http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
§2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Định nghĩa:
a) Góc giữa hai vectơ.
r
r
r
Cho hai vectơ a và b đều khác 0 . Từ điểm O bất kỳ dựng các vectơ
uuur r
r
và OB  b. Số đo góc AOB được gọi là số đo góc giữa hai vectơ a và

uuur r
OA  a
r
b.

r r
r r
r
r
+ Quy ước : Nếu a 0 hoặc b 0 thì ta xem góc giữa hai vectơ a và b là tùy ý
(từ 00 đến 1800 ).
r r
+ Kí hiệu: a; b

 

b) Tích vô hướng của hai vectơ.
r

+ Nếu hai véc tơ a và b khác 0 thì a  b � ab
. 0
r r r2 r 2
r
+ aa
.  a  a gọi là bình phương vô hướng của véc tơ a.
r r
r2 r r r2 r r r r r2 r2
+ (a�b)2  a �2ab
.  b , (a b)(a b)  a  b
3. Công thức hình chiếu và phương tích của một điểm với đường
tròn.
a) Công thức hình chiếu.


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
uuur uuur
Cho hai vectơ AB, CD . Gọi A', B' lần lượt là hình chiếu của A, B lên đường
uuur uuur uuuuur uuur
thẳng CD khi đó ta có ABCD
.
 A ' B'.CD
b) phương tích của một điểm với đường tròn.
Cho đường tròn  O; R  và điểm M. Một đường thẳng qua N cắt đường tròn tại
uuuur uuuu
r
hai điểm A và B. Biểu thức MA .MB được gọi là phương tích của điểm M đối
với đường tròn  O; R  . Kí hiệu là PM /  O  .
uuuur uuuu
r

+ a  b � x1x2  y1y2  0
+ Nếu A(xA ; yA ) và B(xB ; yB ) thì AB  (xB  xA )2  (yB  yA )2
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
 DẠNG 1 : Xác định biểu thức tích vô hướng, góc giữa hai vectơ.
1. Phương pháp giải.
rr r r
r r
.  a . b cos a; b
 Dựa vào định nghĩa ab

 

 Sử dụng tính chất và các hằng đẳng thức của tích vô hướng của hai
vectơ
2. Các ví dụ:


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB  a, BC  2a và G là trọng tâm.
uuur uuur uuur uuur
a) Tính các tích vô hướng: BA.BC ; BC.CA
uuur uuur
uuur uuur
A. BA.BC  2a2 , BC.CA  3a2

uuur uuur
uuur uuur
B. BA.BC  a2 , BC.CA  3a2

uuur uuur

a2
A. GA.GB  GBGC
.  GC.GA  
3
uuur uuu
r uuu
r uuur uuur uuur
4a2
C. GA.GB  GBGC
.  GC.GA  
3

uuur uuu
r uuu
r uuur uuur uuur
2a2
B. GA.GB  GBGC
.  GC.GA  
3
uuur uuu
r uuu
r uuur uuur uuur
5a2
D. GA.GB  GBGC
.  GC.GA  
3

Bài làm:
(hình 2.2)
a) * Theo định nghĩa tích vô hướng ta có

�
.   CB . CA cosACB
* Ta có BC.CA  CBCA
Theo định lý Pitago ta có CA 

 2a

uuur uuur
a 3
Suy ra BC.CA  a 3.2a.
 3a2
2a

2

 a2  a 3

Hình 2.2


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
uuur uuur
b) Cách 1: Vì tam giác ABC vuông tại A nên CA.AB  0 và từ câu a ta có
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
AB.BC   a2 , BC.CA  3a2 . Suy ra AB.BC  BC.CA  CA.AB  4a2
uuur uuur uuur r
Cách 2: Từ AB  BC  CA  0 và hằng đẳng thức


