Sở Giáo Dục- đào Tạo kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 CHUYÊN Hà NAM
Hà Nam Năm học 2007-2008
Môn thi: toán ( Đề CHUYÊN )
đề chính thức Thời gian làm bài 180 phút (không kể thời gian giao đề )

Bài 1 (1 đ): Cho : M = x
2
+ y
2
+xy-3x-3y+2011. Với giá trị nào của x,y thì M đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị
đó?
Bài 2 (1 đ): Chứng minh rằng
1 1 1
... 2
2 1 3 1 ( 1)n n
+ + + <
+
với mọi n

N*
Bài 3 (1,5 đ):
Giải phơng trình
a/
2
6 10x x +
+
2
6 18x x +
= 6x -5-x
2
b/

AOH

=
.
a/ Tính các cạnh tam giác AKB theo a và

.
b/ Tính các cạnh của các tam giác OKA và AKB theo a và 2

. Từ đó biểu diễn sin2

, cos2

theo sin

,
cos

.
Bài 7 (2 đ) :
Cho hình vuông ABCD. O là một điểm thuọc miền trong hình vuông sao cho OA : OB : OC = 1 : 2 : 3. Tính
số đo góc AOB ?
=============================
Hớng dẫn chấm
-----------------
Bài 1 (1 đ): Ta có: M = (x
2
2x + 1) + (y
2
+ xy + 1) + xy x y + 1 + 2008 = (x 1)

1
()1(
2
2
++







+
y
y
x
(0,75 đ). Vậy M có giá trị nhỏ nhất là 2008 khi





==
=
=

+
1.y x
01
0









+
+








+

1
11
1
11
kkkk
k
<
k







<
2
1
1
1
2
12
1
;








<
3
1
2
1
2
23
1
... ;

1
<








+
<
+
+++
nnn
(0,5đ) (đpcm)
Bài 3 (1,5 đ):
a) Ta có VT Không lớn hơn 4, VP không nhỏ hơn 4 (0,5đ), vậy pt trình có nghiệm khi và chỉ khi hai
vế cùng bằng 4. Từ đó ta tìm đợc x = 3 (0,5đ).
b) Ta có
( )
( )
( )
11511215)2(2
2232
++=++++=+
xxxxxxxx

Đặt
ax

(0,25đ)
Bài 4 (0,5 đ):
Đặt t =
x
+
y
+
z


Q, Ta có:
x
+
y
=
z
- t

x + y + 2
xy
= z + t
2
2t
z


2
xy
= - x y + z + t
2

y
+
z
= 0

x = y = z = 0

x
=
y
=
z
= 0

Q
Nếu t
2
x y + z = 0, t

0: thì 2
xy
= - 2t
z



xy
+ t
z
= 0






===
===
txzy
tyzx
;0;0
;0;0


x
,
y
,
z


Q
* Nếu t ( t
2
x y + z)

0
z
=

+

.1 1
b
y
hay
=++=+
b
y
a
x
bx
a
b
a
x
là tức
(0,25đ)
2a) Điều kiện cần và đủ để đờng thẳng (m 2)x + (m 1)y = 1 (1) đi qua điểm cố định N(x
o
,y
o
) là:
(m 2)x
o
+ (m 1)y
o
= 1 với mọi m

mx
o
2x

1
1

012
0
o
o
oo
oo
y
x
yx
yx
(0,25đ)
Vậy các đờng thẳng (1) luôn đi qua điểm cố định N (-1; 1).
b) Gọi A là giao điểm của đờng thẳng (1) với trục tung. Ta có: x = 0

y =
1
1

m
, do đó OA =
1
1

m
.
Gọi B là giao điểm của đờng thẳng (1) với trục hoành. Ta có: y = 0


2
2. max h =
2
khi và chỉ khi m =
2
3
. (0,25đ)
Bài 6 (2,5 đ):
Theo Pitago thì AB
2
= AK
2
+ BK
2
= a
2
sin
2
2 + a
2
(1 cos2a
2
) = a
2
[ ]
)2cos2cos21(2sin
22

++
. Vì

b) (1,5đ) Với tam giác OKA : AK = OA sin AOK nên AK = asin2 . OK
= OAcos AOK nên OK = acos2 (0,25 đ)
- Với tam giác AKB ta có : AK = asin2 mà BK = OB OK= a acos2
hay BK = a(1 cos2) (0,25 đ).
A
B
C
D
O
x
K
Dựng tia Bx nằm trên nửa mặt phẳng không chứa điểm O với bờ là đờng thẳng
BC sao cho xBC = ABO. Trên tia Bx lấy điểm K, sao cho BK = BO. Do BOK là
tam giác vuông cân nên BKO = 45
o
. Từ ABO = CBK, suy ra KC = OA. Đặt
OA = a vì OA : OB : OC = 1 : 2 : 3 nên CK = a ; OB = BK = 2a, OC = 3a. Trong
tam giác vuông OBK ta có OK
2
= OB
2
+ BK
2
= 8a
2
. Vì vậy OK
2
+ CK
2
= 8a

.