h ÷ + h2 = 4 R 2 ⇒ h2 = 4R 2 ⇒ R =
4
4
2 
Câu 17. Chọn đáp án D
Ta có R = d ( G; ( SAB ) ) =

2
d ( P; ( SAB ) )
3


=
+
+
= 2
2
2
2
2
2
2
2
d
SH
HA
HB
9a
 3a   a 3   a 
 ÷ 

÷
2
 2   2 ÷
  

⇒d =

3a
3
3a
a