r uuur uuur uuur
1
GA.GB  GBGC
.  GC.GA   GA 2  GB2  GC 2
2





Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB
2

�2
� 4a2
Dễ thấy tam giác ABM đều nên GA  � AM �
�3
� 9
2

Theo định lý Pitago ta có:
GB2 

4
4
4 �2 3a2 � 7a2
BN 2  AB2  AN 2  �
a 
�
9

2 �9
9
9 �
3
Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD cạnh a. M là trung điểm của AB, G là trọng
tâm tam giác ADM . Tính giá trị các biểu thức sau:
uuur uuur uuur uuur
a) (AB  AD )(BD  BC)
uuur uuur uuur uuur
A. ( AB  AD )(BD  BC )  3a2

uuur uuur uuur uuur
B. ( AB  AD )(BD  BC )  2a2

uuur uuur uuur uuur
C. (AB  AD )(BD  BC )  a2

uuur uuur uuur uuur
D. ( AB  AD )(BD  BC )  4a2


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
uuur uuur uuuur
b) CG. CA  DM





21a2

uuur uuur
uuur uuur
( AC.BD  0 vì AC  BD )
Mặt khác �
ACB  450 và theo định lý Pitago ta có :

Hình 2.3

AC  a2  a2  a 2
uuur uuur uuur uuur
Suy ra ( AB  AD )(BD  BC)  aa
. 2cos450  a2
uuur uuur uuur uuuu
r
b) Vì G là trọng tâm tam giác ADM nên CG  CD  CA  CM
Mặt khác theo quy tắc hình bình hành và hệ thức trung điểm ta có
uuur
uuur uuur
CA   AB  AD và





uuuu
r 1 uuu
r uuur
r uuur uuur
1 uuu
1 uuur uuur



uuur uuuur
uuur uuur uuuur uuur
�1 uuur uuur �
Ta lại có CA  DM   AB  AD  AM  AD   � AB  2AD �
�2
�





uuur uuur uuuur �5 uuur uuur �
�1 uuur uuur �
Nên CG. CA  DM  � AB  2AD �
�2 AB  2AD �
�2
�
�
�






http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
5 2
21a2

C.

1 2 2 2
c b a
3





D.

1 2 2
c  b  2a2
2



uuur
b) Tính AD 2
uuur 2
A. AD 
uuur 2
C. AD 

4c

 b c
4bc


Bài làm:
(hình 2.3)
uuur uuur 1 �
uuur2 uuur 2 uuur uuur 2 �
AB
.
AC

AB  AC  AB  AC �
a) Ta có
2�
�
�





1
1
2
2
2
�
� c2  b2  a2
AB

AC

CB



uuuur 1 uuur uuur
b) * Vì M là trung điểm của BC nên AM  AB  AC
2



uuuur 2 1 uuur uuur
Suy ra AM  AB  AC
4





2



1 �uuur2 uuuruuur uuur 2 �
�AB  2ABAC  AC �
4�
�







uuur BD uuur
DC 
Suy ra BD 
DC

BD AB c


DC AC b

b uuur
DC (*)
c

uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
Mặt khác BD  AD  AB và DC  AC  AD thay vào (*) ta được
uuur uuur b uuur uuur
uuur
uuur uuur
AD  AB  AC  AD �  b c AD  bAB  cAC
c
uuur 2
uuur 2
uuuruuur
uuur 2
2
�  b c AD  bAB  2bcABAC  cAC
uuur 2
2






p p  a

Nhận xét : Từ câu b) suy ra độ dài đường phân giác kẻ từ đỉnh A là
la 

2 bc
p p  a
b c

3. Bài tập luyện tập:
Bài 2.13. Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng:
uuur uuur
a) AB.AC
A.

5a2
2

uuur uuu
r
b) AC.CB

B.

a2

B. 

a2
2

C.

a2
3

D. 

3a2
2

D. 

