– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
§6. ĐƯỜNG HYPEBOL
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.Định nghĩa: Cho hai điểm cố định F1 , F2 với
F1F2 = 2c( c> 0) và hằng số a< c .Hypebol là tập hợp các
điểm M thỏa mãn MF1 - MF2 = 2a . Kí hiệu (H)
Ta gọi :

F1 , F2 là tiêu điểm của (H). Khoảng cách F1F2 = 2c

là tiêu cự của (H).
2.Phương trình chính tắc của hypebol:

Hình 3.4

Với F1 ( - c;0) , F2 ( c;0)
M ( x; y) �( H ) �

x2 y2
= 1 với b2 = c2 - a2 (2)
a2 b2

Phương trình (2) được gọi là phương trình chính tắc của hypebol
3.Hình dạng và tính chất của (H):
+ Tiêu điểm: Tiêu điểm trái F1 ( - c;0) , tiêu điểm phải F2 ( c;0)
+ Các đỉnh : A1 ( - a;0) , A2 ( a;0)
+ Trục Ox gọi là trục thực, Trục Oy gọi là trục ảo của hypebol. Khoảng cách
2a giữa hai đỉnh gọi là độ dài trục thực, 2b gọi là độ dài trục ảo.
+ Hypebol gồm hai phần nằm hai bên trục ảo, mỗi phần gọi là nhánh của
hypebol
+ Hình chữ nhật tạo bởi các đường thẳng x = �a, y = �b gọi là hình chữ nhật


a) Xác định tọa độ các đỉnh

(

8;0 ; A2

)

(

8;0

)

B. A1 -

(

6;0 ; A2

)

(

6;0

)

D. A1 -

c); tính tâm sai
A. e=

8

B. e=

6

4
6

C. e=

10

D. e=

6

d) tính độ dài trục thực, độ dài trục ảo
A. Độ dài trục thực a= 2 6 , độ dài trục ảo b= 4 2
B. . Độ dài trục thực a= 6 , độ dài trục ảo b= 2 2
C. . Độ dài trục thực a= 6 6 , độ dài trục ảo b= 8 2
D. . Độ dài trục thực a= 3 6 , độ dài trục ảo b= 6 2
e) viết phương trình các đường tiệm cận của (H)
A. y = �
C. y = �

4

8;0 ; A2

)

(

8;0

(

6;0 ; A2

)

(

6;0

A. A1 C. A1 -

)

B. A1 ( - 2;0) ; A2 ( 2;0)

)

D. A1 -

(


6

5
6

d) tính độ dài trục thực, độ dài trục ảo
A. Độ dài trục thực 2a= 3, độ dài trục ảo 2b= 2 5
B. Độ dài trục thực a= 2 , độ dài trục ảo b= 5
C. Độ dài trục thực 2a= 8, độ dài trục ảo 2b= 7
D. Độ dài trục thực 2a= 12 , độ dài trục ảo 2b= 14
e) viết phương trình các đường tiệm cận của (H)
1
A. y = � x
3

B. y = �

7
x
2

C. y = �

2
x
2

Lời giải:
a) Ta có a2 = 6, b2 = 8 nên a= 6, b= 2 2, c = a2 + b2 = 10
Do đó ta có hypebol có:

b
2
Đường tiệm cận có phương trình là y = � x = � x
a
3
b) Viết lại phương trình (H) là:

x2 y2
2
2
= 1, có a = 4, b = 5 nên
4 5

a= 2, b= 5, c = a2 + b2 = 3
Do đó ta có hypebol có:
Tọa độ các đỉnh là A1 ( - 2;0) ; A2 ( 2;0)
Tiêu điểm là F1 ( - 3;0) ; F2 ( 3;0)
c 3
Tâm sai của (H) là e= =
a 2
Độ dài trục thực 2a= 4 , độ dài trục ảo 2b= 2 5
Đường tiệm cận có phương trình là y = �

5
x
2

 DẠNG 2. Viết phương trình chính tắc của hypebol.

1. Phương pháp giải.


28
x2 y2
=1
9 7


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
4
b) (H) có tiêu cự bằng 10 và đường tiệm cận là y = � x
3
A.

x2 y2
=1
12 16

c) (H) có tâm sai bằng

A.

x2 y2
=1
18 9

B.

