– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải

CHƯƠNG II
TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
VÀ ỨNG DỤNG
§1 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ
TỪ 00 ĐẾN 1800
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Định nghĩa
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy .Với mỗi góc
a ( 00 £ a £ 1800 ) , ta xác định điểm M trên trên đường
·
nửa đường tròn đơn vị tâm O sao cho a = xOM
. Giả
sử điểm M có tọa độ ( x; y) .
Khi đó:
Hình 2.1

sina = y; cosa = x;tana =

y
x
(a ¹ 900 ); cota =    (a ¹ 00 ,a ¹ 1800 ) Các
x
y

số

sin a ,cosa ,tan a ,cot b được gọi là giá trị lượng giác của góc a .
Chú ý: Từ định nghĩa ta có:



cos(900 - a ) = sin a

cos(1800 - a ) =- cosa

tan(900 - a ) = cot a

tan(1800 - a ) =- tan a

cot(900 - a ) = tan a
cot(1800 - a ) =- cot a
3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
Góc

0

30

45

60

9

1200 1350 1500

18


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải

1

1

3
2

2
2

1
2

0

-

1
2

0

3
3

1

3

||

1
2

2
2
2
2

-

-

0

3
2

uuu
r uur
AB2 + EF 2 = AB + EF

(

-

–1

)

2


Suy ra sin2 a + cos2 a = OQ + OP = OQ 2 + OP 2
+ Nếu a = 00 , a = 900 hoặc a = 1800 thì dễ dàng thấy sin2 a + cos2 a = 1
+ Nếu a ¹ 00 , a ¹ 900 và a ¹ 1800 khi đó theo định lý Pitago ta có
sin2 a + cos2 a = OQ2 + OP 2 = OQ 2 + QM 2 = OM 2 = 1
Vậy ta có sin2 a + cos2 a = 1
sin2 a cos2 a + sin2 a
1
suy ra được 5)
=
=
2
2
cos a
cos a
cos2 a
cos2 a sin2 a + cos2 a
1
Tương tự 1+ cot2 a = 1+
suy ra được 6)
=
=
2
2
sin a
sin a
sin2 a
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
Mặt khác 1+ tan2 a = 1+


c) C = sin2 450 - 2sin2 500 + 3cos2 450 - 2sin2 400 + 4tan550.tan350
A. C = 3

B. C = 4

C. C = 2

D. C = 1

Lời giải:
2
2
2
2
2
a) A = a .1+ b .0+ c .( - 1) = a - c

2

2
æö
1÷ æ
2ö
÷
ç
ç
÷
ç
b) B = 3- ( 1) + 2ç ÷
3

ç
ç
÷
÷
C =ç
+ 3ç
- 2( sin2 500 + cos2 400 ) + 4 = + - 2+ 4 = 4
÷
÷
ç
ç
÷
ç2÷
ç2ø
÷
÷
2 2
è
ø
è

Ví dụ 2: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A = sin2 30 + sin2 150 + sin2 750 + sin2 870
A.2

B.3

C.4

D.1

a) A = ( sin 3 + sin 87 ) +( sin 15 + sin 75 )

= ( sin2 30 + cos2 30 ) +( sin2 150 + cos2 150 )
= 1+1= 2
0
0
0
0
0
0
b) B= ( cos0 + cos180 ) +( cos20 + cos160 ) + ...+( cos80 + cos100 )

= ( cos00 - cos00 ) +( cos200 - cos200 ) + ... +( cos800 - cos800 )
=0
0
0
0
0
0
0
c) C = ( tan5 tan85 ) ( tan15 tan75 ) ...( tan45 tan45 )

= ( tan50 cot50 ) ( tan150 cot50 ) ...( tan 450 cot50 )
=1
3. Bài tập luyện tập:
Bài 2.1: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A = sin450 + 2cos600 - tan300 + 5cot1200 + 4sin1350
A. A =

5 2

D. B = a2
2


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
c) C = sin2 350 - 5sin2 730 + cos2 350 - 5cos2 730
A. C =- 4
d) D =

B. C =- 2

C. C =- 3

D. C =- 5

12
- 5tan850 cot950 + 12sin2 1040
2
0
1+ tan 76

A. D = 18

B. D = 17

C. D = 16

D. D = 15

e) E = sin2 10 + sin2 20 + ...+ sin2 890 + sin2 900


2
1
3
3
2
5 2
+ 2. - 5.
+ 4.
= 1+
- 2 3
2
2 3
3
2
2

2

æ 2ö
2
÷
÷
ç
b) B = 4a .ç
- 3a2 +( 2a) = 3a2
÷
ç
÷
ç

+ 14+
...+41
14444
24444
3+ 2 + 1= 2
44 sô
3 0
3
0
3
0
3
0
3
0
3
0
f) F = ( cos 1 + cos 179 ) + ...+( cos 89 + cos 91 ) + cos 90 + cos 180

F = cos3 900 + cos3 1800 = 0- 1=- 1


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
Bài 2.2: Tính giá trị của các biểu thức sau:
P = 4tan( x + 4 ) .sin x.cot( 4x + 26 ) +
0

0

A.3

thức không phụ thuộc x, đơn giản biểu thức.
1. Phương pháp giải.
• Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản
• Sử dụng tính chất của giá trị lượng giác
• Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ .
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Chứng minh các đẳng thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có
nghĩa)
a) sin4 x + cos4 x = 1- 2sin2 x.cos2 x
b)

1+ cot x tan x + 1
=
1- cot x tan x- 1

c)

cos x + sin x
= tan3 x + tan2 x + tan x + 1
3
cos x

Lời giải
a) sin4 x + cos4 x = sin4 x + cos4 x + 2sin2 x cos2 x- 2sin2 xcos2 x
2

= ( sin2 x + cos2 x) - 2sin2 x cos2 x
= 1- 2sin2 x cos2 x



= tan3 x + tan2 x + tan x +1

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng
B
B
cos3
2 +
2 - cos( A + C) .tan B = 2
æA + C ö
æA + C ö
sin B
÷
÷
cosç
sinç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç 2 ø
ç 2 ø
è
è
sin3

Lời giải:
Vì A + B + C = 1800 nên
B

ç
ç 2 ø
÷
÷
è 2 ø
è
sin3

B
B
cos3
2+
2 - - cos B .tan B = sin2 B + cos2 B + 1= 2 = VP
=
B
B
sin B
2
2
sin
cos
2
2
sin3

Suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 3: Đơn giản các biểu thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)
a) A = sin(900 - x) + cos(1800 - x) + sin2 x(1+ tan2 x) - tan2 x
A.0
b) B =

b) B =

1
- tan2 x = 0
2
cos x

1
1- cos x +1+ cos x
.
sin x ( 1- cos x) ( 1+ cos x)

2

1
2
1
2
.
- 2=
.
2
sin x 1- cos x
sin x sin2 x
æ 1
ö
2
= 2ç
- 1÷
÷


2

2

x + 1) +

( 2sin

2

x + 1)

2

= 2cos2 x + 1+ 2sin2 x + 1
=3
Vậy P không phụ thuộc vào x .
3. Bài tập luyên tập.
Bài 2.3. Chứng minh các đẳng thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có
nghĩa)
a) tan2 x- sin2 x = tan2 x.sin2 x
b) sin6 x + cos6 x = 1- 3sin2 x.cos2 x


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải

c)

tan3 x

2
c) VT = tan x( cot x + 1) - tan x( cot x + 1) + cot x( tan x + 1)

= tan x + tan3 x- cot x- tan x + cot x + cot3 x = VP
d) VP = tan6 x cos2 x- tan6 x cot2 x = tan4 x sin2 x- tan4 x
= tan4 x.cos2 x = tan2 x.sin2 x = tan2 x- sin2 x = VT (do câu a))
e) VT =

1
1
1
1
= cot2 b- cot2 a=
= VP
2
2
2
tan b tan a
sin b sin2 a

Bài 2.4. Đơn giản các biểu thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)
a) A =

1
- tan2 ( 1800 - x) - cos2 ( 1800 - x)
2
cos x

A. A = sin2 x
b) B =

B. C = 2sin a

C. C = sin a- cos a D. C = sin a+ cos a

1+ sin a
1- sin a
+
1- sin a
1+ sin a

A. D =

1
cos a

B. D =

3
cos a

C. D =

2
cos a

D. D =

a
cos a



( 1+ sin a)

2

+( 1- sin a)

1- sin2 a

Suy ra D =

2

+ 2=

2+ 2sin2 a
4
+ 2=
2
cos a
cos2 a

2
cos a

Bài 2.5.Rút gọn biểu thức. (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)
a) (tan a + cot a )2 - (tan a - cot a )2
A.1

B.2

D.4

C.3

D.

d) (sin4 x + cos4 x- 1)(tan2 x + cot2 x + 2)
A.1

B.-2

sin4 x + 3cos4 x- 1
e)
sin6 x + cos6 x + 3cos4 x- 1
A.1

B.2

2
3

Lời giải:
Bài 2.5: a) (tan a + cot a )2 - (tan a - cot a )2 = 4
b) 2(sin6 a + cos6 a )- 3(sin4 a + cos4 a )
= 2( 1- 3sin2 x.cos2 x) - 3( 1- 2sin2 x.cos2 x) =- 1
c) cot2 300(sin8 a - cos8 a ) + 4cos600(cos6 a - sin6 a ) - sin6(900 - a )( tan2 a - 1)

3

= 3( sin2 a - cos2 a ) ( sin4 a + cos4 a )

2
2

A. A = 3

B. A =- 1

C. A = 1

D. A = 2


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
B
B
cos
2 2 - cos( A + C) .tan B
b B=
A +C
A +C
sin B
cos
sin
2
2
sin

A. B= 3

B. B= 1

D.Cả A, B đều sai

2
. Tính sina và cota
3

b) Cho cosa =-

A. sin a =

B. tan a =-

5
3

B. cot a =-

C.Cả A, B đều đúng

2
5

D.Cả A, B đều sai

c) Cho tan g =- 2 2 tính giá trị lượng giác còn lại.
A. cosa =-

C. cot a =-

1


1
3 =- 1
2 2
2 2
3

b) Vì sin2 a + cos2 a = 1 nên sin a = 1- cos2 a = 1-

cosa
cot a =
=
sin a

-

4
5
và
=
9
3

2
3 =- 2
5
5
3

c) Vì tan g =- 2 2 < 0 Þ cosa < 0 mặt khác tan2 a + 1=

1
cosa
1
Þ cot a =
= 3 =sin a
2 2
2 2
3
Ví dụ 2: a) Cho cosa =

A. A =-

17
8

tan a + 3cot a
3
với 00 < a < 900 . Tính A =
.
tan a + cot a
4
B. A =

b) Cho tan a = 2 . Tính B =

17
8

C. A =



)

3

2- 2

C. B =

3+ 8 2

(

3

)

2- 1

1+ 8 2

D. B =

(

3+ 8 2

Lời giải:
1
1

=
b) B =
sin3 a 3cos3 a 2sin a tan3 a + 3+ 2tan a ( tan2 a + 1)
+
+
cos3 a
cos3 a
cos3 a
tan a + 3

Suy ra B =

2( 2+ 1) - ( 2+ 1)
2 2 + 3+ 2 2( 2+ 1)

=

(

)

3 2- 1
3+ 8 2

Ví dụ 3: Biết sin x + cos x = m
4
4
a) Tìm sin x- cos x

2



– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
A = ( sin2 x + cos2 x) ( sin2 x- cos2 x) = ( sin x + cos x) ( sin x- cos x)
2

2

Þ A 2 = ( sin x + cos x) ( sin x- cos x) = ( 1+ 2sin x cos x) ( 1- 2sin xcos x)
æ m2 Þ A2 =ç
1+
ç
ç
ç
2
è

æ m2 - 1ö
1ö
3+ 2m2 - m4
÷
÷
ç
÷
÷
1
=
ç
÷
÷

4
3
4
A. cosa = , tan a = , cot a =
5
4
3
4
3
4
B. cosa = , tan a =- , cot a =5
4
3
1
3
4
C. cosa = , tan a = , cot a =
5
4
3
D.

2
3
2
cosa = , tan a = , cot a =
5
2
3


, tan a = 2, cot a =

1
2

2

A. sin a =

1
3

C. sin a =

, cosa =

1

B. sin a =-

D.

, tan a =- 2, cot a =-

2

sin a =

c) cot g =-


6
1
, tan a =
3
2

6
1
, tan a =2
2

, cosa =-

6
1
, tan a =3
2

1
d) tan a + cot a < 0 và sin a = .
5
1

A. cot a =- 2 6,tan a =-

2 6

B. cot a =- 2 6,tan a =-

C. cot a =-


1
6

, cosa =-

2 6
5

Lời giải:
4
3
4
Bài 2.7: a) cosa = 1- sin2 a = , tan a = , cot a =
5
4
3
2
b) sin a = 1- cos a =

1

c) sin a =

3

, cosa =-

2
5

3

b) Cho sin a=

A. B =

cot a+ 3tan a
2
. Tính A =
2cot a+ tan a
3
B. A =

26- 2 2
3

4
3

19
3

C. A =

1
3

D.

A=


2sin a+ 3cos a
;
sin a+ cos a

B. C =

7
3

C. C = 1

D.

C =-

7
3


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
d) Cho cot a= 5 . Tính D = 2cos2 a+ 5sin acos a+ 1
A. D =

101
27

B. D =

101

; b) Từ giả thiết suy ra
3

2tan a+ 3 7
=
tan a+ 1
3

D
1
= 2cot2 a+ 5cot a+ 2 Þ ( cot2 a+ 1) D = 3cot2 a + 5cot a+ 1
2
sin a
sin a

Suy ra D =

101
26

Bài 2.9: Biết tan x + cot x = m.
a) Tìm tan2x + cot2x
A. m2 + 1
b)

B. m2 - 2

C. m2 - 3

D. m2 - 1

m4 - 4m2 + 2

( m - 2)( m 2

D.

4

4m2 + 1)

m4 - 4m2 + 2


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
Lời giải:
Bài 2.9: a) tan2x + cot2x=m2 - 2
2

2

b) tan4x + cot4x=( tan2x + cot2x) - 2 = ( m2 - 2) - 2 = m4 - 4m2 + 2
2
2
4
4
2
2
tan6x + cot6x ( tan x + cot x) ( tan x + cot x-tan xcot x)
Þ
=

125

Lời giải:
2

Bài 2.10: ( sin a + cosa ) = 1+

24
7
Þ sin a + cosa = (do cosa > 0)
25
5

Þ sin3 a + cos3 a = ( sin a + cosa ) ( sin2 a - sin a cosa + cos2 a ) =

91
125

Bài 2.11: Cho tan a- cot a= 3 . Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A = tan2 a+ cot2 a
A.11

B.12

C.13

D. 14

B. ± 13



B. A =

c) ±33 13

3
. Tính A = sin4 x + 3cos4 x .
4

7
2

C. A =

3
4

7
4

D. A =-

1
b) Cho 3sin4 x- cos4 x = . Tính B = sin4 x + 3cos4 x .
2
A.B = 1

B. B = 0

C. B = 2

28

7
7
, C=
D.
28
4

C=

5
7
, C=
28
4