5a2
2

uuur uuur
c) AB.BC
A. 

a2
2

Bài làm:
uuur uuur
uuur uuur


uuur uuur
D. AB.AC  20

uuur uuur
B. AC.BC  41

uuur uuur
C. AC.BC  42

uuur uuur
D. AC.BC  44

uuur uuur
b) Tính AC.BC .
uuur uuur
A. AC.BC  45

uuur uuu
r
c) Gọi D là điểm trên CA sao cho CD  3 . Tính CD.CB .
uuur uuu
r 31
A. CD.CB 
2

uuur uuu
r 35
B. CD.CB 
2

Ta có AB.AC  20 � AB.AC.cos A  20 � cos A  � A  600
2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2 uuur uuur
b) AC.BC  AC. AC  AB  AC  AB.AC  82  20  44





uuur uuur
11
c) Ta có AC.BC  AC.BC.cosC  44 � cosC 
14
uuur uuu
r
11 33
Do đó CD.CB  CD.CB.cosC  3.7. 
14 2
r r
Bài 2.15. Cho các véctơ a,b có độ dài bằng 1 và thoả mãn điều kiện
r r
r r
2a 3b  7 . Tính cos a,b .

 

r r 1
B. cos a, b 
4


 

r r
Bài 2.16. Cho các véctơ a,b có độ dài bằng 1 và góc tạo bởi hai véc tơ bằng
r
r
r r r r r r
600 . Xác định cosin góc giữa hai vectơ u và v với u  a 2b, v  a b
r r
1
A. cos u; v  
2

r r
1
B. cos u; v  
6

 

 

r r
r r
1
1
C. cos u; v  
D. cos u; v  
4
3


 

Bài 2.17. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 3. Trên cạnh AB lấy điểm M sao
cho BM  1, trên cạnh CD lấy điểm N sao cho DN  1 và P là trung điểm BC.


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
� .
Tính cosMNP
�
A. cos MNP 

13

�
B. cos MNP 

5 10

�
C. cos MNP 

13

�
D. cos MNP 

10


r
uuuu
r uuur
AM  3MB , G là trọng tâm tam giác ADM . Tính MBGC
.
uuuu
r uuur 5
.

A. MBGC
8

uuuu
r uuur 3
.

B. MBGC
8

uuuu
r uuur 3
.

C. MBGC
7

Bài làm:
uuuu
r 1 uuur
Bài 2.18. Ta có MB  AB


uuuu
r uuur 1
.

D. MBGC
8


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
Bài 2.19. Cho tứ giác ABCD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của DA, BC.
Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD biết AB  CD  2a, MN  a 3 .
uuur uuur
A. ( AB,CD)  500

uuur uuur
B. ( AB,CD)  600

uuur uuur
uuur uuur
C. ( AB,CD)  800 D. (AB,CD )  300

Bài làm:
uuuur 1 uuur uuur
Bài 2.19. Ta có: MN  (AB  CD) suy ra
2
uuur uuur
uuur uuur
1
MN 2  (AB2  CD 2  2ABCD



uuur uuur uuur 2
2OC.OB  OC



uuur
uuur uuur
 OB   OC  OB
2

2

uuur 2 uuur2 uuur2
 OC  OB  BC

Xây dựng các đẳng thức tương tự thay vào ta tính được
uuur uuur
2AC.DB  AB2  CD 2  BC 2  AD 2
uuur uuur
AB2  CD 2  BC 2  AD 2
Suy ra cos AC , DB 
AC.BD





Bài 2.21: Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 1. Gọi D là điểm đối xứng với


3
40

B. SPMD 

3
4

C. SPMD 

7
40

D. SPMD 

7 3
40

c) Tính côsin góc hợp bởi hai đường thẳng MP và PD
A. cos MP ; PD  

2
14

B. cos MP ; PD  

2
4


r r b
MD  CD  CM  a và ND  CD  CN   1 n a b. Suy ra
2
r
uuuur uuuu
r �
r b�
r r
9  5n uuur 9 r
MD.ND  �
a ��
1 n a b�
� CN  a