C.

x2 y2

C.

)

(

2;2 2 và N - 1;-

x2 y2
=1
B. 2 3
5

x2 y2
=1
10 8

D.

x2 y2
=1
18 8

)

3

x2 y2
=1
C. 2 4

D.

x2 y2
=1
1 3

Lời giải:
: Gọi phương trình chính tắc của (H) là:

x2 y2
- 2 = 1 với b2 = c2 - a2
2
a b

a) (H) có một tiêu điểm tọa độ là ( - 4;0) suy ra c= 4 ; độ dài trục ảo bằng
suy ra 2b= 28 � b2 = 7, a2 = c2 - b2 = 9
x2 y2
Vậy phương trình (H) là
=1
9 7

28


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
b) (H) có tiêu cự bằng 10 suy ra 2c = 10 � a2 + b2 = 25 (1); đường tiệm cận là
4
b 4
16
y = � x suy ra = hay b2 = a2 (2)

x2 y2
=1
18 8

d) (H) đi qua hai điểm M
�2
�
�
�
a2
�
�
�
1
�
�
2
�
�a

(

)

(

2;2 2 và N - 1;-

)


b
D 1 : y = x hay bx- ay = 0 ; D 2 : y =- x hay bx + ay = 0
a
a
Vì góc giữa hai đường tiệm cận bằng 60 nên cos60 =
0

b2 - a2
1
Hay =
� 2 b2 - a2 = a2 + b2
2
2
2 b +a

0

b2 - a2
b2 + a2


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
�
�
2(b2 - a2 ) = b2 + a2
b2 = 3a2
�
��
�
�

3
3
 DẠNG 3. Xác định điểm nằm trên hypebol thỏa mãn điều kiện

cho trước.
1. Phương pháp giải.
Để xác định tọa độ điểm M thuộc hypebol có phương trình chính tắc là
x2 y2
( H ) : 2 - 2 = 1,a> 0,b> 0 ta làm như sau
a
b
 Giả sử M ( xM ; yM ) , điểm M �( H ) �
thứ nhất.

xM2 yM2
- 2 = 1 ta thu được phương trình
a2
b

 Từ điều kiện của bài toán ta thu được phương trình thứ hai; giải phương
trình, hệ phương trình ẩn xM , yM ta tìm được tọa độ của điểm M
2. Các ví dụ:
Ví dụ 1. Cho hypebol (H):

x2 y2
= 1 có tiêu điểm F1 và F2 .
9 6

Tìm điểm M trên (H) trong trường hợp sau:
a) Điểm M có hoành độ là 4


� 42�
�
�
�
�
�
�
4;
;
M
4;C. M 1 �
�
2�
�
�
�
�
3
�
�
� �

42�
�
�
�
�
3 �
�


b) Điểm M nhìn hai tiêu điểm của (H) dưới một góc vuông.
� 63 12 �
�
�
�
�
M
;
A.
�
�
�
�
5
5
�
�
�
� 63 12�
�
�
�
;
B. M �
�
�
�
�
5

;
M
D. M 1 �
,
,
�
�
2�
3�
�
�
�
�
�
�
5
5
�
5
5
�
�
�
�
�
�5

� 63
12�
�

�
�
M
;B.
�
�
� 15

210�
�
�
�
�
5 �
�

� 18
�
� 18
210�
�
�
�
�
;
M
;C. M 1 �
và
�
2�

�
�
� 15 5 �
� 15
�
�
�

�
210 �
�
�
5 �
�
�

d) Tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận bằng

24 2
5

12�
�
�
�
�
5�
�



330 �
�
�
�
�
M�
;
,
�
�
�
�
�
�
5 �
5
�
� � 5
�

� 12 330 �
� �12 330�
�
�
� ;
�
�
�
;
C. M �

�
�
5
�
�5
�
�5

� 12
�
� 12 330�
330 �
�
�
�
�
�
�
�
M
;
M
;,
và
�
�
3�
4�
�
�

=
4
a) Ta có M
suy ra yM = � 6�
�
�
�9
� 42�
�
�
�
�
�
�
� M 1�
4;
;
M
4;�
2�
�
�
�
�
3
�
�
� �

�

Điểm M nhìn hai tiêu điểm của (H) dưới một góc vuông nên
uuuu
r uuuu
r
F1M .F2M = 0 � (xM + 15)(xM - 15) + yM2 = 0 � yM2 = 15- xM2 thế vào (*) ta được
xM 2 15- xM 2
63
12
suy ra yM = �
= 1� xM = �
9
6
5
5
Vậy có bốn điểm thỏa mãn là


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
� 63 12�
� 63 12�
� 63
�
�
�
�
� ;�
�
�
�
M 1� ;

�
� 5

12�
�
�
�
�
5�
�

�
xM = 0(l)
�
c
15
x ��
c) Ta có MF1 = a+ xM nên 3 = 3+
- 18
210
�
a
3 M
xM =
� yM = �
�
5
15
�
� 18

x; d2 : y =x.
3
3

Tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận bằng
6
x - yM
3 M
1+
�

2
3

+

6
x + yM
3 M
1+

2
3

=

24 2
5

6xM - 3yM + 6xM + 3yM =

�
�12
� ;
�
�
� ;M
Vậy có bốn điểm M 1 �
,
�
2�
�
�
�
�
�5 5 �
�
�5
� 12
�
M4�
;�
�
� 5

� 12 330�
330 �
�
�
�
�

24 2
suy ra
5


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
1. Định nghĩa: Cho điểm cố định F và đường thẳng cố định  không đi qua F.
Parabol(P) là tập hợp các điểm M cách đều điểm F và đường thẳng .
Điểm F gọi là tiêu điểm của parabol.
Đường thẳng  được gọi là đường chuẩn của parabol
p = d( F ;D ) được gọi là tham số tiêu của parabol.

( x; y )

2.Phương trình chính tắc của parabol:
�
p �
p
;0�
�
D : x =- ( p> 0)
Với F �
và
�
�
�
�
2 �
�
2

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
 DẠNG 1. Xác định các yếu tố của parabol khi biết phương trình
chính tắc.
1.Phương pháp giải.
Từ phương trình chính tắc của parabol ta xác định các đại lượng p từ đó
ta suy ra được các yếu tố cần tìm.
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1. Cho parabol (P) có phương trình y2 = 4x
a) Tìm tiêu điểm
A. F ( 2;0)

B. F ( 3;0)

C. F ( 4;0)

D. F ( 1;0)


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
b) Đường chuẩn của (P).
A. 2x+ 1= 0

B. 3x+ 1= 0

C. 4x+ 1= 0

D. x+ 1= 0

Lời giải:
Từ phương trình của (P) có 2p= 4 nên p= 2


p
= 5 � p = 10
2

Vậy phương trình của (P) : y2 = 20x
�
p �
;0�
�
b) Ta có tọa độ tiêu điểm F �
�
�
�
�
2 �
�
Khoảng cách từ F đến đường thẳng D bằng 2 2 nên:


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

d( F ;D ) =

p
- 12
2
2

suy ra p= 16 hoặc p= 32.

)

B. M 1;- 2 2

)

(

)

C. M 1 1;2 2 , M 2 1;- 2 2

(

)

(

)

D. M 1 2;2 2 , M 2 2;- 2 2

b) Tìm điểm M trên (P) sao cho SD OMF = 8
A. M ( 8;8)

B. M ( 3;8)

C. M ( 8;3)

D. M ( 3;3)

� �
9 �
209 153�
�
;3�
, B�
;
�
C. A �
�
�
�
�
�
8 �
200 50 �
�
� �

�
�
209 �
;3�
D. A ( 4;3) , B�
�
�
200 �
�
�
Lời giải:

�
�
�
�
�8 �
1
SD OMF = 8 � OF.d( M ;OF) = 8 � a= 8
2
Vậy điểm M cần tìm là M ( 8;8)

c) Với mọi điểm A �( P) , B �D ta luôn có AB �d( A ;D )
a2
2
�
�
a
4.
- 3.a+ 5
2
�
A �( P) � A �
; a�
�
với a�0, khi đó
a- 3) + 1 1
8
(
�
�
�

�
x=
�
� 4x- 3y + 5 = 0
� 200
�
��
Do đó tọa độ điểm B là nghiệm của hệ �
�
24x + 32y - 123 = 0 �
153
�
�
y=
�
�
50
�
�
� �
�
9 �
209 153�
;3�
, B�
;
�thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy A �
�
