Đề On thi học sinh giỏi lớp 12
Môn Toán học Thời gian làm bài 180 phút
Bài 1: Cho y = (-m + 1) x
3
+ 3( m + 1) x
2
- 4 mx - m .
a) Tìm các giá trị của m để hàm số luôn đồng biến .
b) Chứng minh với mọi m đồ thị hàm số luôn đi qua 3 điểm cố định thẳng
hàng .
Bài 2: Tìm các giá trị của tham số a để bất phơng trình :
1
34
1
2
<
+
+
axax
x
Đợc nghiệm đúng với mọi x .
Bài 3: Giải phơng trình

2
)1(
22
3
=
+
+
xx

1
DD
MD
CC
MC
BB
MB
AA
MA
+++
Không đổi .
b) Tìm vị trí của điểm M để biểu thức
1111
MD
DM
MC
CM
MB
BM
MA
AM
P
+++=
Đạt giá trị nhỏ nhất .
Bài 6: Chứng minh với mỗi số nguyên dơng n thì phơng trình x
2n+ 1
= x + 1 . chỉ có 1
nghiệm số thực x
n
. Khi đó tìm lim x

>+
0)1(12)1(9
01
2'
mmm
m

1
0)37)(1(
01
<



++
>+

m
mm
m
hoặc m


7
3

(0.50 điểm)
Kết luận: m
(
]

=++
yxxxx
(*)
Để phơng trình (*) không phụ thuộc m cần





=+
=+
03
0143
0
2
0
3
0
0
2
0
3
0
yxx
xxx
Xét phơng trình
0143
0
2
0

03
0143
23
23
yxx
xxx
Trừ hai phơng trình cho nhau đợc : y - 4x - 1 = 0 hay các điểm cố định thuộc đờng
thẳng y = 4x - 1 .
Bài 2 (3 điểm )
Trớc hết cần ax
2
- 4x + a - 3

0 với mọi x



<=


0)3(4
0
'
aa
a
a < -1 hoặc a > 4 (0,5 điểm)
+ Nếu a < -1 thì ax
2
- 4x + a - 3 < 0 với
x


<
a
(do a < - 1)
+ Nếu a > 4 thì ax
2
- 4x + a - 3 > 0 với
x

.
Bất phơng trình đã cho thỏa mãn với
x

.

x + 1 < ax
2
- 4x + a - 3 thỏa mãn với
x

.

ax
2
- 5x + a - 4 > 0 thỏa mãn với
x

(1,0 điểm)






;
2
414
2
414
;a
(0.5 điểm)
Bài 3: ( 3 điểm )
Tập xác định D =
x


R (0,25 điểm)
Do x = 0 không là nghiệm của phơng trình đã cho nên phơng trình đã cho
(0,25 điểm)
2
1
1
1
1
22
2
2
3
=



x
1
1
1
2
2
+=






+
(0,5 điểm)
Đặt
.
1
t
x
x
=+
Điều kiện
2

t

(vì
2
11

=+
=+
xx
x
(0,5 điểm)
1= x
Kết luận: Vậy phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1 (0,25 điểm)
Bài 4: (3 điểm )
Điều kiện : xy - x
2
y
2

0

hay
10

xy
(0,25 điểm)
Ta có :
xy - x
2
y
2
= -
4
1
4
1

1

(0,25 điểm)
Kết hợp với giả thiết
2
1
4)2(12
3322
++++
yxyyxx
(0,25 điểm)
Cộng hai vế hai bất đẳng thức ta có :
14)2(14
3226
++++
xyyxxy
(0,25 điểm)

1
2
)2(1 yx
+
23
)2( xy

Do

1
2
)2(1 yx

02
3
yx
xy
(0,25 điểm)
Giải hệ này ta đợc





=
=



=
=



=
=
2
1
1
;
1
1
;

, V
2
, V
3
, V
4
và V khi đó :
V
V
AA
MA
1
1
1
=
;
V
V
BB
MB
2
1
1
=
;
V
V
CC
MC
3

4
= d
2
.
Khi đó :
2
2222
11
1
a
dcba
V
V
MA
AA
+++
==
=>
=
1
MA
AM
2
222
a
dcb
++

Tơng tự:
=


3 (b
2
+ c
2
+ d
2
)
=>






++

++
=
a
dcb
a
dcb
AM
BM
3
1
222
1
(0,5 điểm)


= b
2
= c
2
= d
2
(0,5 điểm)
=>T
3412.
3
1
3
1
=






++
+
++
+
++
+
++

d