� 4
� 2 ��
5
�
�
uuuur uuuu
r
9
Để tam giác MDN vuông tại D ta phải có MD.ND  0 � n 
5
r 2
2
uuuur 2 �r b � 7 uuuu
r2 � 4 r r �
21
7 3

r 2 21 uuur 2 49 uuuu
r uuur
21
, PD 
, MP. PD  
Do đó MP 
.
100
25
100
uuuu
r uuur
MP.PD
21
r uuur 
Suy ra cos MP ; PD   uuuu
14
MP . PD
 DẠNG 2: Chứng minh các đẳng thức về tích vô hướng hoặc độ
dài của đoạn thẳng.
1. Phương pháp giải.
 Nếu trong đẳng thức chứa bình phương độ dài của đoạn thẳng thì ta
uuur
chuyển về vectơ nhờ đẳng thức AB2  AB2
 Sử dụng các tính chất của tích vô hướng, các quy tắc phép toán vectơ
 Sử dụng hằng đẳng thức vectơ về tích vô hướng.
2. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB và M là điểm tùy ý.
uuuur uuuu
r

Bài làm:
uuur uuu
r uuur uuur uuur uuur
Ta có: DA.BC  DBCA
.  DC.AB


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
 DA. DC  DB  DB. DA  DC  DC. DB  DA
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
 DA.DC  DA.DB  DB.DA  DB.DC  DC.DB  DC.DA  0













(đpcm)
Gọi H là giao của hai đường cao xuất phát từ đỉnh A, B.
uuur uuur
uuur uuur
Khi đó ta có HA.BC  0, HC.AB  0 (1)









uuur uuur uuur uuur uuu
r uuur uuu
r uuur
 AE.AB  AE.BC  BE.BA  BE.AD

Hình 2.4

�  900 , �
Vì AB là đường kính nên ADB
ACB  900
uuur uuur
uuu
r uuur
Suy ra AE.BC  0, BE.AD  0
uuur uuur uuu
r uuur uuur uuur uuu
r uuur 2
Do đó VT  AE.AB  BE.BA  AB AE  EB  AB  VP (đpcm).






� a2IA 2  b2IB2  c2IC 2  ab IA 2  IB2  AB2 









 bc IB2  IC 2  BC 2  ca IA 2  IC 2  CA 2  0







  c  ca cb IC   abc  ab c  a bc  0

� a2  ab ca IA 2  b2  ba bc IB2 
2

2



2










Bài 2.23. Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O và M là một điểm bất kì. Chứng
minh rằng:
uuuur uuuu
r uuuu
r uuuur
a) MA.MC  MB.MD
uuuu
r uuuur
uuuur uuuur
b) MA 2  MB.MD  2MA.MO
Bài làm:
uuur uuuur uuur uuuur uuuur2 uuur 2
Bài 2.23. a) VT  OA  OM OC  OM  OM  OA





uuur uuuur uuur uuuur uuuur2 uuur 2
VP  OB  OM OD  OM  OM  OC



Bài 2.24: VT  HM .AM  HB  HC . AB  AC
2
2





 



r 1 uuur uuur uuur
1 uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuu
1 uuur2
AB.HB  AC.HC  AB HC  CB  AC HB  BC  BC  VP
4
4
4
4











r uuu
r uuur uuur uuur
� GA 2  GB2  GC 2  2GA.GB  2GBGC
.  GC.GA  0 (*)
uuuruuu
r uuur 2 uuu
r 2 uuur uuu
r 2
Mặt khác 2GAGB  GA  GB  GA  GB  GA 2  GB2  BA 2





uuu
ruuur
uuuruuur
Tương tự 2GBGC  GB2  GC 2  BC 2 , 2GCGA  GC 2  GA 2  AC 2
Thay vào (*) suy ra đpcm
uuur uuur
Bài 2.26: Cho bốn điểm A, B, C, D thỏa mãn AC.DB  0 .
Chứng minh rằng

AB2  CD 2  BC 2  DA 2
Bài làm:

uuur uuur
Bài 2.26: Ta chứng minh hệ thức AB2  CD 2  BC 2  DA 2  2AC.DB



Bài 2.28. Gọi O là tâm hình bình hành khi đó
uuuur 2 uuur 2
uuuur uuur
uuur uuur
� �MO 2  OC 2 � OC 2  OA 2
VT  �
MO

OA
�
��
�
�
��
�
uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur 2
VP  OA  OB OC  OB  OB  OA







Từ đó suy ra đpcm

Bài 2.29: Cho hai điểm M, N nắm trên đường tròn đường kính AB  2R . Gọi I
là giao điểm của hai đường thẳng AM và BN.
uuuur uur uuur uur uuur uur uuur uur
a) Chứng minh: AM .AI  AB.AI , BN .BI  BA.BI .




Bài 2.30. Cho tam giác ABC , M là một điểm bất kỳ trên cạnh BC không
trùng với B và C. Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB.





2
2
2
2
2
2
2
2
Chứng minh rằng: AM  b BM  c CM  b  c  a BM .CM

Bài làm:
uuuu
r AM uuu
r BM uuur
CB 
CA
Bài 2.30. Ta có CM 
AB
AB
uuu

Bài 2.31. Ta có AB  EF � AB.EF  0 suy ra AB2  EF 2  AB  EF





2

(1)

uuur uuu
r uuu
r r
Mặt khác ACE và BDF có cùng trọng tâm nên AB  CE  EF  0 (2)
Từ (1) và (2) suy ra AB2  EF 2  CD 2
Bài 2.32. Cho tam giác ABC cạnh a nội tiếp đường tròn (O).M là điểm bất
kỳ nằm trên đường tròn (O). Chứng minh rằng MA 2  MB2  MC 2  2a2


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
Bài làm:
uuuur uuur
Bài 2.32. Ta có MA 2  MO  OA





2



uuuur uuur 2 uuuur uuur
 MO  OB  MO  OC



 

uuuur uuur
 MO  OD

 
2





2

uuuur uuur uuur uuur uuur
 8R2  2MO OA  OB  OC  OD  8R2





b) Cách 1: Theo câu a) ta có
MA 2  MB2  MC 2  MD 2  NA 2  NB2  NC 2  ND 2  8R2


 8R4  32R2 MO.OA


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
Thiết lập các đẳng thức tương tự và cộng lại ta có
uuur uuur uuur uuur
MA 4  MB4  MC 4  MD 4  32R4  32R2 OA  OB  OC  OD  32R4 Từ đó suy ra





đpcm
Bài 2.34 : Cho tứ giác ABCD . Chứng minh rằng
uuur uuur uuur uuu
r uuu
r uuur uuur uuur r
AB.AD  BA.BC  CBCD
.  DC.DA  0 khi và chỉ khi
tứ giác ABCD là hình bình hành.
Bài làm:
uuur uuur uuur uuur uuu
r uuur uuur uuur r
Bài 2.34 : AB.AD  BA.BC  CBCD
.  DC.DA  0
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
� AB AD  BC  CD AD  BC  0





uuur uuur
uuur uuur
 0 � AB  CD � AB  DC � ABCD là hình bình hành

Bài 2.35: Cho lục giác đều A1A2 A3A 4A 5A6 tâm I và đường tròn (O;R) bất kỳ
IAi , i  1,6 cắt (O) tại Bi ( i  1,6 ). Chứng minh rằng

chứa I. Các tia

IB12  IB22  IB32  IB42  IB52  IB62  6R2
Bài làm:
Bài 2.35: (hình 2.21) Gọi H, J, K lần lượt là hình chiếu của O lên B 1B4, B2B5,
B3B6. Ta có các điểm O, I, H, J, K cùng nằm trên đường tròn đường kính OI.
0
�
�
�
�KJH  KIH  60
� HJK đều
Do đó: �
�  KIJ
�  600
KHJ
�

Theo bài 11 ta có IH 2  IJ 2  IK 2  OH 2  OJ 2  OK 2
uuuur uuu
r 2 uuuur uuu
r




 OB12  OH 2  OB42  OH 2  2HI 2
 2R2  2OH 2  2IH 2
Chứng minh tương tự:
IB22  IB52  2R2  2OJ 2  2IJ 2 , IB32  IB62  2R2  2OK 2  2IK 2

� VP  6R2  2 OH 2  OJ 2  OK 2   2 IH 2  IJ 2  IK 2   VT
Bài 2.36. Tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng
a) MA 2  MB2  MC 2  3MG2  GA 2  GB2  GC 2 với M là điểm bất kỳ
b) a2  b2  c2 �9R2
Bài làm:
Bài 2.36. a)

uuuur2
uuuur uuur
MA  MG  GA





2

uuuur uuur
 MG2  GA 2  2MG.GA

uuuu
r2

x �
�
Bài làm:


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
uuuur
uuuu
r
uuuu
r r
Bài 2.37: Ta có x.MA  y.MB  z.MC  0 (*)
uuu
r
uuur r
Gọi E là điểm xác định bởi: y.EB  z.EC  0
2
Khi đó EB 

z2.a2

 y  z

, EC 
2

2

y2.a2



z
.
Từ (*) suy ra
 


  AE
�  x  y  z AM 2   y  z AE2
2

2

(**)

uuur uuu
r
2
2
2
2
�
�c  AB  AE  EB  2AE.EB
uuur uuur
Mà �2
b  AC 2  AE2  EC 2  2AE.EC
�
uuu
r
uuur r

uuuu
r 2
� y.MB  z.MC  y2.MB2  z2.MC 2





� x2.MA 2  y2.MB2  z2.MC 2
� x2  y  z yc2  x2  y  z zb2  x2yz.a2

 y2  z  x za2  y2  z  x xc2  y2zxb2 
 z2  x  y xb2  z2  x  y ya2  z2xyc2


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải





2
2
� xyz �
 x  y  z c2   x  z  y b2 �
�
� yz x  xy  xz  2yz a

�
2yz �2

a) MA.MB 
4
uuuur uuuu
r
b) MA.MB  MA 2
Bài làm:
a) Gọi I là trung điểm của AB ta có
uuuur uuuu
r 3a2
uuur uur uuur uu
r
3a2
MA.MB 
� MI  IA MI  IB 
4
4





� MI 2  IA 2 



uu
r
uur
3a2
(Do IB   IA )

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp điểm M sao cho
uuuur uuuu
r uuu
r uuur
MA  2MB  3CB BC  0





Bài làm:
(hình 2.4)
uur uu
r r
Gọi I là điểm xác định bởi IA  2IB  0
uuuur uuuu
r uuu
r uuur
Khi đó MA  2MB  3CB BC  0





Hình 2.4

uuur uur
uuur uu
r uuur
� �MI  IA  2 MI  IB �


Hình 2.5


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
uuuur uuuu
r uuur uur uuur uur
Ta có : MA.MC  MI  IA MI  IC







uuur uur uur uur uur
 MI 2  MI IC  IA  IA .IC
uur uur
 MI 2  IA .IC





uuuu
r uuuur
uu
r uur
Tương tự MB.MD  MI 2  IB.ID
uuuu

Nếu k  a2 thì MI 

M

I suy ra tập hợp điểm M là điểm I

k  a2
2

suy ra tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính R 

k  a2
2

3. Bài tập luyện tập.
Bài 2.38: Cho đoạn thẳng AB. Tìm tập hợp điểm M trong mỗi trường hợp
sau:
uuuur uuuu
r
a) 2MA 2  MA.MB
b) MA 2  2MB2  k với k là số thực dương cho trước.
uuuur r
c) AM .a  k với k là số thực cho trước.
Bài làm: