Sở GD & ĐT Thanh Hoá
Trờng THPT Yên Định 1
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên lam sơn
Môn : Toán học - Thờigian làm bài : 150 phút
Đề thi bảng A
1. Chứng minh:
6;5;4

cba
và a
2
+ b
2
+ c
2
= 90 thì
16++ cba
. (2điểm)
2. Đơn giản biểu thức:
24)1(3
24)1(3
223
223
++
+
aaaa
aaaa
với
2

a

+
=
(2điểm)
5. Cho tứ diện ABCD có AB = BC = CA = AD = DB = a
2
và CD = 2a.
a) Chứng minh
CDAB

b)Tính thể tích tứ diện ABCD. (1điểm)
6. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x
2
+ x
3
+ x
4
+ x
5
= 271440 (2điểm)
Sở GD & ĐT Thanh Hoá
Trờng THPT Yên Định 1
Đáp án và biểu điểm
môn toán thi tuyển sinh vào lớp 19 chuyên lam sơn
Câu 1. Do
6;5;4

cba
ta đặt a = 4 + x ; b = 5 + y ; c = 6 + z ; (x, y, z 0)
a
2

Vậy x + y + z 1 từ đó suy ra a + b + c = 4 + 5 + 6 + x + y + z (0,5 điểm)
16
++
cba
(đpcm)
Câu 2. Để ý rằng a
3
- 3a - 2 = (a+1)
2
(a-2)
a
3
- 3a + 2 = (a -1)
2
(a + 2) (0,25 điểm)
Vì vậy:
Vế trái =
4)1()2()1(
4)1()2()1(
222
222
++
++
aaaa
aaaa
)2)(2()1)(1()2()1(
)2)(2()1)(1()2()1(
2
2
++++

thì x
2
= 0 b = 0 vậy hệ thức (*) thoả mãn (0,25 điểm)
* Ngợc lại nếu (*) thoả mãn thì b = 0 nên x
2
= 0 x
2
= kx
1
(vì k 0)
(0,25 điểm)
do đó ta chỉ cần xét c 0 tức là cả 2 nghiệm x
1
; x
2
0. Ta có:
1
2
2
1
2
21
2
21
2
2
1
)(
x
x

(1) (0,5 điểm)
Nếu x
2
= kx
1
thì từ (1) ta có:
k
k
ca
b
2
2
)1(
+
=
(2)
(*)

ngợc lại, nếu ta có (2) thì theo (1) ta có:
)(
)1()1(
1
2
22
x
x
t
t
t
k

1
1
==
trong cả 2 trờng hợp này đều suy ra nghiệm này bằng k
lần nghiệm kia. (0,5 điểm)
Bài 4:
1) Chứng minh diện tích
AbcBacCabABC sin
2
1
sin
2
1
sin
2
1
===
(0,5 điểm)
2) áp dụng:
)1(
2
1
MABdtCAMdtbcABCdt
+==
(0,5 điểm)

cos.
2
1
)90sin(.

+
=
(1,0 điểm)
Bài 5:

a. Chứng minh AB CD:
Gọi E là trung điểm AB
CE AB ; DE AB AB (CED) AB CD (0,25 điểm)
b.
)1(.
3
1
.22 CEDdtBEVV
BCEDABCD
==
CDEFCEDdt
ì=
2
1
(F là trung điểm CD) (0,25 điểm)
2
2
22
a
CFCEEF
==
(0,25 điểm)
V
ABCD
=

2
.3
2
, 2
4
.3
2
ớc chính phơng lớn
nhất là: 2
4
.3
2
= 12
2
(0,5 điểm)
Thay x
2
= 12
2
vào phơng trình ta đợc nghiệm đúng (0,5 điểm)
với x
2
= 2
2
.3
2
= 6
2
ta có:
6